Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf

2. В том случае, когда

к соотношениям (3.122), (3.123), так что для новой пере­ менной снова получается нормальный закон распределе­ ния (3.124).

Подбор функций <p(t) и \J)(x, t) необязательно дол­ жен быть подчинен выполнению условия (3.122). Так, в |16] описан метод, который позволяет с помощью фор­

симость коэффициентов сноса и диффузии от времени

число охватываемых этим методом вариантов, огра­ ничено.

Решение уравнения Фоккера — Планка — Колмогоро­ ва в полном объеме возможно также, если применить хорошо известный в математической физике метод 'раз­ деления переменных (метод Фурье) [4, 17]. Этот метод весьма трудоемок, а получаемое с его помощью решение обычно выражается через сложные функциональные ряды. Мы не будем рассматривать сущности этого

Колмогорова. Необходимым условием для этого являет-

102

ся -независимость коэффициентов сноса и диффузии о.т времени. В стационарном режиме w(x, £ )= ш С т(*) и dwCT(x)/dt = 0. Поэтому в соответствии с (3.90), (3.91) имеем

Если это так, то интегрирование уравнения (3.128) дает, что в стационарном режиме ноток равен нулю для всех точек области

G (х) = /С, (x) шс т (Х)—^.-*- [К, (х) даот (x)} = 0. (3.130)

Физическая трактовка этого результата следующая. Как известно из теории поля, поток есть вектор, направ­ ленный перпендикулярно некоторой площадке, через ко­ торую происходит движение вещества (например газа). Вновь обращаясь к газодинамической модели уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова (§ 3.5), замечаем, что поток через сечение *> будет равен нулю лишь в том случае, когда конвекционный и диффузионный потоки равны по величине и противоположны по направле­

фузионный поток оказывается большим по величине, чем конвекционный и результирующий поток приобретает направление, определяемое диффузионным потоком. Вследствие этого дисперсия процесса x(t) растет, плот­ ность w(x, t) расплывается. Однако свойства системы (RС-цепочки) таковы, что вместе с увеличением коорди-

*' Мы рассматриваем одномерное уравнение, следовательно, и поток должен определяться не через площадку, а через линию — се­ чение одномерного процесса на уровне х.

103

потока. Когда эти потоки сравняются по величине, на­ ступает стационарный режим.

Не следует думать, что в переходном режиме диффу­ зионный поток всегда пересиливает конвекционный. Соотношение между потоками целиком определяется ха­ рактером .начальных условий. Действительно, если на­ чальное распределение Wo(x, to) имеет большую диспер­ сию, чем у стационарного распределения адОт00, то до наступления стационарного режима конвекционный по­ ток больше диффузионного. Очевидно, когда Wo(x, U) =

=WCT (x), переходного режима не существует.

Вернемся к уравнению (3.130). Это линейное диф­ ференциальное уравнение первого порядка для функции

WCT(X):

где С — постоянная интегрирования.

Нижний предел х \ в интеграле произволен, поскольку его изменение эквивалентно изменению постоянной инте­ грирования С. Совместный выбор этих величин подчи­ нен условию нормировки. В дальнейшем в большинстве случаев будет показано Хі = 0.

Таким образом, зная коэффициенты сноса и диффу­ зии, можно непосредственно записать формулу (3.132) для стационарного распределения wCT(x). Это свидетель­ ствует о высркой эффективности использования уравне­ ния Фоккера — Планка — Колмогорова.

Приведем простой пример [18] (см. также '[10]). Пусть

где a=const, n{t) —белый шум. Уравнение (3.133) пред­

104

После подстановки (3.134) в (3.132) получаем

Интересно отметить, что характер плотности вероятно­ сти (3.135), выражение для которой получено без вся­ ких усилий, оказывается довольно сложным (рис. 3.11).

3.8.Нормальный марковский процесс

могорова, изложенный в предыдущем параграфе, позво­ ляет восполнить этот пробел. Действительно, соотноше­ ния (3.80), (3.81) являются частными случаями выражений (3.119), поэтому необходимо лишь конкре­ тизировать результат (3.125).

Для рассматриваемого случая из (3.120), (3.121) на­

105

(3.74).

Результат (3.137), полученный исходя из общих пред­ посылок, позволяет сделать следующий важный вывод: если коэффициент Кі(х) является линейной функцией х, а коэффициент Кі{х)—постоянная величина, то одно*- мерная плотность распределения марковского процесса

Для закона (3.139) характерна независимость пара­ метров от начальных условий, что иллюстрирует эффект

106