Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf

Скачать файл (7,40Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 28.06.2024

Просмотров: 228

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

щую заданную плотность 'распределения. Из этой точки процесс начинается заново, независимо от прошлого.

Более	общим является случай существования	к о
н е ч н о г о	в р е м е н и п о г л о щ е н и я на каждой	из

границ. Очевидно, это время должно быть случайной величиной, причем марковский характер процесса тре бует для нее экспоненциального закона распределения (см. § 2.2). Для этого общего случая В. Феллером полу чена обобщенная форма записи уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова, которая включает в себя три дифференциальных уравнения: одно описывает плотность

вероятности частиц,		находящихся	между	границами,
а два	других характеризуют вероятности			пребывания
• частиц на обеих границах.
Мы	ограничимся	рассмотрением	лишь	полностью

поглощающих границ, поскольку именно этот случай имеет наибольшее распространение в прикладных за дачах.

Для процесса с поглощающими границами одной из важнейших характеристик является время первого до стижения границы. Обозначим верхнюю и нижнюю гра

ницы через b и	а	соответственно и	предположим,		что
начальное значение		координаты х—хо	в	начальный	мо
мент it=U находится внутри интервала				(а, Ь). Иными
словами,
wo(х,	t0)	= ô ( х — х 0 ) ,	а<Хо<Ь.

Наиболее полным решением вопроса было бы опреде ление плотности вероятности времени первого достиже ния траницы. В. Феллером і[21] найден метод, который позволяет найти указанную плотность, однако его реа лизация' сопряжена с большими математическими труд ностями [12], поэтому часто ограничиваются вычислени ем моментов времени достижения 'границ. Впервые такая задача была решена в работе [18]. Мы обсудим лишь вопрос об опеделении первого • момента— средне го времени, которое проводит процесс до достижения границ [9, 22—24].

Получим сначала уравнение			для вероятности того,
что случайный	процесс x(t)	в течение времени t не до
стигает границ	интервала	(а, Ь).	Условимся исключать

из рассмотрения те реализации, которые достигли той или иной границы. Оставшиеся же реализации будем

характеризовать функцией q(x0,				x,	t),	которая подчиняет
ся граничным условиям
q[Xo,		a, t)=q(x0,		b,	t)	=0.	(3.148)
С помощью функции		q(Xu, x,	t)	легко записывается				ве
роятность Q(x0,	t) того, что x		не достигнет границ а					и b
за время t:
		ь
Q(X0,		t)=\q(x0,		X,		t)dx.	(3.149)
		a
В начальный	момент времени,					когда	еще ни одна

реализация не успела достигнуть границы, плотность

вероятности	q(x0,	x,	t) совпадает с		начальной плот
ностью w0(x,	ito), так что
			Q(x0,t0)	= l.		(3.150)
При t—)-_оо	все реализации достигнут				границ,	поэтому
			Q(x0, с о ) = 0 .			(3.151)
Подчеркнем,		что	функция	q(x0,	x, t) не	является

плотностью вероятности в обычном смысле, так как она

не удовлетворяет

условию

нормировки. Для

того

чтобы

превратить ее

в плотность вероятности w ( х 0 ,

x, t), к функ

ции q(xo,

при каждом

t необходимо добавить

две

ô-фун'кции

с весами Р(а,

і)

и Р(Ь, і),

равными вероятно

стям поглощения на границах а и Ь:

w(x0,

=q(x0,

+ P(a,

t)ö(x—a)+P(b,

i)Ö(x-b).

Качественный

характер

изменения

плотности w(xo,

x, t)

о. течением времени показан на

рис. 3.12. Очевидно,

что

Р(Ь,

к)<Р{Ь,

ti+1),

Р{а,

ti)<P{a,

tUl),

^q[x0,

ti)dx>^q(x0,

ti+l)dx

(ti+1>ti).

Итак, функция

q(x0,

представляет

собой

плот

ность вероятности

частиц, ни

разу не достигнувших

гра

ницы. Несмотря на то, что q(Xo, x, t) не нормирована, физическая сущность задачи позволяет применить для 112

ее отыскания уравнение Фоккера — Планка — Колмого рова. При этом необходимо учесть новый вид граничных условий (3.148). Поскольку при дельтообразных началь ных условиях уравнение для одномерного распределения

Р(в,іг)а(х-в)	.	P{6,tJ(î(x-e)
!.. W'blftx-Bl		I	P(B,ts)âlx-6)

qlx0,x,t,)

д.(ів,ха)=$(х-ос0)

\P/a,t3jâfx-aj I \p/s,ts)â/x~a) \P/o,t2}â(x-a) \Pla,t^â(x-aj\

ts t

Рис. 3.12.

совпадает с уравнением для плотности вероятности пе рехода, то вместо функции q(xo, х, t) можно рассматри вать ненормированную плотность вероятности перехода р{х, t\t0, х0). Функция р(х, 4\і0, х0) удовлетворяет урав нению Фоккера — Планка—-Колмогорова с граничными условиями

	p(b,	t\x0,	t0)=p(a,	t\x0,	*о)=0,		(3.152)
	р (х,	11 a,	to) =р(х,	t1 b, to) = О,			(3.153)
которые	указывают на то, что плотность					вероятности
р(х, t\xo, 4) описывает реализации, ни разу						не достиг
нувшие	границ.
Функция р(х, t\x0,			to) подчиняется не только				уравне
нию Фоккера — Планка — Колмогорова (прямому урав
нению Колмогорова), но и первому					(обратному)		уравне
нию Колмогорова (3.35). Это				обстоятельство			особенно

важно, так как вероятность		Q(xo, 0 существенно зави
сит от начального значения		хо. На основе		соотношения
(3.149) выразим Q(xo, t)	через р{х, t\x0,		U):
		ь
Q(x0, t)=Q (x0, t0,	ty==	J p (X, t\x„	g	dx. (3.154)

Заменив в (3.35) v(x, t\x0, to) на p{x, t\x0, t0) и проин тегрировав обе части уравнения но х в пределах от а

8—186

113

до b, имеем

(3.155)

В уравнении (3.155) положено, что коэффициенты сноса и диффузии не зависят от времени, что обусловливает однородность марковского процесса. Поскольку для

однородного	процесса
и	р(х, t\x0,	t0)=p(x,	t—to\x0)
и	t — t0 \ х0)		dp (x, t — t0\ x0 )
др(х,	t — t0 \ х0)		dp (x, t — t0\ x0 )
	kdtt	^	dt

то вместо (3.155) можно написать уравнение для вероят ности недостижения границ

f = « . w ^ 4 « . w f -

(3-156)

Введем в рассмотрение вероятность Р(хо, t) того, что траектория процесса достигнет за время t границы а или Ь. Очевидно,

P(x0,t)	= l-Q(x0,t),			(3.157)
и, следовательно,
дР(х0, t) V	, \ дР , \	и- ,	Ад*Р	,Q 1	K Q 4
-ТдГ-1^	W -дгЛ-ъ	к * ( Х о )	~d%-	( З	Л 5 8 )

Уравнение (3.158) следует решать с начальным усло

вием Р{х0, 0) = 0 и	.краевыми условиями Р (a, t) =
= P(b, £ ) = 1 . Кроме	того,

1шР£х9, t)=l.

Нетрудно заметить, что вероятность Р(х0, t) является интегральным законом распределения случайной вели чины— времени первого достижения границы из началь ного состояния Хо, так что решение уравнения (3.158) в принципе дает возможность определить искомую плот ность вероятности w(t) и все ее моменты. К сожалению, даже в -простых случаях решить уравнение (3.158) с ука занными траничными условиями не удается.

1 1 4 '

Определим среднее время Т — Т(а, хв, Ь) первого до стижения границы. Прежде всего отметим, что согласно (3.157)

fl^àP^j)_	dQ (х.0, о	(3.159)
dt	dt

Тогда

Т = < Г > = j tа я ( *- 0dt =

оо	оо
=	O ^ ^ J Q ^	( З Л 6 0 )
о	и

Здесь произведено интегрирование по частям и учтено

условие (3.151).				(3.156) по t от О
Проинтегрировав	теперь уравнение			(3.156) по t от О
до оо с учетом (3.150),		(3.151),	(3.160), получим
-\=КХ	(х0)	dT	• к м	(3.161)
		dx0		dx-n

При решении (3.161) необходимо учесть граничные усло вия: если хй—а или х0 = Ь, то 7 = 0 . Заменой dT/dx0=u уравнение (3.161) сводится к линейному уравнению пер вого порядка

4 - / f , W ^ - + ^ K ) « + l = 0 -

(3-162)

Решение (3.162) записывается в виде

где

Отсюда, переходя к переменной Т, получаем