Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 28.06.2024

Просмотров: 224

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

следовательно, можно вычислить скорость детерминиро­ ванного процесса, взяв производную по времени от (3.88):

dx(t) _

ах

(t).

(3.89)

dt

 

 

 

Этот же результат непосредственно получается из (3.71), если положить п(1)=0. Обозначив, как это было сделано выше, x(t)—x, сопоставив соотношения (3.80) и (3.89), с учетом (3.53) приходим к выводу о том, что

t/t/к

Zen It г)

<t/t,-t,i

t :

Рис. ЗЛО.

коэффициент сноса характеризует среднюю скорость д е т е р м и н и р о в а и н о г о изменения 'координаты х (4). Согласно (3.54) коэффициент диффузии определяет меру разброса скорости относительно ее среднего значения.

 

Для того чтобы

дать физическую

интерпретацию

уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова, необходи­

мо

рассмотреть целый ансамбль реализаций процесса

x(t).

При этом удобно воспользоваться

газодинамиче­

ской моделью І[12,9],

понимая под каждой реализацией

путь,- который проходит молекула газа. При дельтаоб-

іразных начальных условиях из точки Хо выходит

боль­

шое количество таких молекул. Их

концентрация

(плот­

ность) в момент t

в точке х пропорциональна w(x, t),

а средняя

скорость

детерминированного

(систематиче­

ского) движения равна КІ(Х, t).

Тогда

произведение

Ki{x, t)w(x,

<t) — систематический

конвекционный

поток

молекул таза вдоль оси х. Помимо конвекционного дви­ жения в тазе происходит процесс диффузии. Поток диф­

фузии при Кг(х, £) =/(2=const

пропорционален

градиен­

ту концентрации газа и

направлен от

большей

концентрации к меньшей, поэтому диффузционный поток

определяется выражением

КГ

ÔW {X,

І)

2

дх

'

93

- Полный шзток <G(x, і) молекул газа через сечение х характеризуется суммой конвекционного и диффузионно­ го потоков

G(x, t) = KAx. t)w(x, t ) - ^ d - ^ l .

В более общем виде

G (х, t) = KA*. t)w(x, t)--L-^[Kz(x,

t)w(x, t)}.

(3.90)

С учетом (3.90) уравнение Фоккера — Планка — Кол­ могорова (3.55) записывается следующим образом:

*«,(*, о + а о g , о = а

. ( 3 9 1 )

Уравнение (3.91) будет использовано в § 3.7.

3.6. Связь уравнения Фоккера—Планка—

Колмогорова с дифференциальным уравнением случайного процесса

В предыдущих параграфах трижды [соотношения (3.62), (3.71) и (3.76)] встречались дифференциальные уравнения, описывающие случайные процессы. Особен­

ностью ѳтих

уравнений,

которая

позволяет

назвать

их

с т о х а с т и ч е с к и м и ,

является

наличие внешней

воз­

действующей

силы з виде белого

шума n(t).

Уравнения

(3.62), (3.71), (3.76) представляют собой частные случаи

общего

дифференциального

уравнения

п е р в о г о

по­

рядка

 

 

 

 

 

 

x = F{x,

ut),

nt = n(t),

(3.92)

где F(x,

nt)—известная

дифференцируемая функция

аргументов х, ni, а также времени t.

 

 

Повторяя рассуждения § 3.5, можно

показать,

что

решением уравнения (3.92) является непрерывный мар­ ковский процесс x(t). Пример того, как, располагая дифференциальным стохастическим уравнением для про­ цесса, вычислить коэффициенты сноса и диффузии, был рассмотрен.в § 3.5. В настоящем параграфе мы обобщим результаты § 3.5 на другие виды стохастических урав­ нений.

94

Пусть, например,

 

x = F{x, m) = f{x, t) + g(t)n{t),

(3.93)

где / и g— детерминированные дифференцируемые функции.

Проинтегрируем обе части уравнения в пределах t, *+**>.

jct -JC =

 

Г / (х, t')dt' +

f

g{t')n(f)df,

 

 

 

 

 

t

 

 

t+t

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<xx-x>

=

<

j

f(x,

t')dt'>

+

 

+

<ïg(t')n(t')dt'>

 

 

=

Tf(x,

t')dt'.

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

Применим

к последнему

выражению

теорему о

среднем.

С учетом малости -с имеем

<лгт — К>

=

f (х,

t)z, так

что согласно

(3.53)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КІ{Х,

t)=*f(x,

t).

 

 

 

(3.94)

Вычислим коэффициент К,ъ{х,

t):

 

+

 

 

 

'

{х,-х)*

=

' j

f(x,

t')dt'

 

 

 

+

2

J

f(x,

t')dt'

J

g{tl)n{t')dV

 

+

 

 

 

 

 

+

\

 

g(t')n(t')dt'

 

 

 

 

 

 

 

.

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

Усредняя последнее-'выражение и используя

свойство

б-функции, получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<(хх

-

х)'->

=

f

(X,

t) х 2 ;

+ ^ - g »

(t)

 

откуда в соответствии с (3.54)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.95)

Полученные результаты (3.94), (3.95) позволяют не­ посредственно по виду стохастического дифференциаль-

*> Встречающиеся «иже стохастические интегралы понимаются в симметризовзнном смысле J13].

95

ного уравнения (3.93) выписать коэффициенты сноса и диффузии и, следовательно, составить уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова.

Заметим, что уравнение (3.93) описывает параметри­ ческую систему, т. е. систему, характеристики которой изменяются во времени. В дальнейшем в настоящем па­ раграфе будем иметь в виду лишь системы с постоянны­

ми параметрами. В связи с этим аргумент

t не

будет

входить в функцию F(x, lit)

и при'записи

коэффициен­

тов сноса и диффузии он будет опущен.

 

 

 

 

В том случае, когда дифференциальное

уравнение

для процесса имеет общий вид:

 

 

 

 

 

x = F{x,

nt) =

<F(x,

rn)>-\-F{x,

tu),

(3.96)

где <F(x, tit)>,

F(x,

ni)—постоянная

и флюктуацион-

ная составляющие правой части уравнения

(3.92), коэф­

фициенты сноса и диффузии определяются

следующими

выражениями [9, 10, 14]:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

00

 

 

 

 

К, (x) =

<F (x,

л і ) > +

J KF,F

{x,

x) dx,

(3.97)

где

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

K,.F(x,

*) = <

д

7 {

% ^

F(x,

т)>

 

(3.98)

— функция корреляции между производной от флюктуационной составляющей правой части уравнения (3.96) по x и самой флюктационной составляющей

К, (x) = 2 J <F (x, m) F (x,

ntJ>

dx.

(3.99)

 

о

 

 

 

 

Важным для

приложений частным

случаем

(3.96)

является уравнение вида

 

 

 

 

 

x = f(x) +

g(x)n(t),

 

(3.100)

где f(x), g(x)—детерминированные

дифференцируемые

функции.

 

 

 

 

 

Учитывая, что

 

 

 

 

 

•<F(x,,Ht)>

= î{x).

F(x,

nt) =

g(x)n(t),

96

по формулам

(3.97) —(3.99)

вычисляем

 

Крр (X, x) = <g' (X)

n {t + *)g (X) п (*)> =

%-№)

 

K1(x)

= f(x)+^-gf(x)g(x);

(3.101)

 

 

КЛх)=\і?{х).

(3.102)

 

 

 

 

oo

Здесь использовано то обстоятельство,

что j S (т) cft=

= 0,5 и обозначено

g' (x) =

dg{x)jdx.

о

 

Сопоставляя (3.101), (3.102) с (3.94), (3.95), можно

заметить, что

зависимость

функции" g от х приводит

к 'появлению дополнительного слагаемого для коэффи­ циента сноса (3.101).

Убедимся в .справедливости (3.101), (3.102) на част­ ном примере (14], положив для простоты в уравнении

(3.100)

функцию f(x), которая

не

вызывает изменений

в выражениях (3.101),

(3.102),

тождественно

равной

нулю. Уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x =

g(x)n(t)

 

 

 

(3.103)

с помощью

подстановки

 

 

 

 

 

 

 

преобразуем к виду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С = №(*),

 

 

 

(3.105)

из которого ясно, что t,(t)—винеровский

процесс,

под­

чиняющийся

уравнению

Фоккера — Планка — Колмого­

рова (3.69).

 

 

 

 

 

 

 

 

х(4)

Сделаем

теперь

обратный

переход

к процессу

с целью

получения

уравнения

для

плотности

W(x,

t).

Формально задача состоит в замене переменных (см., например, [16]). Действительно, имеется уравнение (3.69) относительно функции w (Ç, t) ; необходимо перейти к другой независимой переменной х, связанной с £ вы­ ражением (3.104); сама функция ш(£, t) заменяется на новую функцию W(x, t) по известному соотношению, связывающему плотности распределения при нелинейном безынерционном преобразовании

W(x, i)dx=w{l, i)d'ç (3.106)

7—186

97

Смотрите также файлы