Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 28.06.2024

Просмотров: 217

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

изучаться © ібиологии <пря решении задач, связанных с оценкой численности популяций и анализом іпроцеоса распространения эпидемий. Математическая модель про­ цесса гибели и размножения оказалась всьма общей, и поэтому такие процессы получили широкое распростра­ нение во многих прикладных задачах.

Предположим, что система имеет конечное число состояний Хо, Хі, ..., xN. Пусть под воздействием пуассо-

НОВСКИХ

ПОТОКОВ ИЗ ЛЮбОГО

СОСТОЯНИЯ

Xh

( l i ^ k ^ N — 1 )

ѣ

X,

 

Х/с-Г

 

хм

 

 

 

jUf

 

рг ßb-,

ßk

ßk*1

^k*Z

ßN-1

 

 

 

 

Рис. 2.6.

 

 

 

возможен

переход

в соседние

состояния

хи-і

и Xh+i. Из

состояний

хо и XN можно перейти соответственно в со­

стояния

ХІ и Xjv-i. Переход

из состояния

х/4

в состояние

Xk+i в биологических задачах соответствует увеличению

популяции на одну единицу — эффект

размножения

осо­

бей. Наоборот, переход из состояния

Xh в состояние Хк-і

означает уменьшение популяции на

одну

единицу —

эффект гибели особи.

 

 

 

Положим для простоты пуассоновские

потоки

ста­

ционарными и обозначим интенсивности потоков, пере­ водящих систему из состояния хи в состояние Xh+i, через

Xh,

а интенсивности потоков, переводящих

систему из

Xk

в Xh-i, через \хи- Процесс, развивающийся

в такой си­

стеме, характеризуется графом состояний, представлен­

ным

на рис. 2.6.

 

 

 

 

В

соответствии

с мнемоническим правилом для веро­

ятностей состояний

процесса

гибели и

размножения

можно записать

систему дифференциальных уравнений

 

dt

 

 

 

 

 

 

^ Р =

 

-

( я Н - Ы М О + я * - , / * - ,

(t)+

 

+"»>*+,/*+, (0. ( f c = l , 2 ,

. . . , J V - 1 ) ,

(2.45)

 

 

 

dpN{t)

• -

V>NPN (0 +

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

52

В стационарном режиме вместо (2.45) имеем систему однородных алгебраических уравнений

 

+

№+ ,Р*+ > (k=l,2,...,M-l),

 

 

^Ли>

 

0 = - t V / v + V i P * - i -

 

 

 

Ее необходимо дополнить условием

нормировки

:

 

 

 

 

S : > = 1 .

 

 

(2.47)

Для

решения

системы

уравнений

введем обозначения

 

 

Jtft =

—hhPk+Vh+iPh+i.

 

(2.48)

Тогда

вместо

(2.46)

имеем

 

 

 

 

— *fc+,=0,

(*=0. 1,2

ІѴ— 1),

(2.49)

 

•* =

<>•

 

 

 

 

 

Из (2.49) можно заключить, что ял = 0

(£ = 0,

1, 2, ...,

N — 1 ) . Следовательно, ів соответствии с

(2.48)

 

Рь

Полученное соотношение является рекуррентным. Оно позволяет выразить значение вероятности pk+i через все предыдущие

»

Pfc+i

=

—

Р'і = = ~7Г7І

Рь-і

=

 

 

 

 

k

 

=

Х"

• • -XlX°

Р0 = р0Т\

- ^ .

(2.50)

 

 

 

t і=0

 

Вероятность p0 , через которую выражаются вероятности всех остальных состояний, находится из условия норми-

53

ровки

(2.47):

N—\

Ii

 

JV—I

 

, + J ] Pk = Po+Po J

] П

Откуда

fc=0

6=0

i=0

следует, что

 

 

 

+Sn

 

 

/V—1

k

(2.51)

 

 

 

 

Л=0

(=0

 

Формулы (2.50), (2.51) позволяют по заданным интенсивностям Xk, цн определить финальные вероятности процесса гибели и размножения при конечном N:

Пример из теории надежности. Процесс гибели и раз­

множения может быть применен для изучения работы

 

 

Рабочие

п

 

 

 

элементы

 

 

Нагруженный

Л/

 

 

 

 

 

резерв

/77

 

 

 

Облегченный

Ремонтное

г

 

резерв

I

устройство

 

Ненагруженный

 

 

 

резерв

s

 

 

I

Устройство

 

 

^резервирования

 

 

Рис. 2.7.

сложных радиоэлектронных систем, в которых происхо­ дит восстановление отказавших элементов за счет имею­ щегося резерва. Рассмотрим пример идеализированной

системы

подобного

рода [15].

 

Пусть

в системе

(рис. 2.7) имеется

/г основных рабо­

чих элементов,

устройство

резервирования объемом т +

+ /+s единиц

и ремонтное

устройство,

рассчитанное на

г элементов. Предполагается, что рабочие элементы, рав­ но как и все остальные, одинаковы по показателям на­ дежности, причем время безотказной работы каждого элемента распределено по показательному закону (т. е.

54

поток отказов пуассоновский). Каждый элемент после отказа поступает в ремонтное устройство для восстанов­ ления. Пусть время пребывания в ремонтном устройстве также распределено по показательному закону с интен­ сивностью ір,. После восстановления элемент направляет­ ся в устройство резервирования, основная функция кото­ рого состоит в том, чтобы при отказе рабочего элемента замещать его работоспособным резервным элементом. Устройство резервирования содержит в себе резервные элементы, находящиеся в трех разных режимах. Из об­

щего

количества m элементов составляют н а г р у ж е н ­

н ы й

резерв. Элементы нагруженного резерва находят­

ся в режиме рабочих элементов и, следовательно, отка­ зывают с одной и той же интенсивностью X; I элементов составляют резерв, работающий в о б л е г ч е н н о м ре­ жиме, и поэтому интенсивность ѵ отказов этих элементов меньше, Чем интенсивность X. Последняя группа элемен­ тов устройства резервирования — н е н а гр у ж е н н ы й резерв объемом s элементов. Предполагается, что в этом состоянии элементы не отказывают.

В целом рассматриваемая идеализированная система функционирует следующим образом: каждый отказав­ ший рабочий элемент мгновенно поступает в ремонтное устройство и мгновенно замещается элементом из нагру­ женного резерва; если ремонтное устройство переполне­ но, то отказавший элемент ставится в очередь; каждый вышедший из строя или перешедший в основное рабочее состояние элемент из нагруженного резерва мгновенно замещается элементом из облегченного резерва; каждый отказавший или перешедший в нагруженный резерв эле­ мент из облегченного резерва мгновенно замещается элементом из ненагруженного резерва; каждый восста­

новленный элемент поступает в

ненагруженный резерв.

Всего в системе имеется N'=n+m

+ l+<s элементов, и она

полностью выполняет свои функции, если число исправ­ ных элементов не меньше п.

Если п о д

с о с т о я н и е м с и с т е м ы понимать

ч и с -

л о H е и с п р а в н ы х в каждый

момент э л е иге н т о в, то

легко уяснить, что работа такой системы

описывается

марковским

процессом гибели

и размножения.

При

этом процесс размножения состоит в увеличении

числа

отказавших элементов—переходы типа хи—*Хи+і,

а про­

цесс гибели

соответствует восстановлению

элементов —

переходы типа

хь.—ухи-і.

 

 

 

55

Параметры процесса гибели и размножения (<Хі,, ць) в данном случае оказываются непосредственно завися­ щими от номера состояния k. Действительно,

если 0sg;A<g;s, то %и=(п +

т)Х+чі;

 

если s<à^.s

+ l, то А*=•(п+т)%+v{l+s— к) ;

если l+s<à^J\f, то Ä,fe= (n+m+s +

l—k)l;

если A^ir, то ил—/гц;

 

 

если /г>/', то

jjft=/'|.i.

 

 

Описанная

схема работы

системы

охватывает боль­

шое число частных случаев, распространенных на прак­ тике. Рассмотрим два примера из множества возможных вариантов и определим финальные вероятности со­ стояний.

1. Полное число элементов системы равно п, из них (п—т) находятся s рабочем состоянии, а остальные составляют натруженный резерв. Ремонтное устройство

«мет объем

г^п. В этом случае интенсивности процес­

са гибели

и размножения имеют вид

Хи=(п—к)\к,

Используя соотношения (2.50), (2.51), получаем

п(A. -J- (д.)'

2.Система имеет п рабочих элементов и неограни­ ченный ненагруженный резерв. Объем ремонтного уст­

ройства также неограничен. Для этого случая %h=nX, [ik—k[i. С помощью (2.50), (2.51) получаем

Пример из теории массового обслуживания. Проил­ люстрируем теперь использование марковского процесса гибели и размножения в теории массового обслужива­ ния. Рассмотрим математическую модель автоматическо­ го телефонного узла связи, проанализированную впервые Эрлангом (см., например, [5, 8]).

Пусть на вход системы обслуживания, которая имеет N каналов, поступает пуассоновокий поток заявок с ин­ тенсивностью X. Предполагается, что «ремя обслужива­ ния заявок в каждом канале распределено по экспонен­ циальному закону с интенсивностью ц. Если заявка по­ ступает ,в систему в тот момент, когда все N каналов за­ няты, то она остается необслуженной (система с отказа-

56

Смотрите также файлы