Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf

Скачать файл (7,40Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 28.06.2024

Просмотров: 225

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Из (3.104) находим

£ = і Ь т ;

<3'107)

так что с помощью (3.106) имеем

w&4) = W(x,t)g(x).

(3.108)

Используя формулы преобразования (3.107), (3.108), вычисляем производные, входящие в (3.69) :

	dw	dW	• .	,
~^=ё	(*) {3g (x) g' ( x		)	g - (x)	- ^ -	f
	+ ^ - F f e W g ' W ] } .				•	(3.109)

Подставляя (3.109) в (3.69), получаем

№ ) £ ' ( * ) ] } •

• (3.110)

Если теперь к уравнению (3.103) применить непо средственно формулы (3.97), (3.99), то уравнение Фок кера — Планка — Колмогорова запишется в виде:

+£і\вч*т}-		( з л и )
Взяв .производные в. фигурных	скобках	(3.111), лег
ко убедиться в том, что уравнения	(3.110)	и (3.111) со
впадают.

Таким образом, .располагая стохастическим диффе ренциальным уравнением первого порядка, можно одно

значно	вычислить	коэффициенты	сноса и	диффузии,
а затем	составить уравнение Фоккера — Планка — Кол
могорова.
Можно поставить		обратную задачу: по		уравнению
Фоккера — Планка — Колмогорова			найти	дифферен
циальное	уравнение случайного процесса. Эта -задача
в общем	случае не имеет единственного решения, однако

можно указать условия, при выполнении которых реше

ние будет однозначным [9].
	Ограничимся уравнением (3.100)		и обратим		внимание
на	тот факт, что	дополнительное	слагаемое		в	(3.101)
есть не что иное		как .1/4 дКг(х)Ідх.	Следовательно,
	^ w = / ( . « ) + 4 - ^ r L -					( З Л 1 2 )
	Предположим, далее, что белый шум n(i)=no(t)					име
ет	е д и н и ч н у ю	спектральную плотность		на	всей оси
частот, т. е. М0=2.		Тогда из (3.102), (3.112)		находим

Последние соотношения позволяют составить стохасти ческое уравнение

которое однозначно соответствует уравнению Фоккера — Планка — Колмогорова.

3.7.Решение уравнения Фоккера—Планка—

Колмогорова

Решение уравнения Фоккера— Планка — Колмогоро ва (3.55) или (3.56) представляет собой в общем случае трудную математическую задачу. В полном объеме, ког да аналитическое решение описывает как стационарный,


так	и нестационарный			режимы,		уравнение		Фоккера —
j Планка—Колмогорова				удается		решить	лишь		в не
которых		частных	случаях.		Рассмотрим		в этой		связи
метод		решения,	предложенный			А. Н.	Колмогоровым
[5]	(изложение		этого		метода, близкое			к	ори

гиналу, имеется в книге А. А. Свешникова [7]). Идея ме тода А. Н. Колмогорова сотоит в том, чтобы путем вве дения новых независимых переменных свести заданное

уравнение	Фоккера — Планка — Колмогорова		.к такому
виду, решение для которого уже известно.
Пусть	уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова
задано ,в общей форме		(3.55). Введем новые	независи
мые переменные
	*І=-ФОО,	І=!>(*,• t).	(З.ПЗ)

Замена переменных, связанных между собою форму лами преобразования, как известно |15], осуществляется по вполне определенным правилам. В данном случае частные производные, входящие в (3.55), выражаются через частные производные по новым переменным сле дующим образом:

dt,

дх,

V й

дх ~

дх,

У х

дх

дх, т *>

дх

дх,

V х>

(3.114)

d»* — д х

№ *; -г-д Х і т X,

. дх*

дх\

т 3 7

дх,

Здесь

для краткости

аргументы

функций

опущены,

а индексы t и х при производных указывают на перемен

ную, по которой эта производная взята.

Подставим (3.114) в (3.55).

После

элементарных

преобразований

получим

уравнение

Фоккера — План

ка—Колмогорова

для новой

плотности

распределения

Wi (xh

ti) :

+ 4 ^ і / с = ( л " "

'.)»>.(•*.. mi.

с 3 - 1 1 5 )

где

+ - § - * * [ ? * ( ' . ) .

^ , ) ] f ' * } .

(З.Н6)

* , ( * , . 0 = ^ 1 ? *

С) . Ф*(*,. ШФ'») а . (3-117)

qj*(U) =t, ір*(^, Х[)—х — функции, обратные (3.113). Специальным выбором функций <р и -ф можно добить

ся того, что коэффициенты Кі(хі, ti) и Кг(хі, ti) приоб ретут желаемый вид, при котором удается найти плот ность Wi(xi, ti). Переход к искомой плотности w(x, t)

затем не составляет труда

w (х, t) = w&if (4), -ф (X, t) ] I -ф.,' I.

(3.118)

100

Основная сложность этого метода состоит в выборе формул преобразования (3.113). А. Н. Колмогоровым [5] предложены виды функций ф(/) и ф(.ѵ, 1) для двух случаев.

1. Если

Ki(x,t)=a(i)x+b(t);						Ki(x,i)=c(t),		(3.119)
то целесообразно		положить
ф(х, t) =		xexp			• ' a{t')di'		—\b(t")X
				t"				(3.120)
	X^pl		—		\a{t')dt,\dt",
¥(*) =	J	c(/")exp			j - 2 \|	a{t')dt'^dt".		(3.121)
Подставляя	(3.120),			(3.121)		в	(3.116), (3.117),		по
лучаем			^ ) = 0 ,		Кг{хи		U) = \.	(3.122)

Таким образом, для новых переменных Xi, U уравне
ние Фоккера — Планка — Колмогорова принимает									про
стейший вид
		dt,		2		дх\		(3.123)