Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.06.2024
Просмотров: 223
Скачиваний: 3
Таким |
образом, |
• из (3.51) окончательно получаем |
в т о р о е |
уравнение |
Колмогорова |
' |
1 |
д* [K2{x,t)w(x,t)}. |
(3.55) |
|
2 |
дх* |
|
Уравнение (3.55) включает в себя частным случаем полученное при анализе броуновского движения урав
нение (3.22). |
|
|
|
При 'ô-образных начальных |
условиях (3.23) |
с учетом |
|
(3.24) из (3.55) имеем второе |
уравнение Колмогорова |
||
для плотности вероятности |
перехода |
|
|
а р ( * ' 2 * " М = - |
[К] (X, t)v(x,t\x0,t0)] |
+ |
|
+-T-&[^(x.t)v(x,t\xt,t0)]. |
|
(3.56) |
|
Уравнение (3.55) до вывода |
его А. Н. Колмогоровым |
||
встречалось в работах ряда физиков, поэтому в литера туре можно встретить для него разные названия: урав нение Фоккёра — Планка; уравнение Фоккера— План ка — Колмогорова; уравнение Эйнштейна — Фоккера — Колмогорова.
Уравнения (3.35), (3.55), і(3.56), как и (3.14), (3.22),
являются уравнениями в частных производных парабо |
|
лического типа и носят название диффузионных. По этой |
|
причине непрерывные марковские процессы часто назы |
|
ваются д и ф ф у з и о н н ы м и. Для |
отыскания решений |
указанных уравнений необходимо |
задать начальные и |
граничные |
условия. |
Для уравнения |
(3.55) начальные |
||
условия |
задаются |
в виде |
начального распределения |
||
®о(хо, h). |
Для уравнений (3.35), (3.56) |
начальные |
усло |
||
вия носят непременно iô-образный характер. |
|
||||
Полученные в результате |
решения |
уравнений |
(3.36), |
||
(3.55), (3.56) функции должны удовлетворять условиям положительной определенности и условиям нормировки
v(x,t\x0,ta)>0; |
jv(x,t\xa,t0)dx=l, |
|
w{x,t)^0; |
^w{x,t)dx~\. |
(3.57) |
Если процесс |
x(t) |
определен .на |
всей числовой оси |
|
( — о о < х < о о ) , то |
граничные условия обычно |
формули |
||
руются в виде |
|
|
|
|
w (—со, |
t) = w ( + оо, і) |
= 0. |
(3.58) |
|
При этом, как отмечалось выше, решение соответст вующего уравнения называется фундаментальным.
Втех случаях, 'когда процесс х(і) развивается в огра ниченных пределах а<х<Ь, диффузионные уравнения следует рассматривать лишь внутри этой области.
Впрактических приложениях наибольшее распрост ранение получило в т о р о е уравнение Колмогорова, ко
торое ниже будет называться у р а в н е н и е м Ф о к к е - р а — П л а н к а — К о л м о г о р о в а .
Прежде чем решать это уравнение, рассмотрим не сколько важных вспомогательных вопросов.
3.4.Белый шум и винеровский процесс
Белый шум и винеровский процесс являются моделя |
|
ми случайных процессов, весьма |
распространенными |
в статистической радиотехнике и |
в теории автоматиче |
ского регулирования. Эти процессы будут часто исполь
зоваться при дальнейшем изложении |
материала. |
|
||||||
|
Б е л ы м |
ш у м о м |
называется |
нормальный |
стацио |
|||
нарный процесс |
n(t), |
имеющий |
нулевое математическое |
|||||
ожидание и ß-обраэную функцию корреляции |
|
|||||||
< f |
t ( f ) > = |
0 ; |
knfr)==<n(f)n{t |
+ |
*)> = ^-b(*), |
(3.59) |
||
где |
JV0=const. |
Винера — Хинчина, |
связывающей спек |
|||||
|
По формуле |
|||||||
тральную |
плотность |
процесса |
S (а) |
с корреляционной • |
||||
функцией k(x), |
имеем |
|
|
|
|
|
||
|
|
оо |
|
|
оо |
|
|
|
|
S n ( œ ) = | Х М е / ш Ѵ , = ^ j S ( , ) e - / œ V x = % ( 3 . 6 0 ) |
|||||||
|
|
—ОО |
|
— 0 0 |
|
|
|
|
Следовательно, |
величина N0/2, |
входящая сомножителем |
||||||
в |
выражение для корреляционной функции (3.59), являет |
|||
ся |
п о с т о я н н о й |
спектральной плотностью белого |
||
шума. |
|
|
||
|
Дисперсия (средняя колебательная мощность) белого |
|||
шума |
равна |
бесконечности, что вынуждает рассматри |
||
вать |
белый |
шум как |
математическую идеализацию. Тем |
|
84
не менее белым шумом можно аппроксимировать реаль ные 'случайные процессы. Это возможно в том случае,
когда время корреляции хи реального |
случайного |
про |
|
цесса |
много меньше постоянной |
времени хс |
систе |
мы, на которую воздействует процесс |
При этом за- |
||
величину спектральной плотности No/2 «эквивалентного» белого шума целесообразно брать значение спектраль
ной плотности процесса g (О н |
а нулевой |
частоте (10]: |
|||
|
|
|
оо |
|
|
|
_ ^ . = 5 6 |
( ( о = 0 ) = |
j é t ( T ) d x = |
2 ^ , |
(3.61) |
|
|
—ОО |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
где oj = |
Й6 (0), ъ =• J g j ^ (*) dz. |
|
|
||
|
|
6 о |
|
|
|
Рассмотрим, следуя (10], случайный процесс £(^)> п 0 ~ |
|||||
ведение |
которого |
описывается |
уравнением *> |
|
|
|
|
С ( 9 = л ( 9 . |
|
(3.62) |
|
где точка сверху означает производную по времени. •Обозначив через tt0 и Т начальный и конечный момен
ты наблюдения, запишем решение уравнения (3.62):
Z(to+-T) |
= t(t0) + |
'^n(t)dt. |
(3.63) |
|||||
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
Перенося в левую часть начальное значение t,{to), по |
||||||||
лучаем, что приращение процесса Z,(t) |
за время Г. равно |
|||||||
|
|
|
|
|
t -f-T |
|
||
^ ДС (Г) = |
С (*„ + 7) - |
Ç ( 0 = |
f |
/г (9 Ä . |
(3.64) |
|||
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
Поскольку |
белый шум имеет |
нормальную |
плотность |
|||||
распределения, |
а |
операция |
интегрирования — линейная |
|||||
операция, то из |
(3.64) |
следует, |
что приращение Д£(Г) |
|||||
также подчиняется н о р м а л ь н о м у |
закону. |
|
||||||
Стационарность 'белого шума |
n\t) |
определяет неза |
||||||
висимость приращения ДС(Т') от начального |
значения і0. |
Следовательно, величины Д£(Г) обладают |
свойством |
с т а ц и о н а р н о с т и . |
|
Выберем момент времени U так, что |
|
|*І - ^О |>7 \ |
(3.65) |
*) Более корректно вводить іпонятие белого шума как производ ную по времени от винеровекого процесса. '
85
и рассмотрим приращения А£,(й0+Т) |
и Д£'(£і + Г ) . В свя |
|||||||||||||||
зи с тем, что белый шуім имеет дельтообразную |
функ |
|||||||||||||||
цию 'корреляции, то отрезки реализации |
процесса |
n(t) |
||||||||||||||
на |
интервалах |
(to, |
to + T), |
|
(tit |
t\ + T) независимы. Поэто |
||||||||||
му |
и приращения |
At,(t0+T), |
|
At,(ti + T) при соблюдении |
||||||||||||
(3.65) |
также |
будут |
|
н е з а в и с и м ы . |
Независимость |
при |
||||||||||
ращений |
на |
неперекрывающихся |
|
интервалах |
времени |
|||||||||||
определяет |
м а р к о в о с т ь |
процесса |
AÇ(t'). |
|
|
|
||||||||||
|
Вычислим моменты нормального распределения для |
|||||||||||||||
процесса |
ДС(Г). Так |
как |
<я(£)>> = |
0, то |
<Д £ (7 Х> — 0 . |
|||||||||||
Для |
дисперсии |
ОдС |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
; |
= |
<[AC (r)] s > = |
< |
j |
n(t')dt'X |
|
|
|||||
|
|
to+T |
|
|
|
|
|
to + T to+T |
|
to |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
X |
j |
n[t")dt">= |
|
j |
|
|
j" |
|
<n(t')n(t")>dt'dt"== |
||||||
|
|
to |
|
|
|
|
|
t0 |
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
to+T t0 |
+ T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1Г |
( |
|
f 8 С - t " ) d t ' d t " |
= ^-T. |
|
(3.66) |
|||||
|
Таким |
образом, |
|
процесс Д£(0 |
имеет плотность |
рас |
||||||||||
пределения |
вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ш(ДС, Т) = |
, 1 |
е х р і - ^ У - і - |
|
|
|||||||
|
Примем |
для |
простоты |
to |
= |
0, T)(t0) = 0, |
T — t. |
Тогда |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t.{t) = |
^n{t')df |
|
|
- |
|
(3.67) |
||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
» < u |
> = w H - ^ [ |
|
|
( 3 ' 6 8 ) |
|||||||
|
Мы получили, что дисперсия |
нормального |
процесса |
|||||||||||||
Z,(t) растет пропорционально времени наблюдения t. Но точно такими свойствами обладает процесс броуновского
движения, рассмотренный в § 3.2, |
при Кі = 0. Вследствие |
||
этого можно утверждать, |
что |
уравнение |
Фоккера — |
Планка — Колмогорова для |
процесса £(г) |
имеет вид |
|
—m—="4—w~- |
|
l , d - ö 9 ) |
|
Нормальный марковский процесс со стационар ными и независимыми приращениями в литературе на зывается в и н е р о в с к и м процессом.
В заключение подчеркнем, что белый шум не явля ется марковским процессом, однако основное его свой ство— независимость значений при любых сколь угодно малых промежутках между сечениями—не противоре
чит признаку |
марковости. |
Действительно, |
для марков |
||
ского процесса |
двумерная |
плотность |
вероятности равна |
||
w2(xi, |
tu x%, t2)=w(xu |
ti)v(x2, |
t2\xu |
ti), |
|
для белого шума эта же плотность вероятности выра жается соотношением *)
w2{Xi, и, х2, h)=w(xi, |
ti)wi(x2, <t2). |
(3.70) |
Такиім образом, у белого шума в качестве плотности вероятности перехода выступает одномерное распределе ние в последующий («.будущий») момент времени.
3.5.Воздействие белого шума на интегрирующую
цепочку
Обратимся к частной задаче (10], состоящей в нахож дении основных характеристик выходного напряжения x(t), когда на вход интегрирующей RC цепочки воздей ствует белый шум n(\t) .(рис. 3.5).
-TZZb |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
nit) |
|
|
|
xft) |
Рис. |
3.5. |
Поскольку ток |
і (t) |
через |
емкость |
С |
определяется |
|
выражением i(t)=C |
dx^P |
. то |
уравнение, |
описывающее |
||
выходной процесс, |
имеет |
вид |
dx. |
|
|
|
|
n(t) |
= |
R C |
|
|
|
|
^ + x.. |
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
х-\-ах |
= |
ап |
(t), |
l/RC. |
|
(3.71) |
*> Отметим, ічто соотношение і{3.70) носит символический харак тер, так как для 'белого шума выписать явно закон распределения вероятностей .нельзя по той причине, что его дисперсия равна бес конечности.
87
