Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf

спектральными плотностями /Ѵо/2, то коэффициенты сно­ са и диффузии определяются соотношениями

Ограничение, связанное с равенством спектральных плот­

для практики случай имеет место, когда в системе (3.174) имеется лишь один белый шум n(ty.

общее решение многомерного уравнения. Именно: если

мерного марковского нормального процесса в стационар­ ном режиме обладает дробно-рациональной спектральной плотностью. Справедливо и обратное утверждение: если нормальный процесс имеет дробно-рациональную плот­ ность, то его можно рассматривать как компонент много­ мерного марковского процесса.

При выполнении условий (3.177), (3.178) система сто­

Сформулированные положения, доказанные впервые Дж . Дубом, весьма важны по той причине, что реальные стационарные процессы, с которыми приходится иметь

120

дело в приложениях, часто характеризуются нормальным законом распределения, а их спектральные плотности хорошо аппроксимируются дробно-рациональными функ­ циями. Следовательно, такие процессы можно рассматри­ вать как компоненты многомерных м а р к о в с к и х про­ цессов, и при их исследовании можно применять методы марковской теории.

Как было выяснено выше. (§ 3.8), одномерные мар­ ковские процессы недифференцируемы. В то же время характерной особенностью реальных процессов является их дифференцируемость, вызываемая' инерционностью реальных устройств. В связи с этим возникает вопрос о создании математической модели, которая полнее отра­ жала бы свойства реальных процессов. Такую модель можно создать на основе •многомерных диффузионных процессов. Для этого обратимся к системе (3.179) и ограничимся сначала простейшим случаем N=2. Посто­ янные коэффициенты в (3.179) зададим таким образом,

отметить, что x(t), будучи компонентом двумерного диф­ фузионного процесса, сам по себе марковским процессом не является. Действительно, для решения уравнения вто­ рого порядка (3.182) необходимо задавать в начальный момент to не только значение координаты хо, но и ее про­ изводную ^ . Однако задание производной (ско-

роста) равносильно заданию д в у х значений х в близкие

121

висит не только от «настоящего» (to), но и от «прошло­

с другой функцией z(t) уравнением вида:

* ( 0 = К Sr У (0 + К - g ^ r у {t) + .-.• + ьту (t) =

=Pm{^)y{t),

необходимо разделить спектральную плотность Sz(co) на квадрат модуля полинома, получаемого из Pm(d/dt) за­ меной d/dt на /со, т. е.

На основе (3.182), (3.183) легко находим спектральную плотность процесса x(t)

По аналогии с (3.180), (3.181) "можно составить си­ стему из N' уравнений

которая эквивалентна стохастическому дифференциаль­ ному уравнению N-ro порядка

122

тральной плотностью является компонентом многомерно­ го марковского процесса, причем общее число компо­ нентов N равно степени полинома, стоящего в знамена­ теле выражения для спектральной плотности (3.187).

Если процесс x(t), сформированный линейной систе­ мой ІѴ-го порядка, подать на вход другой линейной си­

ковского процесса. Это обстоятельство важно в следую­

характеристики выходного процесса x(t).

Если подобрать такую систему В (рис. 3.13,6) /-го порядка, на выходе которой под воздействием белого шума п(і\) образуется колебание y(t), то x(t) можно рас­ сматривать как компонент (т + 1)-мерного диффузионно­ го процесса и применять к его исследованию теорию мар­ ковских процессов.

Многомерные диффузионные процессы целесообразно использовать и при анализе нелинейных систем [7]. Пусть система А (рис. 3.13) нелинейна и уравнение, связываю-

123

щее ее выход и вход имеет вид:

первого 'порядка, в .правую часть одного из которых вхо­

ского (но уже не нормального) процесса. Это очень важ­ ное положение. Оно свидетельствует^о том, что задача

К сожалению, реализация изложенной схемы исполь­ зования многомерных диффузионных процессов для опре­ деления характеристик выходных колебаний разнообраз­ ных динамических систем сопряжена с преодолением зна­ чительных математических трудностей, связанных с ре­ шением многомерного уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова. В литературе известно несколько типов стохастических дифференциальных уравнений, для кото­ рых д в у м е р н о е уравнение Фоккера — Планка — Кол-

124