Файл: Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие.pdf

где Yi. Y2 определяются из системы

I (5 — >0 7і + 4тз = О, l4 ïi + (5 + >0 ъ = 0.

При Хі = 1 имеем 4уі + 4у2 = 0, т . е. уі = —У2 , следовательно, частные решения будут

і/с,1> = Сіех, У ^ = ~ С }ех\

аналогично, если Л,2 = 9, то —4 Y I + 4 Y 2 = 0, т . е. Y I = Y2 , поэтому

у™=С2е*х, і/Р = С2еПл‘.

Таким образом, имеем общий интеграл соответствующей од­ нородной системы

Уі — Схех -f С.,е!ІЛ',

Заметим, что однородная система, соответствующая заданной системе (42) будет

d-Ух

dx —5t/i -j- 4і/2.

Ж - 4ÿi + 5f/2'

Общий интеграл неоднородной системы (42) ищем в виде (43), полагая, что С| и Со являются некоторыми функциями от х, т. е. С) = С| (х), С9 = Сг(х), которые на основании системы уравне­ ний (41) определяем из следующей системы

Подставив найденные значения для Сь С2 в (43), имеем общий интеграл заданной неоднородной системы (42), который в окон­ чательном виде запишется так:

ДОПОЛНЕНИЕ

§ 1. Основные свойства неравенства

Учение о неравенствах относится к так называемым распо­ ложенным числовым полям, какими являются поле рациональных и поле действительных чисел. Числа этих полей связаны соотно­ шением взаимного расположения «равно», «больше», «меньше». К полю комплексных чисел учение о неравенствах неприменимо. Отметим некоторые свойства неравенств и важнейшие следствия из них.

I. Из неравенства А < В следует неравенство В>А и обратно из второго неравенства следует первое (свойство необратимости). Это свойство можно сформулировать так: при перестановке пра­ вой и лезой частей неравенства смысл знака неравенства изме­ няется на противоположный.

II. Из А < В и В < С следует, что А < С (свойство транзитив­ ности) .

III. Если А<В, то В—,4>0 и обратно — из второго неравен­ ства следует первое.

IV. Если А<іВ, то А + С<СВ+ С (свойство монотонности сло­ жения). Следовательно, к обеим частям неравенства можно до­ бавить поровну.

Таким образом, при умножении обеих частей неравенства на положительный множитель смысл знака неравенства не меняет­ ся. а при умножении на отрицательный множитель смысл знака неравенства изменяется на противоположный.

В частном случае при т= —1, полагая А<В, получим

—А> —В, т. е. при изменении знака обеих частей неравенства смысл знака неравенства изменяется на противоположный.

числа, то AC<BD, т. е. неравенства одинакового смысла с поло­ жительными частями можно почленно перемножать.

Из А <С имеем, что АС<ВС, а из С<Д видим, что BC<BD, отсюда в силу транзитивности AC<BD.

так как В—А>0 и А В > 0, потому что числа А и В одного знака. Для чисел разных знаков это свойство не имеет места.

выполняется тождественно, если оно имеет место для значений |і и f2 при произвольных допустимых системах значений аргу­ ментов.

При доказательстве неравенств обычно понимают Доказатель­ ство утверждения, что данное неравенство выполняется тождест­ венно при всех допустимых значениях, входящих в него аргу­ ментов.

Невозможно установить общие способы доказательства не­ равенств ввиду большого разнообразия как самих неравенств, гак и методов, которые применяются при доказательстве этих неравенств. Наряду с весьма примитивными способами часто применяются искусственные приемы. Таким образом, не пред­