Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf

ковским 'Процессом. Последнее обстоятельство позволяет представить функцию ѵ в виде

обусловлено «прямым» течением времени и непосредст­ венно отражается на виде формулы (3.140). Выбрав в стационарном режиме некоторый фиксированный мо­ мент времени, можно откладывать и отрицательные зна­ чения х . Последнее эквивалентно «обратному» течению времени.

В работе І[19] показано, что в стационарном режиме диффузионные процессы язляются симметричными отно­ сительно смены знака времени. Следовательно, вместо

107

заключаем, что коэффициент корреляции R(x) .между сечениями процесса, разделенными интервалом т, опре­ деляется выражением

С помощью (3.138), (3.144) находим функцию корреля­ ции 'процесса

лать следующие выводы: нормальный стационарный про­

где штрихи означают вторую производную по т. Однако значение kx"(%) при т—>-±0 для функции корреляции (3.145) оказывается положительным, так что .знак нера­ венства в (3.147). не соблюдается.

Таким образом, уравнение (3.71)

x = a][ii{t)-x(i)}

108

имеет чисто символический смысл, поскольку производ­ ной X не существует. Обсудим причины и следствия этого явления [7].

Заметим, что в правую часть последнего уравнения входит разность между белым шумом n(t), имеющим бе­

бесконечной. Это объясняет причину невыполнения усло­ вия (3.147), которая кроется в замене реального про­ цесса с конечным временем корреляции на белый шум с нулевым временем корреляции. Для улучшения свойств производной X необходимо применить математическую модель воздействующего процесса, лучше отражающую свойства реального процесса, чем белый шум. Но отказ от модели белого шума означает выход за пределы класса одномерных марковских процессов.

Итак, использование белого шума в качестве модели выходного колебания, поступающего на вход системы первого порядка, с одной стороны, исключает существо­ вание производной выходного процесса и придает в свя­ зи с этим дифференциальному стохастическому уравне­ нию формальный смысл; с другой стороны, обусловли­ вает марковость выходного процесса и позволяет получить физически оправданное решение дифференциально­ го стохастического уравнения. Последнее утверждение основывается на том факте, что в решение уравнения [см., например, (3.72)] белый шум входит под знак инте­ грала. Поскольку целью всякого исследования является получение осмысленного решения, то приходится сми­ риться с формальной записью дифференциального сто­ хастического уравнения, сохраняя при этом «известные преимущества оперирования дифференциальными урав­ нениями при постановке задачи —возможность исходить из общих динамических законов, возможность .использо­ вания всего существующего арсенала математических средств для получения решения и т. д.» [2].

Приведенные выше .рассуждения применимы ко всем стохастическим дифференциальным уравнениям вида (3.92). Следовательно, в с е о д н о м е р н ы е д и ф ф у з и- о и н ы е п р о ц е с с ы , б у д у ч н н е п р е р ы в н ы м и, я в л я ю т с я ' н е д и ф ф е р е и ц и р у е м ы :м и в к а ж- д о й т о ч к е.

109

Напомним (§ 3.2), что понятие непрерывности свя­ зывается с требованием малого изменения координаты при 'малом .изменении времени. У диффузионных процес­ сов это требование удовлетворяется при б ее к о н е ч н о й мгновенной скорости, гари этом координата х не уходит в бесконечность из-за того, что воздействующая сила (белый шум) непрерывно меняет знак. Недифференци­ руемость одномерных марковских 'процессов обусловли­

3.9.Задачи о достижении границ

Как было 'показано выше, одним из основных пре­ имуществ аппарата марковских процессов является воз­ можность определения стационарного распределения процесса на выходе систем первого порядка (в том чис­ ле и нелинейных), если на их вход поступает белый шум. Однако имеется и другой класс практически важ­ ных задач, решение которых возможно с помощью тео­ рии марковских процессов — это задачи, связанные с до­ стижением границ.

Исчерпывающее решение подобных задач требует изучения самых разнообразных типов границ. При этом возникает ряд трудностей, поскольку вид границы существенным образом влияет на плотность распреде­ ления процесса «, следовательно, на его статистические характеристики. Особенно наглядно это обстоятельство иллюстрируется примерами с отражающими и погло­ щающими границами (см. рис. 3.3, 3.4). Более общими являются границы, обладающие свойствами полупогло­ щающих (нолуотражающих) экранов. С такого рода границами мы встречались в § 1.2 при рассмотрении дискретного блуждания частицы.

Применительно к непрерывным процессам полную классификацию границ дал В. Феллер [20, 21]. Процесс,

происходит мгновенное возвращение ее во внутреннюю часть интервала в некоторую' случайную точку, имею-

110