Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 28.06.2024

Просмотров: 249

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

могорова имеет решение. Мы перечислим эти случаи, сле­ дуя [9].

Если случайный процесс описывается дифференци­ альным уравнением второго порядка

a S " + $ - =

 

/(•*) + «(').

 

(3.191)

где а — .постоянная; / — непрерывная

функция,

то ста­

ционарное двумерное

распределение

для

х и x = dx/dt

имеет вид:

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

2 XS

4 Г

 

1

 

 

 

 

Jv7 +

T / - f W ^ ' | .

(3.192)

Интегрирование

(3.192)

по х

дает

 

 

 

 

wc?(x)

= const ехр 1-^-

j " / (x') dx'

\.

(3.193)

Для уравнения (3.191) с помощью метода Фурье удается также получить в виде сложного функционального ряда плотность распределения в переходном режиме.

В том случае, когда процесс описывается уравнением вида

fgL + e Ä ( x x)-f(x)=V7n(t),.

(3.194)

где 8 — малый параметр; h и f— непрерывные

функции,

то соответствующее двумерное

уравнение Фоккера —

Планка — Колмогорова сводится

специальным

приемом

к одномерному уравнению, которое затем можно решить.

Наконец,

дифференциальному

стохастическому

урав­

нению

 

 

 

^

+ [ 1 + № (x)] %

- / (x) = п (t),

(3.195)

где и.2 —постоянный параметр, соответствует стационар­ ная плотность, определяемая выражением:

шс т (х) = const ехр J j " / (х')[ 1 -f- yrh {х')\ dx'-\-^3h (x)

Указанные виды дифференциальных уравнений (3.191), (3.194), (3.195) описывают лишь незначительное

125

число конкретных динамических систем, поэтому в боль­ шинстве случаев для решения многомерных уравнений Фоккера — Планка — Колмогорова следует использовать вычислительные машины.

. 4

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ В РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

4.1. Вводные замечания

При анализе работы разнообразных радиотехнических устройств приходится учитывать действие различного рода внутренних и внеш­ них шумов. В большинстве случаев физическая природа шумов позволяет рассматривать их как непрерывные случайные процессы, что обусловливает широкое применение теории случайных функций при решении конкретных задач.

Общую теорию случайных функций можно условно разделить на три раздела: корреляционная теория, теория многомерных рас­ пределений и теория непрерывных марковских процессов. Использо­ вание корреляционной теории оказалось особенно плодотворным при исследовании линейных систем. Теория многомерных распределений нашла свое применение при анализе выбросов случайных процессов. Аппарат непрерывных марковских процессов более универсален, чем выше указанные теории, поскольку с его помощью можно и анали­ зировать работы линейных систем и вычислять некоторые характе­ ристики выбросов случайных процессов. Кроме того, этот аппарат позволяет:

—определять плотность вероятности процесса иа выходе нели­ нейной системы;

—вычислять специфические характеристики нелинейных систем

путем решения задач о достижении границ.

В настоящей главе рассматривается ряд конкретных радиотех­ нических примеров, которые иллюстрируют основные преимущества теории марковских непрерывных процессов. В большинстве случаев исследуемое колебание представляется в виде одномерного марков­ ского процесса. Последнее обстоятельство требует привлечения бе­ лого шума в качестве математической модели входного случайного колебания. Как указывалось в § 3.4, реальный случайный процесс с временем корреляции т„ можно аппроксимировать белым шумом

лишь в том случае, если величина і к много

меньше постоянной вре­

мени системы т с . Соблюдение этого условия

специально оговаривает­

ся в каждой рассматриваемой ниже задаче.

 

4.2. Воздействие шума на параллельный колебательный контур

Рассмотрим задачу о воздействии флюктуационного тока на параллельный колебательный контур [1], состоя­ щий из конденсатора С и катушки индуктивности L 126

с омическим сопротивлением R (рис. 4.1). Случайное воз­ действие представляет собой нормальный стационарный случайный процесс с характеристиками:

<

6 (*)"> = О, Іг^)

= <Ці)Ці +

ъ)>

= с>Я(ъ), (4.1)

где а2

— дисперсия, R(x)

—коэффициент

корреляции.

Предположим, что спектр 'входного

колебания значи­

тельно шире полосы пропускания контура. Это условие эквивалентно следующему

 

00

 

 

zK=^R(x)dx^rc=^-,

(4.2)

так что ток £,{t)

о

 

можно рассматривать как

белый шум

со спектральной

плотностью, определяемой

выражением

(3.61).

 

 

Обозначим ток в индуктивной ветви контура

черезy\(t)

и запишем очевидное

равенство

 

 

Отсюда получаем следующее

уравнение

 

i + f

і + т ^ = т г г * -

( 4 - 3 )

Введем параметры контура:

 

 

 

2

 

1

I

R

(4.4)

ш о = Т с г >

а = = ^ Г = 2 Г

 

Тогда вместо (4.3)

имеем

 

 

 

Ч +

2ач + со*і| = а£б.

 

( 4 5 )

Соотношение (4.5) представляет собой стохастическое дифференциальное уравнение второго порядка, которое является частным случаем уравнения (3.191). Поскольку для (3.191) известны решения (3.192), (3.193), то можно просто найти закон распределения мгновенных значений

тока r\(t) (этот закон

будет

нор-

 

 

 

мальным). Однако

в

узкополос- .

.

ffiA

ных

колебательных

системах про-

I

j

текают

процессы,-

имеющие

ха-

k,.i

J,,,

*

рактер

квазигармонического

ко-

J

 

 

лебания

со случайными амплиту­

 

 

 

дой и фазой, и основной

интерес

 

 

 

для

исследования

представляют

 

 

 

не

свойства мгновенного

значе-

 

Рис. 4.1.

127

ния 11 (t), а •статистические характеристики огибающей и фазы. В связи с этим осуществляется переход от диффе­ ренциального стохастического уравнения второго по­ рядка (4.5) к двум стохастическим уравнениям первого порядка для огибающей и фазы.

Итак, предположим, что колебательный контур обла­ дает большой добротностью

Q = ^ = - g - M .

(4.6)

В этом случае флюктуационный ток r\ (t) можно пред­ ставить в виде квазигармонического колебания со слу­ чайными амплитудой А(і) и фазой Ф(і):

i\(t) = A (t) cos <D(t);

(4.7)

Ф(0=Фо+ю0 г:+'<р(0. (4.8)

где A (t) и q>(tf)—медленно меняющиеся случайные функции времени по сравнению с основным колебанием контура cos a0t; <ро — случайная начальная фаза, не за­ висящая от внешнего воздействия £(0-

Как известно (см., например, [2', 3]), огибающая узкополосного колебания определяется соотношением

 

 

Л(0 =

1 / > ( 0 + ? ( 0 .

(4.9)

где

т) (t) — так называемый сопряженный процесс,

кото­

рый

связан

с процессом

т\ (t) парой

преобразования

Гиль­

берта:

 

 

 

 

 

 

 

00

 

оо

л

 

 

 

— 8

 

—°°

 

Согласно первому из соотношений (4.10)

 

 

 

і ( 0 =

- А ( 0 з і п Ф ( 0 .

(4.11)

Вычисляя

производную

r\ = dy\/dt

и

пренебрегая

при

этом производными от медленно меняющихся функций A(t) и фі(0 легко заметить, что

1 i = (D0 î(0 = -(o0 i4(Osin®(0-

( 4 - 1 2 )

 

Из

'выражений (4.7),

(4.8),

(4.11)

получаем формулы

 

для огибающей и фазы:

 

 

 

 

 

 

 

 

.

~

 

 

 

 

Лг =

7Г +

4 - ,

 

-

 

(4.13)

 

 

 

 

 

 

 

ш о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

»=

_ ( р о _ ш 0

/ _ arctg^L -

 

(4.14)

 

Продифференцировав

(4.13),

 

(4.14)

.по времени,

имеем

 

 

 

 

 

 

 

А=-Іти

+ <ті)'

 

 

 

(4-15)

 

 

 

 

 

 

 

V = - ^ Ü + < ^

 

 

 

( 4 Л 6 )

 

Подставив в уравнения (4.15), (4.16) соотношения (4.5),

 

(4.7),

(4.12),

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А=-аА\\

— соз2Ф(*)] —ш^ДОипФр),

(4.17)

 

 

 

 

 

 

? = asm2O(0--^4(0cos4?(0.

 

(4.18)

 

 

В

связи

с тем, что контур

по условию (4.6) высоко­

 

добротный,

в нем происходит

эффективная

фильтрация

 

высших гармоник, которые, следовательно, не могут

 

оказывать существенного влияния на процессы в кон­

 

туре.

Это

обстоятельство позволяет

отбросить

члены,

 

содержащие

гармонические

 

составляющие

удвоенной

 

частоты, так что вместо

(4.17), (4.18)

получаем следую­

 

щие у к о р о ч е н н ы е

уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

À

— ~aA

— a>£ (t) sin Ф (t);

 

(4.19)

 

 

 

 

 

 

 

<р =

- - ^ ( г ) с о 5 Ф ( 0 .

 

(4.20)

 

1 Обозначим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т.(0 =

- Ч 0 8 т Ф ( г ) =

- 6 ( 0 8 ш [ ? в

+

ш0^ +

т(0],

(4.21)

'

Т2

(t) =

-

1 (t) cos Ф (t) =

-

Е (t) cos [<p„ +

mtt +

? (*)].

(4.22)

 

Тогда вместо (4.19), (4.20) имеет дифференциальные

 

уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i4 =

- o 4 +

aie T l (0.

 

 

 

(4.23)

 

 

 

 

 

 

 

 

? = - Х Т . ( 0 .

 

 

 

(4.24)

в которых воздействующими случайными колебаниями служат процессы уі(0 и уг(0-

9—186

19Q

Смотрите также файлы