Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 28.06.2024

Просмотров: 222

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Общее решение этого уравнения при начальном усло­ вии x(tQ)=x0 записывается следующим образом:

 

 

 

 

 

г

t

eai'/i{t')dt'

 

 

 

 

 

 

x0-\-aj

 

(3.72)

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

Полагая

A> — 0, из

(3.72)

находим среднее значение

 

 

тх (t) =

<х

(t) > =

ха

е~аі +

 

 

+

a е - * '

Je"" <n (/')>

dt'=x0

e- "'

(3.73)

и дисперсию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«! (9 = <[x

(t) -

>nx (*)]*>=«' e-

2atX

 

 

 

t t

 

 

 

 

 

 

 

 

Х П e " ' ' е а / " < / г W11

 

d t ' d t " =

 

 

 

о 0

 

 

 

 

 

 

 

=

<re

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

^

e -a»« _^!LJe*«" Ä / =

J V

(1 _ e

- 2 a < ) .

(3.74)

 

 

 

 

o-

 

 

 

 

 

При выводе

(3.74)

использовано

«фильтрующее»

свойст­

во ô-функции.

Графики зависимостей, иллюстрирующие изменение математического ожидания и дисперсии с течением вре:

меня, приведены на рис. 3.6,

3.7.

 

Изменение закона распределения w(x, t) в

зависи­

мости

от времени показано

на рис. 3.8. Когда

mx(t)=Q

и о2

=аЛУ4, процесс x(t)

становится стационарным и

Xg

0

Рис. 3.6.

его плотность

распределения

WCT(X, t)=wDi:(x)

не зави­

сит от времени.

 

 

Характер процессов «а входе и выходе RC цепочки

иллюстрируют

реализации,

изображенные на

рис. 3.9.

Обратим внимание на следующую особенность: процесс x(t), являющийся решением дифференциального уравне­

ния

п е р в о г о

порядка,

полностью определяется

значе­

нием величины Хо в начальный момент

^о- Выберем мо­

мент

ti>'t0

(см. рис. 3.9) и зафиксируем

значение

x(ti).

Тогда процесс

х(і) при t>ti

'будет определяться

выра­

жением, легко получаемым из

(3 . 72) :

 

 

 

X (t)

=

е

 

e*('n(t')dt'

(3 . 75)

Из соотношения (3 . 75)

следует, что будущее процесса

x(t)

при t>t\

полностью

определяется значением x(U) и

совершенно

не зависит

от х(Ѳ) при ß<ti.

Заметим, что

последнее обстоятельство имеет место лишь в том слу­ чае, когда на вход поступает^ е л ы й шум, который име-,

ет нулевое время корреляции. Если бы под знаком

инте­

грала в (3.75)'

стоял

некоторый случайный процесс

g (О

с конечным временем

корреляции

Хк, то величины §(£')

по крайней мере на интервале

(^І,

t\+Xh)

зависели бы от

значений £ ( Ѳ )

(ti—ТА<Ѳ<^І).

Таким образом, приходим

к выводу, что

процесс x(t)

является

м а р к о в с к и м ,

однако его приращения, взятые на неперекрывающихся

89

промежутках времени, уже не обладают свойством не­ зависимости (ср. с винеровским процессом £(£))•

Очевидно, что марковским будет также процесс, под­ чиняющийся уравнению

 

x-\-ax

= n(t),

(3.76)

которое имеет

специальное название у р а в н е н и е

Л а н-

ж е в е н а по

имени ученого, впервые получившего его

при исследовании движения

броуновской частицы.

 

n(t)

Рис. 3.9.

Вычислим для процесса x(t) коэффициенты сноса и диффузии. Для этого согласно (3.53), (3.54) необходимо располагать значениями процесса, отстоящими друг от друга на малое время т. Выберем в (3.72) іо = 0, Хо=х. Тогда для t=x имеем

 

x (х) =

= х е _ о Т + е - " a J еа ''/г (Г) dt'.

 

 

 

и

 

Найдем

приращение

 

 

 

X

 

х

^ - х

= х ( е - а г - 1 ) + а е _ " J е " * ' я ( Г ) d t '

(3.77)

о

и вычислим первый и второй его моменты.

90

• Учитывая, что для белого шума переходная плот­ ность распределения вероятностей совпадает с одномер­

ной, на 'основе

(3.77)

имеем:

 

 

 

 

 

 

 

О т

-

- О =

x ( е - " — 1 ) =

— ал%

(3.78)

поскольку

< я ((")> =

 

0,

е - " =^ 1 — at;

 

 

< ( • * , - * ) ' >

=

^

(

е

-

1 -

 

1)' +

2 л ( е - " - 1 ) Х

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

TT

 

 

X e - "a j

eai'n (t1)

dt'

+

e - 2

a V J j

ea ( ''+ '">

X

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

Xn{t')n{t")dt'dt">~x2*\2-{-

 

 

•

 

+ e

_ 2 a

V

j

j e"

(

' '

+

' " > <

Л

(f) л ( f " ) > dftft"

=

 

 

о

0

 

 

 

 

 

 

 

 

=J C W + e - 2 " - ^ ( e 2 " T - l ) = = A : W + - ^ l . (3.79)

На основании (3.53), (3.54), (3.78), (3.79) получаем

Щх,

t)=Ki(x)=—ax;

(3.80)

/С2(х,

/ ) = # 2 = aWo/2.

(3.81) ^

Таким образом, для марковского процесса x(t) на выходе /?С-цепочки уравнение Фоккера—Планка — Колмогорова (3.55) выглядит следующим образом:

J

^

= a ^ [ x W { x , t ) ] + ^ d - ^ .

(3.82)

Решением этого уравнения является нормальная плот­ ность вероятности с характеристиками (3.73), (3.74):

Легко получить аналогичные соотношения и для уравнения Ланжевена (3.76):

Ki{x, t)=Kt(x)=—ах,

(3.84)

Kz(x,

t)i=Ki=-Nol2,

(3.85)

+ 4 -

• .

( 3 - 8 ß )

91

Решение

уравнения

(3.86)

выражается

формулой

(3.83), для

которой

 

 

 

 

 

< ( 0 =

- £ - ( І - е - * ' ) ,

.(3.87)

a tnx(t)

совпадает с (3.73).

 

Фоккера —

На

самом процессе

решения уравнений

Планка — Колмогорова

(3.82), (3.86) сейчас мы не оста­

навливаемся. Эти уравнения

решаются в §

3.8 после

обсуждения различных методов решения уравнений Фок­ кера —-Планка — Колмогорова в § 3.7.

В иностранной литературе процесс ' x(t), имеющий коэффициенты сноса н диффузии вида Кі(х) =—ах, Kz= = Ь (a, è = c o n s t ) , часто называют процессом Ориштейна — Уленбека.

Основываясь на разобранном примере о воздействии белого шума на -/?С-цепочку, дадим физическую трак­ товку коэффициентам сноса и диффузии, а также урав­ нению Фоккера — Планка — Колмогорова.

Положим для простоты Хо=0 и рассмотрим отрезок реализации выходного процесса, изображенный на рис. 3.10. Пусть в момент ti напряжение на конденсато­ ре равно x(ti). Тогда напряжение x{tz) можно рассма­ тривать f i l ] как результат наложения двух процессов: детерминированного и случайного. Детерминированнный процесс протекает по закону разряда емкости от уровня x(ti).

К моменту 4 детерминированная составляющая на­

пряжения x(t2) будет

иметь значение

х(Ег)е~а{1'~''К

За

этот же промежуток

времени (t2—^І)

конденсатор

заря­

дится от поступающего на вход белого шума на величи­ ну хсл'(к). Аналогичным образом можно рассмотреть на­ пряжение x(t) в любые другие моменты времени. В ре­ зультате придем к следующему важному выводу: при любом t процесс x(t) представляет собой сумму детер­ минированного процесса, характер 'которого определяет­ ся структурой физической системы, и случайного процес­ са. Детерминированный процесс всегда направлен на то,

чтобы

свести

напряжение

x(t)

к

функции математиче­

ского ожидания

процесса

(в

данном случае

mx(t)—0).

Это

обстоятельство

иллюстрируют

кривые

разряда

j c ( ^ ) e _ a ( ' _ < , )

и

x(t3)e~a

{ і ' і з

) на

рис.

3.10.

В общем

случае

 

 

л ( 0 = х ( У е - 4 ( і - ' ' ) ,

 

(3.88)

 

 

 

 

92

Смотрите также файлы