Файл: Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 28.06.2024

Просмотров: 133

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

При Х2 = 2 система

(33) имеет следующий вид

 

 

 

—Зуі + Ï 2 + Тз = 0>

 

 

 

 

 

Ті

Зуа +

у3 =

О-

 

 

откуда

 

 

Ті + Та— Та = О,

 

 

 

Ті

Т 21

Тз = Т і ~Ь I V

 

 

 

 

 

 

 

 

Соответствующие частные

решения

(32)

при Х2 = 2 буду

( 2) .

С,е

2.ѵ

(2)

С3е

„ (

2)

= 2Сов

2 х

Уі

 

т

 

Уз

 

где С2— произвольная постоянная. Аналогично при Хз= —2 имеем

 

 

 

 

 

Т і

+

Та +

Т з ~

0

;

 

 

 

I

 

Т і +

Т г - г Т з =

О ,

откуда

 

 

[ Т і + Та “Ь З т з =

О ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

Т і =

— Т а , Т з = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

„(3)

_

Г

р - 2 х

-

 

(3)

_

г „ - Ъ :

У1

=

'-‘3

&

У з

------Ь3е

 

,

,,< з )

Уз О,

где С3 — также произвольная постоянная.

Таким образом, общий интеграл системы (31) будет

Ух — Сіе

+

С2е + С3е ,

уг = С1е~х

 

Съе х С3е~2х,

Уз = Сге

х

2С3е А.

Пример 2. Решить систему

dy,

dx — 7Ух + Ух,

dy2

dx = — 2 ух 5ух-

Р е ш е н и е . Характеристическое уравнение по формуле будет

- ( 7 + Ь )

1

= 0,

- 2

-

 

(5 + X)

или

 

 

 

Хг +

12Х + 37 = 0,

откуда

 

 

----- 6 — і-

Хі = — 6 -(- і,

 


Частные решения системы (34) ищем в виде

Уі = Т іеХд:. Уі = Тi ^ x\

где Y) и Y2 определяем из системы линейных алгебраических уравнений

f -

(7 + >0 Ті + T, = О,

I

2ух — (5 + Ц у * = О,

При Яі = —6+ і последняя система будет

f — (1 + 0 7і + Тг — О, 1 — 2тх + (— 1 -f 0 Тз = О,

откуда, например, если YI = 1, то уг= 1 +і. Исходя из этого, имеем следующие частные решения системы (34)

ÿ(.»= е(-б+,>- ^ > = ( 1 + / ) e (-6+i>-

Если Y2= —6—і, тогда

f — (1 — i) Ti + 7a — O, 1— 2Ti — (— 1 — i) T2 = O,

откуда, например, если YI = 1. то Y2= 1—i- Исходя из этого, имеем следующие частные решения системы (34)

ÿî’W - 6- 1*

Таким образом, общий интеграл системы (34) будет

У-

Уі = Ае{- 6+1)х+ Ве(- 6- і)х,

уг = А ( 1 + і) е(~ь+і)х+ В ( \ - і ) е{- 6~1)х,

где А, В — произвольные постоянные. Применив формулы Эйлера

eix = cos х + і sin X, е~іх =cos хі sin х,

полученный интеграл запишем в тригонометрической форме. Окончательно имеем

Ух = е~йх (Сх cos д: + С2 sin *),

у.2 = е~Ъх[(Сх + С2) cos X + (С2 — Сх) sin х],

где Сі =А+В и С2= В)і суть новые произвольные постоян­ ные.

3. Если характеристическое уравнение (28) будет иметь крат­ ные корни, то решение системы (25) будет более сложным, а именно: каждому корню уравнения (28) кратности k должно со­ ответствовать k линейно независимых решений системы (25), причем одно из этих решений будет иметь вид (29), а остальные, вообще говоря, будут содержать многочлен от х. Но в данном случае, в отличие от одного уравнения с постоянными коэффи­

циентами, может случиться, что не одно, а несколько решений, соответствующих данному кратному корню, будут иметь вид (29).

Не излагая общей теории, рассмотрим решение линейной сис­ темы дифференциальных уравнений, характеристическое урав­ нение которой содержит кратные корни.

Пример 3. Решить систему

dÿt

= Уг + Уз>

 

dx

 

4Уг

Уі + Узь

(35)

dx

 

 

dÿ3

= Уі + Уг-

 

dx

 

Р е ш е н и е . Характеристическое уравнение будет

- X 1 1

1 — X 1 = 0 ,

1 1 - X

или А,3—ЗА,—2 = 0, откуда путем подбора находим

X, 2, Х2 = Х3 = — 1.

Частное решение системы (35) ищем в виде

Уг = Ті*іХ.ѵ Уг = Ъ е }х, Уз = Тзе'Л’>

где постоянные -уі, Уг. Уз определяем из системы линейных алгеораических уравнений

— М і + Тг + Тз — 0.

 

Ті — Мг + Тз = 0,

(36)

7і + Тг — Ms = 0,

 

При ?ч= 2 последняя система будет

— M i + Тг + Тз = 0,

Т і — 2 т г + Т з = 0 ,

Ті + Та — 2^з = О,

откуда, взяв любые два уравнения, например, nepèoe и второе, легко определим отношение неизвестных, например:


тогда имеем

 

 

 

' '"ОД

 

 

2 ki + k%-{- 1 — О,

 

1

Ä i - 2Ä, +

1 = 0.

Находим &i = /f2= l. или

 

 

 

 

 

J h _

J a . _

j

 

 

 

Та

Тз

 

 

отсюда

jx = Тг ~ ТзСледовательно,

 

 

 

у? '= С іе**,

y\X)=Cxé-\

г/'1'== Сгеіх.

При À2 = À3= —1 система уравнений

(36) приводится к одно­

му уравнению

 

 

 

 

 

Тх + Тз + Тз = О

 

пли уз=

— (71+V2), т. е., если уі = С2, у2=Сз. то у3 = — (С2+ С 3),

отсюда находим новые частные решения системы (35) :

 

у ? = Сге~х) yf> = С3е - \ у.р = - 2 + С3) е~х.

Таким образом, общий интеграл системы (35) будет

 

Ух =

Схе2х + С2е - Ѵ,

 

 

Уг =

і

Сле~х.

(37)

 

І/а — Схв~"х

(С2 -J- С*) б_Л

Для того, чтобы убедиться, что полученное решение систе­ мы (35) является ее общим интегралом, необходимо показать, что частные решения этой системы, входящие в решение (37), ли­ нейно независимы или. как говорят, образуют фундаментальную систему. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что если частные решения образуют фундаментальную систему, то составленный из них определитель не равен нулю.

Действительно, для системы (35) имеем

е'1х

е1*

е1х

1 1

1

е~х 0

е~х =

1 0 — 1

0

е~х

е~х

0 1 -

1

следовательно .найденные зависимости (37) являются общим ин­ тегралом системы (35).

4. Рассмотрим линейную неоднородную систему линейны дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такая система легко решается методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).


Ограничимся рассмотрением неоднородной системы трех уравнений

4

СІцХ 4

а ііУ 4

«із2=

Ѵ х -

 

■ —jj^r 4

&21-X 4

ПціУ 4" a2S2=

V2.

(38)

dz

a3lx j- a3iy 4 -

a33z =

l / s.

 

 

 

 

 

 

 

где V], V% Уз — заданные функции от t\ х, у, z — функции от t, которые необходимо определить, и — постоянные.

Положив правые части данной неоднородной системы (38) равными нулю, получим соответствующую однородную систему

4“ Яц* 4- &\чУ 4- fluz = О,

'

4

Я21Х 4

а22У 4

= О,

~

4" азіх 4

^32У4

ßs3z — О,

ее общий интеграл будет

 

 

' '

 

X =

С]Ад 4

С 2х2 4 - С 3ха,

 

У =

С-іУі 4“ С2у2 4- С3у$,.

 

2 =

4 jZy 4

С2 ^ 2 4

C3z3,

где xlt у,,

zI (i= 1, 2, 3) — функции

от t, а Сь С2, С3 — произ­

вольные постоянные.

неоднородной системы (38)

Будем

искать общий интеграл

в виде (39), полагая, что Сь С2, С3 не произвольные постоянные, а некоторые функции от t, которые необходимо определить таким образом, чтобы система (39) была общим решением данной не­ однородной системы уравнений (38). Для этого из (39) найдем производные:

dx dt

dy ~dt

dz

~dt

Cj

=c l

dx1

dyx dt

dz1

4

c 2

dx2

+

Сз

dxg

4

4

 

dC j

 

dC2 ,

d C 3

 

dt

1

+

x*4é ' +

ХзЧ Г

 

 

 

 

 

 

 

 

4

C2 dy2

+

Сз

dy3

4

Уі dCt

,

d C 2

+

Уз dC3

(40)

 

 

~dt

 

 

 

 

 

+

y*~dé

 

~dé’

 

 

 

dzn

 

 

dz3

 

 

dCj

,

d C 2

 

d C3

 

4

~dï

Сз

+

zi

 

^

Za

4

23 ~dé

 


il подставим в систему (38). Первые три слагаемые в правых частях формул (40) имеют такой вид, как Сь С2, С3 постоянные, а так как х, у, г являются решениями однородной системы, то. подставив эти члены, получим нуль и для определения С|, С2. Сл будем иметь следующую систему уравнений:

 

dCx

 

dC2

I

у

— у

 

 

*1 dt

+ xi Ж

+

Л;1 dt

 

 

 

 

dCx

 

dC2

 

 

 

 

 

Уі

dt

4" У2 dt

+ УлЖ

^ Ѵ%’

 

(41)

dCx

4-

dC2

I

z

—у

 

 

dt

Ж

~r z s JJ.

— к 3,

 

 

 

 

 

 

 

dCy

U,l>2сіС

dCs

имеем

Решив эту систему относительно

- ц - , Ж

dt '

dCx

 

 

dC%

 

 

dC.

 

 

dt = ?i(0 .

 

dt

 

 

 

 

 

где фі(0 , фг(0 »фз(0 — известные функции от і. Далее, беря квадратуры, находим

Сх = J 'fi (t) d t Dx, C2 = J f 2 (t) dt -J- D2, 63 = J f 2 (t) dt -f D-j,

где DI, D2, D3 — постоянные интегрирования.

Подставив найденные значения Си С2, С3 в систему уравне­ ний (39), имеем общий интеграл заданной неоднородной систе­ мы (38).

Пример 4, Решить систему

^ = оуі -г 4у2 -{- X'2,

(42)

% = 4уг + 5Уі + X.

Р е ш е н ы е. Характеристическое уравнение будет

5 - >. 4

4 5 —X = 0 ,

или X2—10X4-9 = 0, откуда

X1= 1, Х2 = 9.

Частные решения ищем в виде

Уі = Ж х> У2 = Ж * .