Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.06.2024
Просмотров: 248
Скачиваний: 3
аргументы у функции ѵ, получаем |
|
|
|
|||
|
|
ѵ = ѵ - (р - q) |
Ах - (p-j-ç) |
М + |
|
|
|
+ 4 - ( A # ( p 4 - ^ ) g + 4 - (р+ 9 ) 5 ( Д 0 2 |
+ |
|
|||
|
|
+ ( р - 9 ) | а д ^ + - |
|
|
( З Л І ) |
|
С |
учетом того, что p + q=\, соотношение |
(3.11) |
при |
|||
нимает вид |
|
|
|
|
||
. |
; |
+ ф £ + & . - , ) й ^ > + ~ |
|
<3'12> |
||
Разделим |
(3.12) на Д^, устремим величины |
At, Ах |
к ну |
|||
лю и предположим существование следующих преде лов:
lim {£=Щ** = |
Кі; |
(3.13) |
Ддя-О |
|
|
lim ^ - = |
/С,. |
(3.14) |
Д*->-0 |
|
|
Из (3.13), (3.14), в частности, |
следует, |
что At и Ах |
стремятся к нулю по-разному, причем Ах « (Д^)1 '2 и, сле довательно, (р — q) ?» (Д^)1 / 2 .
При переходе к пределу два последних члена (3.12) обращаются в нуль и для плотности вероятности пере хода V получаем следующее уравнение:
Tt |
A l ^ F " T " 2 • о*»' |
( c U Ö ' |
Это дифференциальное уравнение второго порядка в ча стных производных параболического типа. Для его реше ния необходимо задать начальные и граничные условия. По условию задачи блуждание частицы начинается из нулевой точ,ки (х=0, *=0), поэтому начальное условие имеет вид
v{x, t = 0)=6(x). |
' (3.16) |
Поскольку блуждание частицы |
рассматривается |
в б е с к о н е ч н ы х пределах, то в качестве граничных условий принимается исчезновение функции ѵ на беско нечности.
73
Задача, состоящая в нахождении решения дифферен циального уравнения в частных производных іпри ука занных условиях носит название з а д а ч и К о ш и, а само решение называется ф у н д а м е н т а л ь н ы м . Решение уравнения (3.15) при сформулированных выше условиях записывается в виде [4]:
|
в ( ^ ) |
= |
7 Щ а р |
[ - ^ ] ' |
{ З Л 7 ) |
|
|
Как видно, плотность |
вероятности перехода |
имеет |
|||
вид |
нормального |
закона |
с математическим ожиданием |
|||
Kit |
и дисперсией |
Kit. |
С течением |
времени дисперсия за |
||
кона увеличивается, причем математическое ожидание распределения с ростом і также претерпевает измене-' ние: равномерно смещается в ту или иную сторону в за висимости от знака коэффициента К\.
Уравнение (3.15) описывает не только вероятностные характеристики движения броуновской частицы, но и ха рактеризует процессы теплопроводности и диффузии. По
этой причине |
оно |
часто называется д и ф ф у з и о н н ы м. |
|||||||
Для |
ненулевых |
начальных |
условий |
хо и |
/0 |
вместо |
|||
(3.17) можно получить |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
v(x,t\x0,t0) |
|
= |
|
|
|
|
= |
, |
1 |
e x p i - |
[ |
* - * Ѵ ~ ^ ( Ѵ ; М 1 2 |
). (3.18) |
|||
В том частном |
случае, когда |
Кі>=0, плотность |
вероят- |
||||||
ности перехода удовлетворяет |
уравнению |
|
|
|
|||||
|
|
|
дѵ _ |
Кг |
|
д2ѵ |
|
|
(3.19)' |
|
|
|
~ді |
2 |
|
дх? ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
которое |
имеет решение |
|
|
|
|
|
|
||
° ^ ' і * > ц - у м . ; _ , " л |
|
« p [ - f e ^ r ] - |
<з -2 °> |
||||||
Если |
подставить (3.20) в соотношение |
(3.8) |
и произ |
||||||
вести соответствующие преобразования, то можно убе диться в.том, что функция v(x, t\xQ, to) удовлетворяет уравнению Смолуховского.
До сих пор рассматривалась лишь плотность вероят ности перехода броуновского движения, однако эта ха рактеристика для процесса x(t) не является исчерпы вающей, и не меньший интерес представляет определе-
74
ние одномерной плотности распределения 'вероятностей
Wi (x, і).
Начальные условия для случайного блуждания в общем случае могут быть заданы начальным распре
делением |
WI(XQ, |
t0). |
|
Учитывая, |
что w2(xo, |
U\ x, |
t)— |
|||||||
= Wi(x0, |
t0)v(x, |
t\x0, |
to), |
одномерную функцию W[(x, |
t) |
= |
||||||||
= w(x, i) находим из выражения |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w(x,t) |
= |
^w(xa,t0)v(x,t\x0,t0)dx0. |
|
|
(3.21) |
||||||
|
|
|
|
|
— 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Умножая |
(3.15) на w(x0, |
to) и интегрируя по х 0 , |
с уче |
||||||||||
том (3.21) |
приходим |
|
к выводу |
о том, что одномерная |
||||||||||
плотность |
вероятности |
w (х, і ) |
подчиняется |
тому |
же |
|||||||||
уравнению, |
что и плотность |
вероятности |
перехода |
|
||||||||||
|
|
dw{x,i)_ |
ѵ |
|
âi» (x, /) i |
J(2 |
d*w(x, t) |
/о |
oo\ |
|||||
|
|
1 |
dt |
—~ A |
' |
~д~х |
~^~2 |
. dx* |
• |
(à-ZA> |
|
|||
Уравнение |
(3.22) |
решается при начальном |
условии W(XQ, |
|||||||||||
to). |
В частности, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
w{xo, |
to) =&{х—Хо), |
|
(3.23) |
||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w(x, |
|
i)=v{x, |
t\xo, |
to). |
|
(3.24) |
|||
В |
последнем |
.случае |
при Кі=0 |
решением |
уравнения |
|||||||||
(3.22) |
является известная функция |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
w (x, і) = -у= |
1 |
|
exp ( - |
~ Х о ) Д 1, (3.25) |
||||||||
которая не имеет стационарного |
распределения. |
|
|
|||||||||||
|
Если движение |
броуновской |
частицы |
происходит |
||||||||||
между отражающими экранами, расположенными на рас
стоянии |
d. друг от друга, то плотность |
вероятности |
Wi{x, А) |
имеет предельную стационарную форму |
|
|
Ümw(x,t) = w{x) = ]./d, |
(3.26) |
|
f-voo |
|
не зависящую от начального состояния.
75
Для поглощающих экранов предельное распределе ние зависит от XQ и имеет .вид суммы двух дельта-функ ций
lim ш (x, t) = w (x) = (l - - |
a (x) + - J L 8 (je - d), |
(3.27)
y//////////////////////////////,
5
3
Рис. 3.3.
Рис. 3.4.
поскольку в конце концов все -реализации окажутся по глощенными.
Результаты (3.26) и (3.27) имеют ясный физический смысл и иллюстрируются рис. 3.3, 3.4.
3.3: Уравнения Колмогорова для непрерывных
марковских процессов
Уравнение -(3.1|) для плотности вероятности перехо да непрерывного марковского процесса выведено при ре шении хотя и частной, но имеющей ясный физический смысл задачи. Более общие уравнения для плотностей
76
вероятности перехода непрерывных марковских процес сов были получены А. Н. Колмогоровым [5] на основе использования соотношения Смолуховского (3.8). Вывод
уравнений |
Колмогорова, |
близкий к |
оригинальному |
- имеется в |
работах |2, 3, 6, |
7]. Получим |
п е р в о е уравне |
ние Колмогорова, несколько упростив рассуждения [5]. Поскольку в уравнении Смолуховского выбор проме
жуточного |
момента т произволен, то можно положить |
||
x—t0+At0(àto |
мало). Тогда (3.8) запишется в виде |
||
|
|
v(x,t\x„t9) |
= |
= |
Jv{x,t\ |
у, t0 + д у |
о (у, t0 + Д^01 х0. У dy. (3.28) |
—оо
Предполагая плотность и но крайней мере трижды дифференцируемой, а ее производные ограниченными, разложим функцию v(x, t\y, U+Aio) в ряд Тейлора по у в окрестности точки у=ха:
|
v(x,t\ |
|
у, t0 -J- |
Д*0) = |
V (x, 11 xt, |
t0 |
+ |
At0) |
-j- |
|
|||||
t |
dv(x,t\x0, |
t0 |
+ àt0) |
, |
- |
|
. |
, |
1 |
д2ѵ |
(x, |
t {xt, |
tp + |
At0) ч . |
|
~1 |
Wo |
|
[ У |
X°> + |
~2 |
|
|
|
^ 2 |
|
A |
||||
|
X(y-xor |
|
+ ^ |
^ |
^ |
l |
é |
^ |
^ ( |
y |
~ |
x |
o y |
. |
(3.29) |
Здесь последнее слагаемое есть остаточный член ряда, определяемый, как известно, через промежуточную точ ку І ( * > < £ < я ) .
Подставив |
(3.29) ві(3.28), |
получим |
|
|||
|
v[x,t\х0, |
ta) = v(x, |
11х0, t0 -f- Д*0) X |
|||
X |
Jo (У, t0 + |
At01 x.. t0) dy + д и ( |
Х ' 1 1 |
+ М о ) X |
||
|
—оо |
|
|
|
|
|
|
|
OS |
|
|
|
|
|
X |
fo |
— xe)o(y,ta |
+ |
At0\xa,ta)dy+ |
|
|
—оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
—со |
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
+ |
àt.\x..t.)dy |
|
+ ± |
+ |
|
\(y-xafX 77 |
|
|
|
|
|
|
|
—со
Xv(y,ia |
+ Ata\xa,t0)dy> |
(3.30) |
Перенося первое слагаемое правой части в левую,
учитывая |
(3.3) и деля обе части |
уравнения |
(3.30) на |
|||||||
Ato, получаем |
|
I Х0, і*0) — у {х, t1 х0, |
|
|
|
|
||||
|
V (X, t |
t0 + At0) |
|
|
||||||
|
dv{x,t\xa,t0 |
+ |
àta) |
J 1 |
со |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
дх0 |
|
|
I àta |
J ( J / - * . ) X |
|||
X V(у, t, + |
A*,I |
tt)dy} |
|
|
|
+ |
X |
|||
|
|
— o o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— o o |
|
|
|
|
|
|
|
+ A f 0 | * 0 , f 0 ) ^ j . |
|
|
(3.31) |
||||
Устремим |
.M) к нулю |
и предположим, что существуют |
||||||||
конечные пределы |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
Кх (•*•. to) =lim |
дг |
[(У - хо) V (У. *о + |
М0 \х0, g dy; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.32) |
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
K2(x0Ju) |
= Um -jf- |
Ç( £ / - x 0 ) 2 u(y,* 0 + |
àt0\xa,tQ)dy. |
|||||||
|
|
|
— o o |
|
|
|
|
|
|
|
Кроме того, потребуем, чтобы |
|
|
|
|
(3.33) |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
[(y-xtyvQ/.t9 |
|
+ àt,\xt.tt)dy |
= |
0. (3.34) |
||||
l i m - i - |
|
|||||||||
im |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом |
(3.32) — (3.34)- |
из |
(3.31) |
получаем |
п е р в о е |
|||||
уравнение |
Колмогорова |
|
|
|
|
|
|
|||
|
dv(x,t\x0, |
t„) _ к |
t„ |
t \ dv.(x,t\xa,t0) |
|
|_ |
||||
|
|
dt, |
|
—А>^°' |
l°) |
дх~0 |
"т" |
|||
|
|
|
К2 (x0,t0) |
д2ѵ |
(x,t\x0,t0) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
к? |
- |
• |
|
(3.35) |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
78