Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 28.06.2024

Просмотров: 220

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

в интервале [х„, xn+dx„]

пр и у с л о в и и ,

что в предыдущие мо­

менты

времени

£і,'г2 ,

tn-i

процесс

принимал

значения

Xh i(fe=l, 2

п—1).

 

 

 

vn(xn,

tn\xi t\\

Таким

образом,

условная

вероятность

Хг, tr,...;

Xn-i,

tn-i)dxn

зависит от

в с е й п р е д ы с т о р и и

процес­

са, начиная с начального момента

tt п кончая моментом / п - і . Есте­

ственно «азвать /момент tn «будущим», момент

— «настоящим»,

а все остальные

моменты от Л до /п -2 — «прошлыми». Ори этом ве­

личина

ѵп(хп,

/п |.Ѵі, ti;

...; -Vn-i,

tn-i)dxn

іможет

рассматриваться

как 'вероятность перехода.

Рис. 3.1.

Можно предположить, что процесс испытывает «вероятностное последействие» не от всего прошлого, а только^от некоторого чис­ ла m предыдущих значений. Но процесс x[t)" будет марковским лишь в том случае, когда

vn:(xn, tn\xu ti; л-2, 4;

хп, tn)

=

= v2(xn,tn\xn-udn-l).

 

(3.2)

Соотношение (3.2) определяет'M ар к о в к; к о е

с в о й с т в о яепре-'

рывных процессов.

 

' •'

Отметим, что при выборе моментов времени не было сделано ни­ каких оговорок относительно промежутков между ними, так что их можно выбрать различными. В частности, промежуток времени меж­ ду «будущим» (4п) и «настоящим» (^п-і) на этом основании может

иметь произвольную протяженность.

68

В силу условия нормировки для

Каждого

момента

времени

имеет место равенство

 

 

 

 

 

 

00

 

 

 

 

 

 

 

j

v(xn,

t„

I xn.и tn-i)

dxn

= 1.

 

(3.3)

— o o

 

 

 

 

 

 

 

(Здесь и далее индекс 2

у

плотности

вероятности

перехода

ѵ опу­

щен.) Интуитивно

ясно,

что чем дальше от

«настоящего»

отстоит

интересующий пас момент из «будущего», тем неопределеннее

іщрогаоз, который дает функция

ѵ(х„, tn\xn~i,

 

tn-i).

Это означает,

что дисперсия

-плотности вероятности перехода с ростом

разности

tn—должна

кад-то увеличиваться. Отмеченное обстоятельство

иллюстрируется

рис. 3.1, где

изображена

реализация

случайного

процесса

x(t),

начавшаяся в момент t\ из положения х, и

находя­

щаяся в «настоящий» момент tn-i

в точке

х„-\. Характер

плотно­

стей вероятности перехода ѵ(хп,

іп\хп-і,

tn-i)

изменяется

по мере

того, как величина t„ принимает значения t'n,

f'n, t"'n.

Однако не

следует

полагать, что тенденция

к

«расплыванию»

сохранится

у функции V при значительных

величинах

разности tn—t

п—ь Как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

станет ясно из дальнейшего, плотность вероятности перехода с ро­

стом

t»—tn-\

стремится в большинстве случаев к своему стационар­

ному

значению. Если

бы процесс

x(t)

не

был марковским; то на

характер

плотности

вероятности

перехода

влияла

бы

ф о р м а

реализации

x(t) (t<in~{).

Это означает, что

у

н е м а р к о в е к их

процессов

плотность

ѵ является

 

ф у н к ц и о н а л о м

от

реализа­

ции x(t).

отметить,

что соотношения

(3.2), (3.3) справедливы для

Важно

произвольного

п, так что можно

записать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wi(X,, ІГ, Х2, ti\ ...;

X;ti) =

 

 

 

 

 

-Wi-\(x\,

ii\ ...; Xi-,, /,_,)V(Xi,

<i\xi-,,

ti-i)

 

 

 

 

 

(( = 2,3, ... ,/!) .

 

 

 

 

 

(3.4)

Применяя

последовательно

к распределению

wn(x\,

t,;

...; .v„, tn)

соотношение <(3.4), получим, что*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wn{xu

ti; x2,

t2\

...; xn,

t„)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

= w\(xu

t,)v(x2,

t2\xi,ti)x-

 

 

 

 

 

 

v(Xs, ti\Xi, h)X

 

...

Xv,(xn,

tn\xn-u

 

tn-i).

 

(3.5)

 

Таким

образом,

марковский

 

процесс

полностью

определяется

одномерной плотностью распределения W[(xu

і})

и плотностями ве­

роятности

перехода

ѵ(хі,

ti\Xi-i,

ti-i),

(i=2,

3,...,

n).

Для не­

марковских процессов представление многомерной плотности вероят­

ности в виде

(3.5)

невозможно.

 

 

В том случае, когда плотность вероятности перехода зависит от

разности ('/,-—/,--і)

и не зависит от конкретных значений U, ti-\, т. е.

 

v(Xi,

t{\Xi-u

ti-i)=v(Xi,

ti—ti-x\Xi-i),

(3.6)

-непрерывный

марковский

процесс,

называется

о д « о р о д и ы м.

Как и прежде, однородность процесса

не означает

его стационарпо-

69

сти. Действительно, двумерная плотность однородного процесса определяется равенством

 

ад2(лгі-і, ^'-ь хи

U) =

 

 

=

ш,(*,•_,,

tt-i)v(xi, ti—tt-i\Xi-i),

(3.7)

а которое входит

зависящая от времени одномерная плотность

Wi(xt-i, ti-[). Марковский

процесс становится

стационарным

лишь

тогда, когда ШІ(ЛГ,-_І, Л - і)

=wl(xi-]).

равно как марковские

цепи

Непрерывные

марковские процессы,

и марковские разрывные процессы, подчиняются фундаментальному соотношению Колмогорова—Чепмена. Для непрерывных процессов оно впервые было получено польским физиком М. Смолуховским, и іпоэтому интегральный' вид соотношения Колмогорова — Чепме­ на чаще всего называют уравнением Смолуховского. К уравнению Смолуховского можно прийти в результате рассуждений, аналогич­ ных тем, которые проводились в § 1.3.

Рассмотрим три последовательных момента времени

t0,

т

и t

(to<"t<t). Пусть в момент

to процесс

имел значение х0.

Тогда

ве­

роятности перехода из точки х0

на интервал

(у,

y + dy)

в момент т

и -на интервал (х, x+dx)

в момент t запишутся в виде ѣ(у,

х\ха,

h)dy,

и(х, t\xo, t0)dx. Аналогично v(x, t\y, x)dx—вероятность

перехода m

точки у (в момент т)

на интервал

(х,

x+dx)

в момент

і. Полная

вероятность

перехода

из состояния

(хо, >t0) на

участок

(х,

x+dx)

в момент t

v(x, t'\x0, to)dx получается иштепргарова.ниемпроизведения

вероятностей ѵ(х,

t\y,

i)dx-v(y,

т|хо, t'o) dy

по

всем

промежуточ­

ным значениям у:

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и (х, t

I х 0 , t0)

dx

— J

V (х, t

I y,

t) dxv (y,

t | x0 ,

t0)

dy.

 

 

 

 

 

 

— 0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда следует

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o(x,

/ I Хо, /„) =

^

v(x,

t I y,

t) V (y, t l x0 , t0)

dy.

(3.8)

 

 

 

 

— 0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соотношение (3.8) есть уравнение Смолуховского. Оно наклады­ вает существенное ограничение на вид плотностей вероятности пе­ рехода ѵ: интегрирование по dy произведения двух функций ѵ должно, во-первых, исключать зависимость результата интегрирова­ ния от промежуточного момента т и, во-вторых, привести к той же самой функции ѵ.

3.2.Броуновское движение

Впредыдущих главах было показано, что каждый из рассмотренных видов марковских процессов описывается вполне определенными уравнениями. Так, марковские

цепи характеризуются системой а л г е б р а и ч е с к и х уравнений, разрывные марковские процессы со счетным числом состояний — системой д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравнений, а разрывные процессы с непрерывным мно­ жеством состояний подчиняются и н т е г р о - д и ф ф е - 70

р е н ц и а л ь н о м у уравнению. Для непрерывных мар­ ковских 'процессов также существуют уравнения, кото­ рые позволяют определить плотности распределения ве­ роятностей. Однако прежде чем переходить к их выводу, рассмотрим одну частную задачу о движении броуиов^ ской частицы р—3].

Как известно, броуновское движение совершают ма­ лые частицы, 'подвергающиеся большому числу ударов

И

At

О

t

 

Рис. 3.2.

со стороны молекул. Каждый удар 'Незначителен по воз­ действию, но наложение множества малых ударов вызы­

вает заметное перемещение

частицы. К процессу броу­

новского

движения

можно

прийти путем

предельного

перехода

от с л у ч а й н о г о

б л у ж д а н и я

(см. примеры

гл. 1), особенностью

которого является м а л о е

переме­

щение ва

один шаг. JB пределе такое движение

будет

казаться

непрерывным.

 

 

 

Предположим, что частица совершает случайное блуждание с шагом по времени At и шагом по коорди­ нате іАх (рис. 3.2).

В отличие от примеров гл. 1, рассмотрим неограни­ ченное случайное блуждание. Положим, что за каждый

шаг

частица может изменить свое состояние только на

dzАх.

Причем переход вверх (+Ах) осуществляется с ве-

71

роятностыо р, а переход вниз (—Ах) — с вероятностью

<?=1— р.

Такой характер движения (за малое время At части­ ца обязательно перемещается, «о на малое расстояние ±Ах) после предельного перехода (At—Ю, Ах—Ю) дает непрерывный случайный процесс. Для сопоставления вспомним, что разрывные процессы характеризовались тем, что за время At вероятность скачка была значитель­ но меньше вероятности его отсутствия; если же окачо'к происходил, то состояние изменялось, и как правило, на

значительную величину.

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

в начальный

момент t = 0 частица

находилась

в состоянии

х = 0. Через N. шагов

в

момент

t — NAt

она

окажется

в точке с координатой х = тАх.

 

Обозначим

ве­

роятность

перехода из

точки

(/ = 0,

л:=0)

в

точку

(t =

— NAt, х=тАх)

через

Р(тАх,

NAt\0,

0). В соответствии

с изложенными

выше

правилами

блуждания, частица

может попасть

в точку

(тАх,

NAt)

 

из

состояний

(х =

= (т—1)Дх

и х= (т+\)Ах,

в которых

она

может

ока- .

заться в предыдущий момент

t= (N.— l)At.

В каждое из

этих предыдущих состояний частица попадает из началь­ ной точки с вероятностями

 

Р[(т—1)Ах,

(N— 1)Д*|0, 0] н

 

 

 

Р{(т+\)Ах,

(N— 1)А*|0,

0].

 

 

В соответствии с формулой полной

вероятности

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р[тАх,

№М|0, 0 ] = р Я [ ( т — \)Ах,

(N— 1)Д*|0,

0] +

 

+ qP[(m+\)Ax,

(N—\)At\0,

0].

 

(3.9)

В силу 'малости Ах вероятности перехода в уравне­

нии (3.9)

можно записать через

плотность

вероятности

перехода таким

образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

Р[тАх,

/Ш|'0,

0 ] =

 

 

 

 

=

v(x,

t\0,

0)ДЛ;=О(Л:,

 

t)Ax.

 

 

Тогда вместо (3.9) получаем

 

 

 

 

 

ѵ(х,

t)=pv(x—Ax,

t—At)+qv(x

+ Ax, t—At).

(3.10)

Разложим функцию и в правой части (3.10) в ряд Тей- • лора в окрестности точки (х, t). Опуская для краткости

72

Смотрите также файлы