Файл: Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 28.06.2024

Просмотров: 134

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Понятия дифференцируемости и интегрируемости матричной функции вводятся подобно тому, как это имело место для век­ тор-функции. Таким образом, имеем

 

Ж

- [

w

]W-

=(W«)-

 

 

 

 

 

dA

Исходя из этого, легко доказать, что если /4=const, то ^ - = 0

и аналогично

 

 

 

 

 

d ,

dA

 

 

.

d . . . . D. dA dB

dt

' 'dt

’

c =

const;

Ж ( А ± В ) ^ 1 І ± Ш -

 

 

(С-4) = C

C -const,

где А, В, С — матричные функции;

 

d_

{Ac) =

 

с — const;

dx

dt

 

dt

где С — постоянная матрица.

2. Система обыкновенных дифференциальных уравнений

7і(* .

ук

Уъ-- • > Уп’ Уѵ

У2’ • • •.

Уп) = о,

/г (•*-',

Уѵ

Уі’ ■• • 1 Угѵ У[,

У2>■■

у'п) = 0 ,

 

 

 

 

.

• •

/,і (JC, Ух.

Уз, • ■• > Уп> Уі>

У2, ■•

 

о II

 

 

называется линейной, если производные от искомых функций и сами эти функции входят в каждое уравнение системы линейно.

Нормальная система линейных уравнений с постоянными ко­ эффициентами записывается в следующием виде

■dyldx

+ апУі + апУ-і + • ■А~сі\пуп

 

dy-г

+

+ ачгУі + • •• + аіпУп —

dx

 

 

 

dy»

 

Т ^піУ'1 "Ь * • • + ап„у„ =

dx

 

 

 

 

где все коэффициенты a-tj — постоянные и

Ѵ2, . . ., Ѵ„ являют­

ся некоторыми функциями от х. Такая система линейных диф­ ференциальных уравнений называется неоднородной. Если же все правые части Ѵ\, Ѵ2, ■■ Ѵп тождественно равны нулю, то такая система дифференциальных уравнений будет однородной.

Рассмотрим линейную однородную систему

dy, ,

,

,

.

_

-faT ■f Яц</і + апУі +

• ■■+ <h„Уи — О-

+

ЯцУі +

л2зy« +

• ■• + 0-2„у„ = О,

.........................................................

-jfä- + атУі + агііУа + ■• • + аппУп — О

с постоянной матрицей

Покажем прежде всего, что систему (25) можно привести к однородному линейному уравнению п-го порядка с одной неиз­ вестной функцией.

Действительно, если введем, вектор

Уі

У%

то

dy1 dx

dya

dx

dy_ dx

dyn

. dx ,

il на основании (25)

имеем

 

djh

 

 

dx

 

Ух

dijo

a m ■••a lll Уй

dx

a i l

&21

CÏ2 2 *-• ■ a 2 n

 

a n \

a n'l ■'• • a n n ■

dyn

 

Уп

 

 

,dx

т.e. рассматриваемая система запишется так

 

dy

= Ау,

 

 

отсюда

dx

 

 

 

 

 

 

 

dhy

 

 

 

 

dx°-

 

 

 

 

Характеристическое (вековое) уравнение матрицы А

au — X

a12

■

au

 

U2i

^22

’ ■

a2„

= 0

 

 

 

 

(26)

(27)

будет

(28)

anX a „2 ■ • ann X

или, представив определитель в виде целого многочлена, полу­ чим

aÿ.n + aÿi^n ' + ... + Un—O' -Г ап — 0.

Воспользовавшись далее теоремой Кэли-Гамильтона, что каждая квадратная матрица удовлетворяет своему характерис­

тическому уравнению

(§ 17), имеем

 

 

 

отсюда

а0 Ап + ОдЛ”-1 + . . • -Г ап—\А

ип — 0,

сіі)Апу -Г сі^Ап~^у -Г . . . -Г ап-\Ау -f- ип =

0-

 

Последнее уравнение на основании формул (26), (27) можно

записать так

 

 

 

 

 

 

 

dny

,

dn~'y

■• • +

ая- 1

апу =

0.

 

a°dxn

1 аЫ хп-'

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

d"yk

d n~ 'y k

 

dyk

+ апУь = 0,

k —\ , 2 ,

dxn

j=r +

■• • + a„_i

dxn

 

 

 

 

 

 

Это и будет одно искомое линейное однородное уравнение п-го порядка с постоянными коэффициентами, к которому при­

ведена система

(25). Общий интеграл последнего уравнения, как

известно, выражается через показательные функции. *

будем

Исходя из этого,

частные

решения

системы (25)

искать в виде показательных функций

 

 

 

Уі =

ÿi =

l ß hX, • ■•. Уп~

(29)

Параметры

у2, ... , у„,

входящие

в частные

решения

У\, Уі, ■■-,Уц, полагаем постоянными, которые необходимо опре­ делить так, чтобы функции (29) удовлетворяли системе (25).

Подставив в систему (25) функции (29), после сокращения на

еІХ получим алгебраическую систему п

линейных

однородных

уравнений относительно уі, у2>• • ■. Т,Р

 

 

(«и -

X)Тх + «12Ï 2 +

• • ■+

О іп іа = 0.

 

. «2lT l +

(«22— X) Ta +

■• • +

«2 „T n = 0,

(30)

«„Л + «„2Ï2 + • • • + («„„ —Î.) T„ = 0.

Для того, чтобы эта система имела отличные от нуля реше­ ния, необходимо, чтобы ее определитель был равен нулю, т. е.

«11-- ^ «12 • ■• «1н

«21

«22

^

• «2«

_ п

«ni

«н2

• • •

апп

L

Получим, таким образом, характеристическое уравнение (28) матрицы А системы (25). Корни этого уравнения будут

)-1, 1-2, • • • . Кіг

Подставляя каждый из них последовательно в систему (30), определяем из соответствующих однородных систем уравнений Ті. Т2. • • ■>Тл> которые будут отличны от нуля, так как опреде­ литель однородной системы (30) равен нулю.

Здесь полагаем, что все значения Ài, Ào, .. ., À„ различны, т. е. характеристическое уравнение не имеет кратных корней.

Таким образом, по формулам (29) получим п линейно незави­ симых частных решений заданной системы, а их линейная ком­ бинация будет общим интегралом системы (25).

Заметим, что если характеристическое уравнение имеет ком­ плексные корни, то общий интеграл системы записывается в тригонометрической форме. **

* См., например, В. В. Иваненко, Краткий курс математического анализа,

ч.II. КВАИУ, 1969. § 144.

**См. там же. § 144.

Пример 1. Решить систему линейных однородных дифферен­ циальных уравиений

^Уі

I

г

 

- ^ - - - S x + l h + й.

 

du.,

у- У ъ+ У*

(31)

- ^ - У

Р е ш е н и е .

Соответствующее характеристическое

уравне-

нне по формуле (28) будет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ ( 1 +>.)

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

-

а

+ц

 

1

—о,

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

1 —

 

 

 

 

илн

_ ) 2( У+

1 ) + 4(1-+1) = 0,

 

 

,

откуда

 

 

 

 

 

 

>^ =

2,

).8 = — 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частные решения заданной системы ищем в виде

 

 

Уі =

ÏI<?Xa',

У% =

 

 

 

Уз =

ТзеЬ’>

 

(32)

где -fi, уа, уз на основании (30)

определяем из системы

 

 

 

— (1 + '-) 7і + 72 +

7з ^ 0,

 

 

 

 

 

7 і— (1 + ^) 7а +

7з = 0.

 

 

(33)

 

 

7і + 7s + (1 — М Тз = 0.

 

 

 

ПриЯі = —1 система

(33) будет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ï 2 +

7з =

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7і +

Тз = 0-

 

 

 

 

 

 

 

 

7і +

72 +

2у3 =

О,

 

 

 

 

откуда получим, что

 

7і = 7г = — Тз-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

частные

решения

 

(32)

при

Яі= —1

можно

записать так

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

г

о-*

 

„0)

г

о~х

„(О _

г

р ~ х

>

 

У1 — ^і£

> У2

=—

 

і

Уъ —

 

 

 

где Ci — произвольная постоянная.

 

 

 

 

 

' '

Смотрите также файлы