Файл: Коваленко И.Н. Полумарковские модели в задачах проектирования систем управления летательными аппаратами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 28.06.2024

Просмотров: 114

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Теперь определим объем оптимального плана X*, т. е. при каком n*!£ZN* меняет знак разность

k/i—1

Ясно, что

 

Хп€С'а;

*;_! 6С:_:

 

1

 

 

 

 

1

 

 

пс [2 + р ( п

+

1)]

vT

 

v T + —

4 - — (/1— 1) с (2 + лд)

Д|Л = - -----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

р п + 1

 

 

 

(л - ! ) / / + !

 

 

 

 

 

 

 

После преобразований имеем

 

 

 

 

>„2 + пй +JT)

 

2(с-

ѵгР)_

 

№я= -

_______ 2________ ср2

(я > 0 ).

(4.69)

2

(//л + 1) [1 +

(я — 1) д]

Так как знаменатель выражения

(4.69) положителен,

то для определения величины /г*, обеспечивающей мини-

мум функции р * как функции /г, необходимо исследо-

хп

вать числитель выражения (4.69), представляющий со­ бой квадратичный трехчлен. Обозначим его через f(n).

При анализе поведения функции f(n) необходимо учесть два варианта: либо п* определяется как наиболь­

шее п, для которого f(n)^ .О при

с<ѵТр,

т. е. ср2п2+

+ 2 (срп + с—ѵрТ)—ср2п ^ 0; либо

п* = 0,

если с~^ѵТр,

Покажем, что n*^N*, для которого еще справедливо условие (1.55), т. е.

N 2 - N - — =® (Л 0 < 0.

с р

Определим теперь в интервале [0, УѴ*] искомое значе­ ние n* = N. Из выражения (4.69) имеем

/ (п)—п2- n Q + g ) I 2 (с — Тѵр) -~Ѣ2— Ѣ-

Рср*

2Тѵ 2 , 2л'

с р

откуда ясно, что при n = N = 0

2vT

/(0)><р(0) =

ср

І (N) —2 N — 1 < / ' ( n ) = 2 N - 1 + -

161

Зависимости cp(N) и f(N) представлены графиками

на рис. 4.11.

Запишем явное выражение для плана X*. Из зависи­

мости (4.61) после преобразовании получим

 

Л*= /,дЛ+ ^ ( N - 1 - к).

(4.70)

V

 

Рис. 4. 11. К определению оптимального плана про­ верок САУ, находящейся на хранении

Подставив

соотношение

(4.63)

в выражение

(4.70),

имеем

 

^ С I

 

 

 

 

,= /> {

■{k-

c [ 2 N +

2№ p

■p N “1 + p N ]

I

 

 

 

 

V

 

2ѵ (p N + 1)

 

 

■(k -

 

N [ { N + 1) jP -4- 2]

(4.71)

= р {p N + 1

■1) — ■H -f-

PN + 1

 

V

2ѵ

 

Покажем, что для моментов проверок, определяющих оптимальный план X* (см. также [54]), имеет место сле­ дующая формула при любом /е = г+1>0, k^. N— 1:

Х [ =

і р

Т

 

_с_

ЛҢ(N + 1) р + 2] * Ч- 1

с

p N + 1

2v

p N + 1

2

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4. 72)

Для этого достаточно показать,

что разность

Ah(k —0,

1,...,

n* = N)

определенная

с

помощью выражения

(4.72),

совпадает

с выражением

(4.71):

 

x k+1

xk~~

—Ь-P f . . . T .

2v

N[(N+ l)p + 2] 1 ,

 

 

 

 

 

\ p N + l

p N + 1

J ^

~\rP

 

T

_c_

N

\{ N + !)/> +

2]

(k + 1) p (k + 2) c

.pN + 1

2v

 

p N + 1

 

2v

 

162

— kp

 

 

N [ ( N +

\)

p +

2\

p N + i

2v

ii

p N +

1

 

= p

T

2‘

N

l(N

l)/H -2

1 2v

 

p N -1- 1

 

p N

 

 

--P

p N +

1

 

 

-

+

f

 

 

 

V

 

2v

kp (k + J) c

2 v

D] =

N l( N + i ) p + 2] )

p N + 1

J

Определение плана проверок хранящейся системы при наличии минимальной информации о ее надежности. Конечное время

Рассмотрим вновь работу системы на конечном интер­ вале времени. Будем считать, что отказ системы обнару­ живается при первой проверке, следующей за моментом отказа (/7 = 1 ), а стоимость проверок и стоимость пребы­

вания системы 'в состоянии отказа примем, как и рань­ ше, равной в соответствии с выражением (4.52), но в предположении, что /7 = 1 .

Пусть нам известно значение функции распределения F(t) времени жизни системы | в некоторой точке т, т- е.

f ( t ) = P | K t ) = i t , т > 0 , 0 < я < 1.

(4.73)

В силу того, что функция распределения F(t), кроме одного значения, остается неизвестной, применим вновь минимаксный подход к решению задачи минимизации максимальной средней стоимости, связанной с проверка­ ми и отказами системы.

Будем искать план проверок системы X, который яв­ ляется набором т + п точек, таких что

О - ^ 1 ■Хщ^ Т* ^ -*7тН »1 ^ х т+ п ^ F •

Сформулируем задачу более строго. Поставим в соот­ ветствие любому плану проверок X функцию стоимости Gx(W> которая является стоимостью, связанной с систе­ мой, имеющей время жизни £.

Тогда средняя ожидаемая стоимость для заданной

функции распределения F(t)

есть вновь выражение вида

(4.50).

за исключением точки т, то

Так как F(t) неизвестна,

рассмотрим, как и. ранее,

jx^^sup MFGX(|), где суп-

 

F

ремум берется по всем положительным функциям рас­ пределения случайных величин, удовлетворяющим соот­

163

ношению (4.73). Задача заключается в отыскании такого

плана проверок

Х = Х*, при котором [см. .выражение

(4.51)] (і=(і_х* =

тіпр.ѵ, т. е. нужно наіітп план про­

верок, который

минимизирует максимальные средние

ожидаемые потери. Приведем конечный результат реше­

ния задачи [64].

план

проверок

системы

Х * = (х і,..

Минимаксный

..., хт , . .

хт+и) задается так. Для

интервала

справа от

известной точки т

 

 

 

 

Хт+1—1 +

Т — j

I с

(п (н 3)

7 - 1 (7 = 1 . • • • . «).

7 _п + 1

2V

\ п -|- 1

 

 

 

 

 

(4. 74)

где п является либо нулем, либо таким наибольшим по­ ложительным целым, при котором

п (/1 +

2ѵ

(4.75)

1 ) < — ( Т - х ) - 2 .

 

 

 

С

 

Для интервала слева от точки т

 

I m

2ѵ

 

{і —0, 1,.. . ,

in), (4.76)

 

 

 

где m — такое наибольшее

положительное

целое, при

котором

 

 

 

 

 

m ( m - l ) <

-92—2 ~ - ■

(4.77)

если

 

 

(2 — я) с

 

 

 

 

 

— Г(k — m +

1) с

+Н й т-+]+(4-",)е> а

1 —я L

 

 

 

 

 

(4.78)

Здесь k равно наибольшему целому, при котором

. (4.79)

(2 — л) с

В противном случае, если условие (4.78) не выполня­ ется, план проверок, аналогичный выражению (4.76), за­ дается следующим образом:

Хі — І ■x m+1

(/'= 0, 1

m)

(4.80)

m -f- 1

 

 

 

при m = k, причем k определяется из условия (4.79).

164

При п —0 значения лу задаются согласно выражению (4.76), если

л

I(I + 2)

— 1

/п

т

1 — л

. 1+1

 

- V

 

 

I + 1

X

m

+ (/— m)c > 0 ,

(4.81)

где / — нуль или такое наибольшее

положительное це-

лое, при котором

 

 

 

 

 

 

/ ( / + ! ) <

2л (vT — с)

 

(4. 82)

 

 

 

 

(2 — л) с

 

 

Если условие

(4.81) не

выполняется, то ду при п = 0

задается как

 

 

 

 

 

х,=

т

с / г п ( т + 3)

(і = 0,

1, . . . , m)

171+ 1

2і> Д m + 1

 

 

(4.83)

 

 

 

 

 

 

при т = 1, определяемом из условия

(4.82).

 

Минимаксная средняя ожидаемая стоимость р, опре­

деляется следующим образом:

 

 

'(т + 1) с ,

ѵх

 

, п (и + 3)

 

(А=:Я

2

т

+ (Г -я ) тс А— ----------- с-

п + 1

 

 

 

2 (/И -1 )

 

 

 

 

 

 

(4. 84)

если п —0 и выполняется условие (4.81) или, если п> 0 и выполняется условие (4.77);

[А—я

 

vT

-(- (1 — я) [lc -\-v (T —T)],

(4. 85)

 

l —1

І2(И- 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

если n = 0 и условие (4.81)

не выполняется;

 

 

 

k + 2

ѵхт+1

- K l - я )

kc

n (n + 3)

c

I v ( T — T) 1

[ А = Я —— с

k -f- 1

2(/z+ 1)

 

7Z+ 1 j ’

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4. 86)

если п = 0 и условие (4.77)

не выполняется.

 

 

 

Как видно из приведенных

результатов, в зависимо­

сти от значений

стоимостей

с, ѵ и значения

известной

точки распределения я, х/Т минимаксный

план

будет

принадлежать к двум типам планов.

 

 

 

 

Планом типа А назовем план с составляющими

хт+і, ..., хт+п, заданными

согласно выражению

(4.74),

со значением п,

которое определяется из условия

(4.75),

и с составляющими хі, .. .,хт, заданными согласно .выра-

165

Смотрите также файлы