Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf

Общее выражение для корреляционной функции

Используя соотношение Винера — Хинчина, находим выражение для спектральной плотности мощности процесса x(t):

и на практике часто возникает необходимость его мо­ делирования. Устройство для генерирования такого про­ цесса весьма просто .можно построить, используя два ра­ диоактивные элемента в качестве источников пуассоновских случайных потоков [21]. Излучение от одного из ра­ диоактивных элементов воздействует на специальный де­ тектор (например, счетчик Гейгера), и импульсы . вы­ хода последного запускают триггер. Возвращение триг­ гера в исходное состояние осуществляется импульсами от другого детектора, реагирующего на излучение от второго радиоактивного элемента. Таким образом на триггере создается напряжение, являющееся марковским процессом с двумя состояниями.

62

Следует подчеркнуть, что выражение (2.82) впервые по­ лучено С Райеом [22] на основе использования частной закономерности, характерной лишь .для телеграфного сигнала. Применение метода (22] к более общему про­ цессу (когда «т^р) затруднительно.

Импульсные марковские процессы 'могут служить ма­ тематической моделью хаотических импульсных помех (ХИН), если при задании пуассоновских потоков поло­ жить \iî(t)>%u(t)- (і=2, 3, ...,N). Для марковского процесса с двумя состояниями это условие сводится •к выполнению неравенства ß^>a.

Трудности в теории синтеза радиоприемных устройств, находящихся под воздействием белого шума и импульс­ ных помех объясняются, в частности, сложностью суще­ ствующих математических моделей импульсных помех* Действительно, даже в простейшем случае необходимо задавать порознь распределения трех основных пара­ метров:, амплитуды, длительности и времени появления импульсов. В марковской модели задаются только интен­ сивности пауссоновских потоков. В ряде частных, но важных случаев, число задаваемых параметров может быть сведено к 'минимуму. Так, можно положить <Кц=а, Ati="ß для всех і=2, 3, ..., N. Преимущества марковской модели ХИПособенно проявляются в связи с возмож­ ностью применения теории условных марковских процес­ сов к задачам оптимального обнаружения и фильтра: ции сигналов [23] (см. также гл. 5).

t

2.6.Разрывные марковские процессы с непрерывным

множеством состояний

Рассмотрим теперь случай, когда разрывный марков­ ский процесс имеет непрерывное множество состояний. Одна из возможных реализаций такого процесса изобра­ жена на рис. 2.3. Поскольку множество состояний не­ счетно (образует континуум), то интенсивности потоков тина lij(t) задать нельзя и, следовательно, нельзя вос­ пользоваться формой представления вероятностей пере­ хода в виде (2.32).

Для описания разрывного марковского процесса с не­ прерывным множеством состояний воспользуемся мето­ дикой, •использованной при выводе уравнения (2.28), обобщив ее на непрерывный случай. Для каждого со­ стояния X определим интенсивность пуассоновского по-

63

—оо

Аналогично (2.23), (2.24) запишем вероятности от­

Тогда с учетом (2.84) — (2.86) вероятности перехода раз-

„рьтвного процесса x(t) из состояния х' за время At вы­ разятся соотношениями

Вероятность того, что процесс в момент t находится на участке (х', х'+Ах') и за время At перейдет на участок (х, х+Ах) определяется соотношением

w(x', t)Ax'h{x', t)AtQ{x\ x, t)Ax. (2.90)

Используя (2.89), (2.90), получим выражение для полной вероятности того, что процесс в момент t+At окажется в состоянии х:

w(x, t-\-At)Ax = w(x, t)Ax[\ —1(х, t)At\-\~

46

Сократим (2.91) на Ах, перенесем в левую часть равен­ ства w(x, і) и .разделим обе части уравнения на At. В результате предельного перехода при Д ^ — У О , АХ'—>0 вместо (2.91) имеем

— o p

Интегро-дифференциальное уравнение (2.92) является основным для разрывных процессов с непрерывным мно­ жеством состояний. Оно называется уравнением Колмо­ горова (см., например, [24—26J).

В том случае, когда

в общем виде не получено. При необходимости для ре­ шения следует пользоваться приближенными методами или рассматривать частные случаи.

В качестве примера построим модель импульсных по­ мех на основе марковского разрывного процесса с не­

процесс может попасть только из состояния х=0 и не из

то 'из (2.96), (2.98) можно .получить соотношения

1-1

Эти соотношения полностью определяют финальное распределение w$(x) процесса x(t):

Вид финального распределения [показан на рис. 2.10.

3

НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ

которая определяет вероятность того, что значения случайной функ­

t