Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf

Как видно, дифференцирование в уравнении

(3.35)

ведется

по- «прошлому»

времени U и поэтому

оно назы­

вается

о б р а т н ы м , или о б р а щ е н н ы м

в

п р о ш л о е

[ср. с (2.39)].

Уясним физическое содержание соотношений

(3.32) —

(3.34), .предварительно

записав их более

компактно

М * . Л ) = і і т - д г < 0 - • * . > ;

( 3 - 3 6 )

К2(хв, t0) =

дг0-+о ш »

lim -±-<(у-хоу>;

(3.37)

l i m ^ < № - . * 0 | 3 > = 0 .

(3.38)

нение по

у с л о в н о й

плотности

вероятности

v(y, t0+'

+A'to\x0l

t0).

среднее

перемеще­

Поскольку <.y—Xo~>—условное

ния за время

Діо из фиксированной точки Хо, то величина

Кі{Хй, і0)

есть средняя

скорость-

изменения

ординаты

функции

в момент в

точке хй- Величина

<(у—х0)2>

— дисперсия

ординаты

у за время AtQ

относительно

той же фиксированной

точки хо. В связи

с этим величи­

персии ординаты

функции в точке

(х0, t0).

Введенные

величины имеют

специальные названия:

Ki(x0, t0) —

к о э ф ф и ц и е н т

с н о с а ,

К,2.{х0,

tD)—коэффициент

д и ф ф у з и и .

x(t)

Условие (3.38)

позволяет рассматривать процесс

именно как н е п р ер ы в и ы й, так как оно требует,

что­

бы вероятность больших

отклонений

| г/—ЛГ0

1, к которым

Д^о—Ю настолько

быстро, чтобы 'момент

третьего по­

рядка <\у—Хо|3>

стремился

к нулю быстрее, чем Ato.

Фактически при малых AU условие

(3.38)

эквивалентно

неравенству

<\у—х0|3Х<(у—Хо)2>,

(3.39)

которое выполняется лишь при малых

вероятностях

больших отклонений \у—*о|.

Очевидно, если

справедли­

во (3.39), то все моменты высших порядков

<

\у—Хо\п>

( п ^ З ) также

будут удовлетворять

этому

неравенству.

В таком случае выражения вида

оо

1 І Ш

дг

[\У-xAnv(.y^*

+

bQxvQdy>

'

которые появились бы в выкладках при учете

большего

числа ряда

Тейлора, также оказались

бы

равными

нулю.

Перейдем

теперь к выводу в т о р о г о

уравнения Кол­

н ы м в б у д у щ е е .

Второе

уравнение Колмогорова

в оригинале [5] получено более

искусственным образом,

wi(x,i)—w(x,

t) при ô-образных

начальных

условиях

(3.23)

превращается

в уравнение

для плотности вероят­

ности

перехода

ѵ{х,

t\x0, to), поставим цель

получить

Рассмотрим два момента

временив и ^ + т (т мало) и

обозначим x(t)=x,

x(l-tx)

=-ѵ1 . Тогда в соответствии,

с (3.21)

можно записать

оо

•

о»(-*х. t+x)=

Ja) (л-, t) V (л-,, t-\-i\x,t)dx.

(3.40)

О (и, х) < е

'

> =

=

J eiU{Xz~X)v(x^t

+

ix,t)dx^

(3.41)

— 0 0

Случайной величиной в соотношении (3.41)

является

приращение

(х^ —х), отсчитываемое от ф и к с и р о в а н -

н о го значения х. Имея в виду разложение

в*)

= J ]

- Й Г "

- Х Г Ѵ ^ T +

^ X T L ) D X * =

п=0

. —оо

J - - W L m „ W ,

(3.42)

л=0

где

Шп .(•*) = < ( \ — •*)">

=

оо

=

J(JC, - x)"v(x^t^-z\x,t)dx^

(3.43)

— 0 0

00

«

+

Ч

= - і J е ~ / u ( Л Ч _ А ) Ѳ (и, л) d«.

(3.44)

Подставляя

(3.42)

в •соотношение

(3.44), получаем

оо

тп

(х) 1

га=0п=0

—оо

00

оо

=лS=0( - l ) » 2 # i ^ - J e - ' - " 1 - - « ^ .

(3.45)

00

±

| е ' в ' Л > =

8(9;

(3.46)

— 0 0

Zb+»

J f(z) è(z-z0)dz=f(z0);

s > 0 .

(3.47)

Zo—8

С учетом (3.46) вместо

(3.45)

получаем

00

V(*т,г + х | * , ;) = £ ( -

Ѵ п - п ^ £ г Ч х - ( 3 . 4 8 )

6—'186

81

w К , , +

00

(—1)"

д»

g w

L _ i l ! £ _ { n l n ( j

K i t ) ]

{ З А 9 )

,г=о

т

Соотношение (3.49)

эквивалентно равенству

w (хх, t ъ )

— w (х^, t)

=

00

= E ^ ^ l

m " ( * > ( ^ )

]

-

( 3 - 5 0 )

Поделим обе части

(3.50) на х и перейдем

к

преде­

лу при т—Ю. В результате получим

со

= £

Т

[* . (*• 0 »

Ol-

(3.51)

л=1

где

ІСя (л:,0 =

1іш ^ =

1

і ш < ( х - - х

)

" >

•

(3.52)

Очевидно, что при я =1,2

соотношение

(3.52)

опреде­

ляет коэффициенты сноса и диффузии

Кх (х, t) =

lira — <[jct — л:>

=

= l i m —

[{x,—x)v{xx,t-\-z\x,t)dxj

(3.53)

— 0 0

K 2 (X, t) = lira 4

< К - * ) 2 >

=

со

= lira - i -

f(X -

-*)2 ü (*T . t +

z\x,t)dx<.

(3.54)

t-»0

J