Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.06.2024
Просмотров: 243
Скачиваний: 3
Как уже отмечалось в § 1.3, промежуточный момент времени в уравнении Колмогорова—Чепмена можно выбирать произвольно. В частности, при записи выра
жения (2.1) |
было положено, что промежуточный момент |
t отстоит от |
конечного момента t+àt на малую вели |
чину Ы. Промежуточный момент можно выбрать вбли зи начального и рассматривать, таким образом, "момен
ты времени to, U+Ma |
и t. Для этого случая уравнение |
||
Колмогорова—Чепмена |
(2.1) |
примет вид |
|
PU ('.. ') = S Pit ('.. |
Д*о) Ріі (to + ^ о . t). |
(2.38) |
|
Поскольку в соответствии с (2.32)
то |
PU |
|
+ д * 0 ) = 8 « + i n ( g д*0 , |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Pa |
( W ) = |
S |
[8« +М |
Со) А^о1 Рц Со + |
Л'»- О = |
||
|
|
і=1 |
|
|
|
|
|
Отсюда |
получим |
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D A |
^ B |
, ° = ~ |
J ] ^ Со) PiikU, |
t). |
(2.39) |
|
Системы уравнений (2.37), (2.39) описывают |
один и тот |
||||||
же марковский |
процесс, но в первой из |
них производные |
|||||
берутся по настоящему времени t, во |
второй — по на |
||||||
чальному (прошлому) времени to. Систему |
уравнений |
||||||
(2.37) называют |
п р я м о й |
и говорят, что она |
обращена |
||||
в будущее (приращение M отсчитывается |
от настоящего |
||||||
времени і). Систему уравнений (2.39) называют о б р а т- н о й или обращенной в прошлое (приращение А/ отсчи тывается от прошлого времени to). Систему уравнений (2.39) не следует путать с соответствующими уравнения ми, которые описывают марковский процесс в обратном течении времени (см. об этом [10, 11]).
Прямая и обратная системы (2.37), (2.39) впервые были получены в [9], поэтому их называют системами дифференциальных уравнений Колмогорова. В дальней шем мы будем использовать только прямую систему (2.37).
48
Из системы (2.37) легко получить уравнения для
безусловных |
вероятностей |
pj(t). |
Действительно, |
умно |
|
жив обе части уравнения |
(2.37) на начальное распреде |
||||
ление pi(t0) |
и просуммировав |
по всем і, |
получим |
|
|
dpi |
(0. -^кЛі)M*) |
|
( 7 = 1 . 2 , |
N). |
(2.40) |
dt |
|
|
|
|
|
Здесь учтено, что
Система уравнений (2.40) полностью совпадает с си стемой (2.30), раскрывая тем самым физический смысл
элементов an(t). |
когда Kij{t) =А,І3-=const, пуассоновские |
В том случае, |
потоки становятся стационарными и, следовательно, ве роятности перехода в системе не зависят от времени. Протекающий в такой системе процесс называется одно родным, а соотношения (2.40) превращаются в систему
дифференциальных уравнений |
с п о с т о я н н ы м и ко |
эффициентами |
|
d-^=j]kMt). |
(2.41) |
Отметим, что стационарность пуассоновских потоков не влечет за собой стационарности процесса x(t). Процесс в системе будет всегда стационарным лишь в том част ном случае, когда начальные вероятности р*(М совпа
дают с финальными вероятностями. |
Начальным |
усло |
|||||||
вием для систем уравнений (2.40), |
(2.41) |
служит |
матри |
||||||
ца-строка вероятностей начальных |
состояний |
pj(io) |
(/ = |
||||||
= 1, 2, |
..., N). |
Решение указанных |
систем |
уравнений |
|||||
осуществляется |
с помощью |
преобразования |
Лапласа |
||||||
(см., например, [5]). |
|
|
|
|
|
|
|
||
После того как закончится переходный процесс, в си |
|||||||||
стеме |
(2.41) можно положить |
dpj(t)/dt=0 |
( / = 1 , 2, |
..., |
|||||
N). |
Тогда система дифференциальных уравнений вы |
||||||||
рождается в систему алгебраических |
уравнений |
|
|
||||||
|
|
Т,ЬІРІ=0. |
|
|
|
|
(2.42) |
|
|
4—186
Для исключения неопределенности необходимо из (2.42) взять N—1 уравнение и дополнить их условием нормировки
N
При анализе разрывных процессов Маркова с конеч ным числом состояний удобно использовать аппарат сиг
нальных графов. На рис. 2.5 изображен |
граф |
системы |
||||
с |
четырьмя |
состояниями |
||||
ХІ, |
ХІ, |
Хз, |
ХІ. |
Возможные |
||
переходы |
между |
состоя |
||||
ниями |
обозначены |
стрел |
||||
ками. |
Процесс в |
системе |
||||
можно |
представить как |
|||||
случайное |
блуждание точ |
|||||
ки по графу с мгновенны |
||||||
ми скачками из состояния |
||||||
в |
состояние |
под |
воздей |
|||
ствием |
пуассоновских по |
|||||
токов, |
характеризуемых |
|||||
интенсивностями |
|
%ц{і). |
||||
Рис 2.5. |
В [12, |
13, |
5] приведе |
|||
но |
весьма |
удобное |
мне |
|||
моническое правило, по которому легко составить систе му дифференциальных уравнений (2.40), располагая гра фом состояний системы. «Производная dpi/dt вероятности пребывания системы в состоянии равна алгебраической сумме нескольких членов; число членов этой суммы рав но числу стрелок на графе состояний системы, соединяю
щих состояние |
ХІ с другими состояниями. Если |
стрелка |
||||
направлена |
в |
состояние х ь то член |
берется |
со |
знаком |
|
п л ю с ; |
если |
стрелка направлена из |
состояния ХІ, Т О со |
|||
знаком |
м и н у с . Каждый член суммы равен |
произведе |
||||
нию вероятности, того состояния, из |
которого |
направле |
||||
на стрелка, на интенсивность потока событий, переводя щего систему по данной стрелке. Число отрицательных членов равно числу стрелок, направленных из состояния ХІ\ число положительных членов равно числу стрелок, натравленных .в состояние ХІ» [5].
Пользуясь этим правилом, составим дифференциаль ные уравнения, например, для вероятностей состояний
50
хг il Xi (рис. 2.5) :
d-£W~ = - |
|
[i ,x (0 + Я2 4 (Ol Р3 (О + |
К, (9ft(0 + |
я„(Ол(0. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.43) |
|
|
= - |
[я« (О + я4 2 |
(О + |
я4 , (0] Р4 (О |
+ |
|
|||
+ |
|
Я„ (О Л (О + Я,, (/)А |
(О + |
Хзі |
(t)p, |
(t). |
|
(2.44) |
||
Обозначая |
в соответствии |
с (2.36) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
М О = — [М О +-Ä*8(rf) + |
M 0 1 , |
|
|
|||||
приходим |
к |
выводу, что |
мнемоническое |
правило пол |
||||||
ностью отвечает соотношению |
(2.40). |
|
|
|
|
|||||
Рассмотренный |
пример |
с графом |
состояний |
позво |
||||||
ляет уяснить смысл введенной |
функции %u(t), |
которая |
||||||||
представляет собой взятую с обратным знаком сумму интенсивностей потоков, переводящих систему из всех остальных состояний в состояние Х\.
Более подробные характеристики эргодических раз рывных марковских процессов можно получить, если вос пользоваться методами теории поглощающих процессов. Дж . Кемени и Дж . Снелл [14] обобщили основные фор мулы, выведенные для дискретных цепей Маркова, на разрывные процессы с конечным числом состояний.
2.4. Процесс гибели и размножения. Примеры
из теории надежности и массового обслуживания
Теория разрывных марковских процессом находит свое основное применение в теории массового обслужи вания и связанных с ней многочисленных прикладных задачах [1, 2, 4—8]. Кроме того, разрывные марковские процессы играют значительную роль в математической теории надежности [12, 13, 15, 16].
Поскольку и теория массового обслуживания и тео рия надежности имеют непосредственное отношение к описанию работы различных радиотехнических систем, то целесообразно рассмотреть хотя бы простейшие за дачи, связанные с применением разрывных марковских процессов в указанных областях. В этой связи обратим ся к описанию так называемого п р о ц е с с а г и б е л и и
р а з м н о ж е н и я. |
Этот тип процессов начал впервые |
4* |
51 |