Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.06.2024
Просмотров: 229
Скачиваний: 3
Значения Ci.и С2 находим из граничных условий |
Т(а) = |
||
= Г ( 6 ) = 0 . Полагая xo = ä, из (3.163) |
.получаем |
|
|
|
С а = 0 . |
|
(3.164) |
Подставляя х0 |
— Ь в соотношение (3.163), |
можно |
|
определить |
|
|
|
b |
г и |
-ч> (г/) |
|
|
е* ( г ) dz |
|
|
|
|
|
(3.165) |
Сучетом
квиду
Т
(3.164), (3.165) решение (3.163) преобразуется
Ь г и
{ха |
|
2 |
|
e , u , d z |
la |
|
|
||
а г У |
|
^Ч>¥ l z(г), |
||
|
|
2 |
||
.ѵ0 |
I a |
Яг (Z) |
e |
'dz |
|
|
|
||
|
|
|
X |
(3.166) |
Результат (3.166) впервые получен в работе {22] (см. также {23]), тде приведены и уравнения для моментов любого порядка времени достижения границ. Практи ческое использование этих уравнений, к сожалению, со
пряжено с преодолением |
ряда |
математических |
трудно |
||
стей. |
|
|
|
|
|
Приведем |
результаты |
і[22, 23], следующие из |
(3.166) |
||
для простейших случаев. |
|
|
|
|
|
1. Стохастическое уравнение |
процесса имеет |
вид |
|||
|
x = atb(t). |
|
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
К1(хо) |
= К1=0; |
KM |
= |
Ki=-Y*'Nt. |
|
При этом <p(z) = 0 и
т(Ь — х0)(х0 — а)
ï? •
116
2. |
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x = |
|
K1-\-a/l(t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К, = |
const, |
Ka = |
4ta*Na. |
|
|
||
Вычисления |
по |
формуле |
(1.166) |
приводят |
к результату |
|||||||
Т |
= |
(Ь- |
X.) (е-*" - |
е-**») - (x. - |
а) (е-Ь-0 |
e— x t ') |
(3.167) |
|||||
|
|
|
|
|
Л', |
( е - і а - е - Х й ) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
(Я = |
2К,//С). |
|
|
|
||
При |
л;0 = |
0, |
а — —Ь формула (3.167) |
упрощается: |
|
|||||||
|
|
b |
fchXb— l |
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
K-\-ax = n(t), |
|
|
|
|||
то |
|
|
|
|
|
= -axt, |
|
K = |
ll,Na, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ot |
|
|
где |
^ = |
-4^- — дисперсия |
процесса |
в стационарном ре |
||||||||
жиме |
(3.87). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
По |
формуле |
(3.166) получаем |
|
|
|
|
||||||
|
Т=±У*{'(Ъ5)\ |
|
|
|
[•»>-•(£) X |
|||||||
(3.168)
где
Z
Ф(г) = - р = - j ехр |
(3.169) |
117
— интеграл вероятностей,
ч
В частном случае, когда границы симметричны (а = =—Ь) и х0=0, из (3.168) получаем
Г = |
j [ 2 Ф ( У ) - 1 ] е 2 dy. |
о
Известны и другие подходы к решению задач о до стижении границ. Среди них следует отметить метод от ражений крыльев плотности w(x, t) от границ [17] и ме тод 'вычисления вероятности перехода броуновской ча стицы через высокие потенциальные барьеры [24]. Оба метода иллюстрируются примерами, приведенными в § 4.7. Задачам анализа срыва слежения ъ различных радиотехнических устройствах посвящена книга [25].
3.10.Многомерные диффузионные процессы
Понятие непрерывного случайного процесса можно обобщить «а многомерный случай. Для этого необходи
мо совокупность |
одномерных |
случайных функций |
Xi(t), |
||
xz(t), |
xN(t), |
называемых |
'компонентами, |
рассматри |
|
вать как случайный вектор х(і) . Обозначая |
возможные |
||||
значения |
x(t) в |
некоторый момент времени |
U через |
хи |
|
многомерную (размерностью Nn) плотность вероятности такого процесса можно записать в виде
«to„(x i- {>' х =' *N)- (3.170)
Если закон распределения вектора х,- в будущий мо мент tu вычисленный при условии, что в настоящий мо мент th значение вектора х^ известно, не зависит от того, какие величины принимал вектор Xj ъ прошлые моменты времени t-, то многомерный случайный процесс назы вается марковским.
Как и в одномерном случае, плотность вероятности перехода многомерного марковского процесса подчиняет ся уравнению Колмогорова — Чепмена, а многомерное распределение (3.170) выражается через произведение плотности вероятности Ші(хь ^і) и плотностей вероятно сти перехода u(Xj+l, U+i\Xi, ti).
118
Бели |
каждый |
компонент марковского процесса x(t) |
|
представляет .собой непрерывную функцию, то процесс |
|||
x(t) называется |
многомерным непрерывным |
марковским |
|
процессом или, |
короче, м н о г о м е р н ы м |
д и ф ф у з и- |
|
о н н ы . м |
процессом. Специально подчеркнем, что опре |
||
деление многомерного диффузионного процесса не тре
бует .марковости каждого |
компонента. |
|
|
Важнейшая характеристика марковского |
процесса — |
||
плотность вероятности перехода — в многомерном |
случае |
||
также подчиняется прямому и обратному |
уравнениям |
||
Колмогорова. Как и прежде, прямое уравнение |
будем |
||
называть уравнением |
Фоккера — Планка — Колмого |
||
рова. |
|
|
|
Многомерное уравнение Фоккера — Планка — Колмо |
|||
горова, записанное применительно к плотности вероятно
сти состояний w (x, |
t), имеет вид: |
|
|||
dw (х, /) |
|
N |
|
|
|
- = |
^ |
_д_ |
' ( Х і |
')о»(х.*)] + |
|
ді |
~ £ ^ |
[ / < г |
|||
|
|
1=1 |
|
|
|
+ 4 " S i ] ^ 7 ^ ( x - ^ ( x . O ] . |
(3.171) |
|||||
І=І i=i |
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
M x . t) = |
\ i m < X L \ X t > |
|
|
|||
|
|
•t->0 |
|
|
|
|
= 1 і ш - 1 - Г ( ^ т |
- ^ ) о ( х ( + т . t + |
*\xt, |
t)dxt+j |
(3.172) |
||
K i . ( х , t) |
= lim |
|
|
|
( з . 1 |
7 3 ) |
|
т-»0 |
|
% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты КІ(Х, t), Кц(х, |
t) имеют |
тот |
же |
|||
смысл, что и в одномерном случае. |
|
|
|
|||
Если компоненты Xi(t), |
xz{t), |
. . . , |
Хм(і) удовлетворя |
|||
ют системе линейных стохастических дифференциальных уравнений
dxt |
=Fi(x, |
O + J f y W « ! {i=\, 2....N), |
(3.174) |
d t |
где функции Fi и Ga(t) детерминированы и непрерывны, a tij(t) (/'=1, 2, ..., N)—белые шумы с одинаковыми
119
