Файл: Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 28.06.2024

Просмотров: 120

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

порцпоиальны. т. е.

 

 

я., =

kba..............

 

 

 

 

 

<7t =

h by,

 

 

 

7.

При всех действительных я ; и by справедливо неравенство

і bh — by)- -f- (я2— b.2)2-j- . .

. +

(an

b„y*£,

 

 

 

^

T

+ a\ T- •

•

• -Ьай “г

i b{ 4" b\ +

.

. . -j- bjt .

Равенство имеет место

если числа at

п bt пропорциональны.

8. Теорема об абсолютной величине суммы

 

(пример 3) имеет

место для произвольных комплексных чисел:

 

 

 

 

I гі

+ zi + •

■

•

-f г,і I

I z xI -f

I z21+

-

•

• + I zn\ ■

9. Среднее арифметическое неотрицательных чисел не меньше

среднего геометрического этих чисел:

 

 

 

 

 

 

V Clyda

 

. а,

а,

а2

.

+

 

а„

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Равенство имеет место, когда йі = аг=

.. . —сіп.

 

10.

 

С р е д н е е

 

г а р м о н и ч е с к о е .

 

Средним гармонич

ким п положительных чисел я,, а2, . ■

ап называется выражение

Н

и

 

—+ — + . . . + —

а, я 2 ап

Среднее

гармоническое

чисел аи а2,

.

а„ не больше их

среднего геометрического, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У а ,а„

 

 

 

 

 

_1_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

аг

ао - г ...

+

 

 

 

 

равенство будет при я1= я2=

.. . = я„.

 

 

11.

Т е о р е м ы

о с р е д н и х ,

а) Если знаменатели дробей

 

 

 

 

 

Сіу

City

cin

 

 

 

 

 

 

 

öT:

b l ’ ' ' ‘

'K

 

 

положительны, то. имеет место неравенство

 

 

 

 

 

Cl

Ну -)- Яо

T - . . .

"Tcin

 

о,

 

min — <

-г-

—

----------- T- гг <

 

шах - г ,

 

 

 

о

by +

Ьг

-f . . . +

bn ^

 

b

.

a

 

a

 

 

 

 

 

gr

где min-r-

и ш ах-г соответственно наименьшая и наибольшая

 

о

 

о

 

 

 

 

 

 

из дробей

, і= 1, 2.......п.

 

. . .

 

 

^

 

 

 

 

 

 

,

Cl;

рав-

Равенство имеет место только тогда, когда все дроои

öI

ны между собой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

В частности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

^ißi

4- к«аг +

к.а„

^

 

 

 

шіп а <

—

и

х

и \ ------г

и-

< max а,

 

 

 

 

 

 

+

^2 ~Р

 

 

 

 

где

k u k% . . kn — произвольные

положительные числа, а

min а и max а соответственно наименьшее и наибольшее из чисел

аи а2,

. . а„.

 

 

в)

Положив в последнем неравенстве k\ = k2 = ... = кп, по­

лучим

 

Û1 + Û2+ .. . -h лп

 

 

min а

< max a.

 

 

ѣ

 

Следовательно, среднее арифметическое чисел О), а2, . . ., а„ заключается между наибольшим и наименьшим из этих чисел. Равенство имеет место тогда, когда данные числа равны между собой.

г) Среднее гармоническое положительных чисел ah а2, ..., а„ заключается между наименьшим и наибольшим из этих чисел, т. е.

 

 

_L+ _L j.

 

 

T „ I

inin

_1_

(Ь%

 

a

 

j.J _

 

■• • j _

1

гп ^

— < max —,

Cl

где min— li max — соответственно наименьшая и наиоольшая

а

а

из дробей

/ —1, 2, . . ., п.

а і

Из последнего неравенства, воспользовавшись неравенствами в примерах 9 и 10,получим

2« ,

min а < •

< V й-і • • ■а-п <

і-і

< max а.

 

 

п

 

^

а.

 

 

г- i

 

 

 

Таким образом, среднее геометрическое положительных чи­ сел заключено между их средним гармоническим и средним арифметическим.

 

1 ,

1

п

 

<

lh ~Ь ач ~r

• • • ~Ь ап

 

 

,

1

 

IL

 

 

 

^1

^'2

* * ~І~ 7Г~

 

 

 

 

 

 

 

 

ап

 

 

 

 

 

 

следует, что

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

{С1 \ -j-

Clo

. . • +

ан) 1

■L + l

 

>

n2.

 

 

 

 

 

 

 

 

Cl\

Cl'2

 

 

 

 

Например, при n='2'и n = 3 соответственно имеем

 

(<?і +

аа) I 1

а

> 4,

(йі +

ch +

йз) f ~— V -— h ~ ) > 9 .

 

 

 

 

 

 

а.

0‘Q

 

 

12.

Н е р а в е н с т в о

Б е р н у л л и. При Іг> 0 п при любом

рациональном г>1

имеет место неравенство

 

 

 

 

 

 

(1

+- !і)Г>

1 +

гh.

 

 

 

При натуральном г=п неравенство Бернулли может быть доказано непосредственно, так как по формуле бинома Ньютона имеем

(1 + /г)« == '1 + nh + С* h2 - f . . . + /г",

отсюда отбрасывая положительные слагаемые, начиная с треть­ его, получим

 

( 1 +

h)" > 1 +

nh.

13.

Т е о р е м а о

в ы п у к л ы х ф у н к ц и я х. Введем сле

дующее определение: функция і/=/(х)

называется выпуклой вниз

в некотором промежутке, если для любой пары различных зна­ чений аргументов х х и хг пз этого промежутка выполняется не­ равенство

j Л Хх -j- ха \ ^ / (х,) + / ( х 2) .

для функции, выпуклой вверх, выполняется неравенство противо­ положного смысла.

Черт. 9.

Геометрически это неравенство очевидно, так как середина любой хорды графика функции выпуклой вниз (вверх) лежит выше (ниже) соответствующей точки дуги (черт. 9).

Для рассматриваемых функций может быть доказана теоре­ ма: если функция выпуклая вниз в некотором промежутке, то для п произвольных значении аргумента хь хъ . . х п из этого про­ межутка имеет место неравенство

£ ( Х1 +

Х2 +

-

• • • + ХП \

^ f (д) + /

(Хі)

+

■■■-!-/ (Х„).

J- ^

 

j

<

-

 

.

для функции, выпуклой вверх, неравенство будет противополож­ ного смысла; равенство при Хі=х2= ... — хп.

§ 3. Задание некоторых числовых и точечных множеств при помощи неравенств

1. Неравенства могут служить средством аналитического за­ дания числовых и точечных множеств. Здесь, конечно, понимаем не произвольные множества, а некоторые их частные виды, наи­ более важные в приложениях.

О п р е д е л е н и я , а) Интервалом или промежутком (а, Ь) называется множество всех' действительных чисел х, удовлетво­ ряющих неравенству

а<х<Ь.

б) Отрезком [о, b] называется

множество всех действитель­

ных чисел, удовлетворяющих неравенству

а < X

Ь.

в) Множество всех действительных чисел называется интер­ валом от — о о до + о о и обозначается символом (— о о , -J- с о ) .

г) Множество всех действительных чисел, больших (меньших) числа а, называется интервалом от а до +со (или от — о о до а) и обозначается (а, + о о ) или (—- о о , а).

Символы + оои —со принято считать связанными с действи­ тельными числами и между собой соотношениями неравенства, а именно: всякое действительное число а считается меньшим, чем

- f c o

и большим, чем — оо, а символом — сосчитается меньшим,

чем

+ с о . Следовательно,

множества чисел х, удовлетворяющих

неравенствам

 

 

 

— с о < х < -ф о о ,

а < X < -f о о ,

— о о < X < а ,

соответственно будут: множество всех

действительных чисел,

множество всех действительных чисел, больших а, и множество всех действительных чисел, меньших а.

2. Положим, что y = f 1(х) и г/= (л:) две функции, непрерыв­ ные на отрезке [a, b] и удовлетворяющие неравенству /у(х) < /2(х)

в интервале (а, Ь). Рассмотрим множество точек

(х, у) плоскос­

ти, содержащихся внутри области, ограниченной

снизу линией

y — f\(x), сверху линией y = h{x ), слева и справа

прямыми х — а

и х = Ь, параллельными оси Ох. Линии, ограничивающие данную

область, к рассматриваемому множеству не причисляются (черт. 10).

Аналитически это множество можно характеризовать следую­

щими неравенствами

 

а < х < Ь , / і (х) < у < / , (х), .

(1)

которым удовлетворяют координаты принадлежащих ему точек. Действительно, при любом х, содержащемся в интервале (а, b), значения у содержатся между числами (х) и f2(x).

Заметим, что входящие в состав контура боковые отрезки мо­ гут, одни или оба, вырождаться в точку, если верхняя и нижняя дуги будут иметь общие концы.

Аналогично неравенствами

 

 

 

 

 

с <

у <

d,

ъ

(у) <

X < а2(х)

 

(2)

характеризуется множество точек

плоскости, лежащих внутри

области,

ограниченной

слева

и справа линиями

х= срі(і/),

А'= фа(у), а снизу и сверху прямыми у —с и y = d

(черт.

11).

Множество точек

плоскости, определяемые

неравенствами

(1) или

(2), будем называть открытой элементарной

областью,

а множество точек, определяемое неравенствами вида

 

или

а <

X <

Ь,

/ і (х) <

у < / , (х),

 

 

с <

у <

d,

?, (у)< х < <?іІУ),

 

 

 

 

 

называется замкнутой элементарной областью.

Б этих неравенствах, определяющих элементарные области, могут участвовать символы + со.

Неравенства могут также

служить, для задания точечных

множеств в пространстве.

 

Пример 1. Неравенства

 

а < X < Ь,

с < у < d

Смотрите также файлы