Файл: Казаков В.А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.06.2024
Просмотров: 231
Скачиваний: 3
Найдем характеристики процессов yi{t) и угЦ). Бу дем иметь в виду, что фаза <р(г*) зависит от случайной функции [см. уравнение (4.20)]. Это обстоятельство затрудняет вычисление средних значений и функций корреляции процессов yi(t) и уг(0-
Постоянная |
времени контура |
т к |
характеризует ско |
|
рость изменения |
огибающей A(t) |
и |
фазы (p>(t), поэтому |
|
на основании (4.2) полагаем, что |
скорость |
эта значи |
||
тельно меньше скорости изменения |
процесса |
£(£). В этом |
||
случае можно подобрать такой сдвиг во времени А, что бы одновременно выполнялись соотношения:
|
|
А > т к , A(t-b)3*A(t), |
|
|
? ( / - Д ) |
|
(4.25) |
||||||
Условия |
(4.25) |
означают, |
что |
величины |
A(t—А) |
и |
|||||||
Ф'(^—А), во-первых, статистически |
независимы от |
| ( 0 |
|||||||||||
и, во-вторых, мало отличаются от значений A(t) |
и <p(t). |
||||||||||||
Ввиду малости величины Дф функции yi(t) |
и yz{t) |
мож |
|||||||||||
но представить в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Уі('і) =—W) |
sin[oW+<Po + 9(?—A)]— |
|
|
||||||||
|
|
— |
I |
{t) Дф cos [cüo^ + фй + Ф (t—A)], |
|
|
|||||||
|
|
Y2 (0 = —I |
(t) cos [соо^ + фо + Ф (t—A) ] + |
|
|
||||||||
|
|
4- % (t) Дф sin M |
+ Фо+<р |
—А)]. |
|
(4.26) |
|||||||
Приращение фазы Дф найдем из решения (4.20): |
|
|
|||||||||||
|
|
9 (f) - |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
д т |
= |
<Р(/ - |
Д) = - |
«о, |
j " Jj-W. cos Ф (*')Л'= |
|
|||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= - ш ° J |
|
|
c o s ф |
(' + * ) d x - |
( 4 - 2 7 ) |
||||||
|
|
|
|
—д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
учесть (4.25), |
то |
вместо |
(4.27) |
получим |
|
|
||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л? = - Ш \ 1 V + Х ) C 0 S К ' + Ш о* + |
+ ? |
|
( 4 - 2 8 ) |
||||||||||
|
|
—д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Усредним теперь (4.26). При этом первые слагаемые обратятся в нуль, поскольку аргументы тригонометри ческих функций независимы от l(t), a < £ ( £ ) > =0 . Операцию усреднения оставшихся членов (4.26) необ ходимо проводить с учетом того, что: 1) приращение фазы Аф зависит от |(£) в силу (4.28); 2) помимо слу-
130
чайной функции |(0 имеется еще не зависящая от £(0 случайная фаза сро. Таким образом,
< Y , |
( О > = - < |
* (О А « Р c o s К Н - Ѵ Ь ? ( é |
- |
Д)] > % . |
(4-29) |
||||||||||
< |
T2 (0 > = |
< |
S (0 A<p sin [m0f + |
cp„ + |
? |
- |
Д)] > |
v |
(4.30) |
||||||
где скобки < |
> |
означают обычное |
усреднение |
по ан |
|||||||||||
самблю реализаций, а скобки < |
> |
<р0 |
указывают на |
||||||||||||
усреднение по фазе фо. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Подставим |
(4.28) в |
соотношение |
(4.29) |
и |
проведем |
||||||||||
преобразования: |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
L (9 > |
= |
|
j |
< И (f) S (* + |
*) cos К * + |
сро |
+ |
|||||||
|
|
|
|
|
—д |
|
|
|
|
? (0] > % dx = |
|||||
|
+ |
Т (f - |
A)] cos [%1 + ш0л- + |
«р0 |
+ |
||||||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Щ ? г | |
^ M 0 ^ C + |
^ ) { c o s K ^ + |
A?) |
|
+ |
|
|||||||
|
|
|
|
—Д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
cos 2 [ ш 0 * + |
- і - ш0л- + |
? і + |
? ( 0 ] } |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 ^ Г |
j-д «о ü (9 ü С + * ) cos (ш0х |
-f• |
Л?) |
|
|
= |
|||||||
|
|
= Щ ) j ^ w |
c o s ш ° х - < |
5 ( / ) * ( ' + л ) |
х |
|
|
|
|||||||
—д
Xà<?>l}asin%x]dx.
Поскольку величина Лор определяется значениями £(Ѳ) (Ѳ<0. то выражение <%(t)l{t+x)ày> следует рас сматривать как < £ ( 4 Ш^)Аф[^(^з)]> - Но для нормаль ных процессов все многомерные моменты нечетного по рядка равны нулю, следовательно,
о
[ < Т . ( 0 > = 2 } С 7 Л " j |
^ ( X ) C O S C B 0 X ^ = |
|
_ д |
|
|
о |
|
|
= MW \ ^(x)cos%xdx |
= smS(f0), |
(4.31) |
— 0 0 •
где S (/о)—односторонняя спектральная плотность про цесса І(t) на частоте/о = шо/2я.
9* |
131 |
При записи второго равенства учтено, что при Л^>тк
выполняется |
соотношение |
k^(A)=0, |
поэтому |
нижний |
|
предел —>Д |
заменен |
на |
—оо. Если |
теперь |
провести |
усреднение функции |
уг(0> |
то можно |
получить |
|
|
|
|
< Ѵ * ( 0 > = 0 . |
|
(4.32) |
|
Исследования показывают [1, 4], что функция кор реляции процессов yi(t) и yz(t) определяется выра жением:
так что время корреляции процессов yi(t) и yz{t) не больше времени'корреляции процесса £(.£).
Рассмотрим подробнее вопрос об огибающей Л(і). Огибающая описывается дифференциальным уравнени ем (4.23) первого порядка, в правую часть которого вхо
дит функция yi(t), |
обладающая малым (временем |
корре |
|||||
ляции |
и |
математическим ожиданием |
S(fQ) =<а0 /8Л (t). |
||||
Чтобы |
привести уравнение (4.23) ік каноническому |
виду, |
|||||
необходимо заменить процесс уі(і) |
на эквивалентный бе |
||||||
лый шум. |
|
|
|
|
|
||
Обозначим |
|
|
|
|
|
||
|
|
yt{t)-<yi(t)>[=ni(i), |
|
|
|
(4.34) |
|
где rii(t) |
—-процесс со свойствами |
белого |
шума: |
|
|||
|
< |
n, (t) > = |
0; < n, (t) пх (t + |
т) > |
= |
S (т). |
(4.35) |
Величина N0i/2 определяется согласно (3.61) и (4.33) соотношением
то
о
оо |
|
= f ^(V)cosu>0TtfT==4-S(f0). |
(4.36) |
Ь
С учетом (4.34), (4.31) стохастическое уравнение для огибающей примет вид:
Л = - а Л + - ^ г + «ѵг1 (0. |
(4.37) |
где
132
По виду (4.3?) выписываем коэффициенты сноса и диф фузии
К1(А) |
= - а А - \ - ^ г , |
^(А) |
= ш20^, |
(4.39) |
||
а затем уравнение |
Фоккера — Планка — Колмогорова |
|||||
dw(A, t) _ |
д ( |
с \ |
, л |
А |
i ш о< Ѵ оі дЧе (Л, |
t) |
dt |
M [ - a A + 2 Â ) w ^ |
') + — |
|
|||
|
|
|
|
|
|
(4.40) |
Стационарное решение уравнения (4.40) находим по
формуле |
(3.132): |
|
А |
|
|
|
|
|
|
(А')(А') dÄ |
А • ехр |
|
|
шс т (А) |
= Кг {А) |
ехр |
IКг |
2 в а |
||
|
|
L |
0 |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
а 2 = |
^ = - Г ( Э ш о 5 ( / о ) . |
А^О. |
|
||
Таким образом, одномерная стационарная плотность вероятности для огибающей квазигармонических коле баний, возникающих ;на выходе высокодобротного кон
тура при воздействии «а него |
широкополосного |
шума, |
||||
распределена по закону Релея. |
|
|
|
|
||
Решение нестационарного уравнения |
(4.40) |
доволь |
||||
но сложно [4]. Если |
предположить, что в |
некоторый мо |
||||
мент времени t± |
огибающая |
A {t) имеет |
значение |
|||
A(ti)=Au |
находящееся внутри |
интервала |
(а, Ь), |
то по |
||
формуле (3.166) можно вычислить среднее |
время дости |
||||
жения границ. Используя |
(4.39) |
и |
выполняя вычисле |
||
ния, получаем |
|
|
|
|
|
T^T(a,Al,b) |
= |
- ± { |
[ |
i n \ ^ |
\ X |
где
133
