Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf

ми); если же заявка застает свободным хотя бы один

ч и с л о з а н я т ы х о б с л у ж и в а н и е м к а н а л о в не-

в состояние Xh+u и поток освобождений всех k занятых обслуживанием каналов, стремящийся перевести систе­ му в состояние Хи-і. Интенсивность потока освобождений

мнемоническое правило, выпишем систему дифференци­ альных уравнений для вероятностей состояний

% ^ = - * / > . ( ' ) + w \ W ;

57

Ее следует решать совместно с условием нормировки (2.47).

•По аналогии с (2.48) введем обозначения

системы обслуживания. Например, вероятность обслу­ живания заявки р о б е л равна вреояпности того, что.заяв­ ка застанет свободным хотя бы один канал р о б с л = 1 — P N - Среднее число занятых каналов < & > ' также вычисляет­ ся с помощью вероятностей (2.58) :

N

<é> = 2 kPk

Нетрудно также найти соотношения для среднего времени 'простоя канала, для вероятностей занятости и полной загрузки системы {5, 8].

®

2.5.Импульсные марковские процессы с дискретными

состояниями

В статистической радиотехнике, теории автоматиче­ ского регулирования можно указать целый ряд задач, в которых используются марковские разрывные процес­ сы и м п у л ь с н о г о хар актер а [3, 17—20].

Характерной особенностью большинства импульсных процессов является наличие опорного (в частном случае, нулевого) уровня, на котором начинаются и заканчива­ ются отдельные импульсы. Это обстоятельство непосред­ ственным образом отражается на матрице вероятностей перехода (2.33), которая в данном случае приобретает вид

P ( U + A0 =

(2.59)

Здесь в качестве опорного уровня выбран уровень (со­ стояние) с номером 1. Ненулевыми в матрице (2.59) яв­ ляются элементы, которые соответствуют переходам из состояния ХІ во все остальные; из состояний ХІ (іфі) переходы возможны только в опорное состояние ХІ и в самоё себя, остальные переходы запрещены. Одна из возможных реализаций импульсного процесса, описывае­

н о с т е й импульсов (равно как и пауз на первом уров­ не) является э к с п о н е н ц и а л ь н ы м с соответствую­ щей интенсивностью. Составляя по матрице (2.59) граф состояний и используя мнемоническое правило (§ 2.3),

59

стояниями, возможная реализация которого изображена на рис. 2.1. Тогда из (2.60) получаем

Поскольку для каждого момента времени имеет место соотношение Pi(i)+pz(t) = l, то вместо двух уравнений (2.61), (2.62) можно рассматривать одно из них.

N

3

1

Рис. 2.9.

Исследуем подробнее однородный процесс с двумя состояниями, для которого

Тогда вместо (2.61) имеем

^Р- = - aPl'(t) + ßp2 (0 = - YP, (0 + ß, (2.64)

где

(2.65)

Решение уравнения (2.64) при начальном условии Рі(іо) имеет вид

60

Найдем теперь корреляционную функцию импульсно­ го марковского процесса с двумя состояниями, для чего

Поскольку при a=const, ß=const марковский про­ цесс однороден, то вероятности перехода (2.71)—>(2.74) зависят только от разности аргументов t—U=x. Для стационарного режима совместные вероятности р(хі, Xj, %) на основании (2.68), (2.71) — (2.74) записываются сле­ дующим образом:

61