Файл: Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 28.06.2024
Просмотров: 133
Скачиваний: 1
При Х2 = 2 система |
(33) имеет следующий вид |
|
||||||||
|
|
—Зуі + Ï 2 + Тз = 0> |
|
|
||||||
|
|
|
Ті |
Зуа + |
у3 = |
О- |
|
|
||
откуда |
|
|
Ті + Та— Та = О, |
|
|
|||||
|
Ті — |
Т 21 |
Тз = Т і ~Ь I V |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
Соответствующие частные |
решения |
(32) |
при Х2 = 2 буду |
|||||||
( 2) . |
С,е |
2.ѵ |
(2) |
С3е |
2х |
„ ( |
2) |
= 2Сов |
2 х |
|
Уі |
|
т |
|
Уз |
|
где С2— произвольная постоянная. Аналогично при Хз= —2 имеем
|
|
|
|
|
Т і |
+ |
Та + |
Т з ~ |
0 |
; |
|
|
|
I |
|
Т і + |
Т г - г Т з = |
О , |
|||
откуда |
|
|
[ Т і + Та “Ь З т з = |
О , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
Т і = |
— Т а , Т з = 0 . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
„(3) |
_ |
Г |
р - 2 х |
- |
|
(3) |
_ |
г „ - Ъ : |
||
У1 |
= |
'-‘3 |
& |
У з |
------Ь3е |
|
, |
,,< з )
Уз О,
где С3 — также произвольная постоянная.
Таким образом, общий интеграл системы (31) будет
Ух — Сіе |
+ |
С2е + С3е , |
уг = С1е~х |
|
Съе х — С3е~2х, |
Уз = — Сге |
х |
2С3е А. |
Пример 2. Решить систему
dy,
dx — 7Ух + Ух,
dy2
dx = — 2 ух —5ух-
Р е ш е н и е . Характеристическое уравнение по формуле будет
- ( 7 + Ь ) |
1 |
= 0, |
|
- 2 |
- |
|
|
(5 + X) |
|||
или |
|
|
|
Хг + |
12Х + 37 = 0, |
||
откуда |
|
|
----- 6 — і- |
Хі = — 6 -(- і, |
|
Частные решения системы (34) ищем в виде
Уі = Т іеХд:. Уі = Тi ^ x\
где Y) и Y2 определяем из системы линейных алгебраических уравнений
f - |
(7 + >0 Ті + T, = О, |
I — |
2ух — (5 + Ц у * = О, |
При Яі = —6+ і последняя система будет
f — (1 + 0 7і + Тг — О, 1 — 2тх + (— 1 -f 0 Тз = О,
откуда, например, если YI = 1, то уг= 1 +і. Исходя из этого, имеем следующие частные решения системы (34)
ÿ(.»= е(-б+,>- ^ > = ( 1 + / ) e (-6+i>-
Если Y2= —6—і, тогда
f — (1 — i) Ti + 7a — O, 1— 2Ti — (— 1 — i) T2 = O,
откуда, например, если YI = 1. то Y2= 1—i- Исходя из этого, имеем следующие частные решения системы (34)
ÿî’W - 6- 1*
Таким образом, общий интеграл системы (34) будет |
У- |
Уі = Ае{- 6+1)х+ Ве(- 6- і)х,
уг = А ( 1 + і) е(~ь+і)х+ В ( \ - і ) е{- 6~1)х,
где А, В — произвольные постоянные. Применив формулы Эйлера
eix = cos х + і sin X, е~іх =cos х— і sin х,
полученный интеграл запишем в тригонометрической форме. Окончательно имеем
Ух = е~йх (Сх cos д: + С2 sin *),
у.2 = е~Ъх[(Сх + С2) cos X + (С2 — Сх) sin х],
где Сі =А+В и С2= (А—В)і суть новые произвольные постоян ные.
3. Если характеристическое уравнение (28) будет иметь крат ные корни, то решение системы (25) будет более сложным, а именно: каждому корню уравнения (28) кратности k должно со ответствовать k линейно независимых решений системы (25), причем одно из этих решений будет иметь вид (29), а остальные, вообще говоря, будут содержать многочлен от х. Но в данном случае, в отличие от одного уравнения с постоянными коэффи
циентами, может случиться, что не одно, а несколько решений, соответствующих данному кратному корню, будут иметь вид (29).
Не излагая общей теории, рассмотрим решение линейной сис темы дифференциальных уравнений, характеристическое урав нение которой содержит кратные корни.
Пример 3. Решить систему
dÿt |
= Уг + Уз> |
|
|
dx |
|
||
4Уг |
Уі + Узь |
(35) |
|
dx |
|||
|
|
||
dÿ3 |
= Уі + Уг- |
|
|
dx |
|
Р е ш е н и е . Характеристическое уравнение будет
- X 1 1
1 — X 1 = 0 ,
1 1 - X
или А,3—ЗА,—2 = 0, откуда путем подбора находим
X, 2, Х2 = Х3 = — 1.
Частное решение системы (35) ищем в виде
Уг = Ті*іХ.ѵ Уг = Ъ е }х, Уз = Тзе'Л’>
где постоянные -уі, Уг. Уз определяем из системы линейных алгеораических уравнений
— М і + Тг + Тз — 0. |
|
Ті — Мг + Тз = 0, |
(36) |
7і + Тг — Ms = 0, |
|
При ?ч= 2 последняя система будет
— M i + Тг + Тз = 0,
Т і — 2 т г + Т з = 0 ,
Ті + Та — 2^з = О,
откуда, взяв любые два уравнения, например, nepèoe и второе, легко определим отношение неизвестных, например:
тогда имеем |
|
|
|
' '"ОД |
|
|
|
2 ki + k%-{- 1 — О, |
|||
|
1 |
Ä i - 2Ä, + |
1 = 0. |
||
Находим &i = /f2= l. или |
|
|
|
||
|
|
J h _ |
J a . _ |
j |
|
|
|
Та |
Тз |
|
|
отсюда |
jx = Тг ~ ТзСледовательно, |
|
|
||
|
у? '= С іе**, |
y\X)=Cxé-\ |
г/'1'== Сгеіх. |
||
При À2 = À3= —1 система уравнений |
(36) приводится к одно |
||||
му уравнению |
|
|
|
|
|
|
Тх + Тз + Тз = О |
|
|||
пли уз= |
— (71+V2), т. е., если уі = С2, у2=Сз. то у3 = — (С2+ С 3), |
||||
отсюда находим новые частные решения системы (35) : |
|||||
|
у ? = Сге~х) yf> = С3е - \ у.р = - (С2 + С3) е~х. |
||||
Таким образом, общий интеграл системы (35) будет |
|||||
|
Ух = |
Схе2х + С2е - Ѵ, |
|
||
|
Уг = |
і |
Сле~х. |
(37) |
|
|
І/а — Схв~"х |
(С2 -J- С*) б_Л |
Для того, чтобы убедиться, что полученное решение систе мы (35) является ее общим интегралом, необходимо показать, что частные решения этой системы, входящие в решение (37), ли нейно независимы или. как говорят, образуют фундаментальную систему. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что если частные решения образуют фундаментальную систему, то составленный из них определитель не равен нулю.
Действительно, для системы (35) имеем
е'1х |
е1* |
е1х |
1 1 |
1 |
е~х 0 |
— е~х = |
1 0 — 1 |
||
0 |
е~х |
— е~х |
0 1 - |
1 |
следовательно .найденные зависимости (37) являются общим ин тегралом системы (35).
4. Рассмотрим линейную неоднородную систему линейны дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такая система легко решается методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
Ограничимся рассмотрением неоднородной системы трех уравнений
4 |
СІцХ 4 |
а ііУ 4 |
«із2= |
Ѵ х - |
|
■ —jj^r 4 |
&21-X 4 |
ПціУ 4" a2S2= |
V2. |
(38) |
|
dz |
a3lx j- a3iy 4 - |
a33z = |
l / s. |
|
|
dé |
|
||||
|
|
|
|
|
где V], V% Уз — заданные функции от t\ х, у, z — функции от t, которые необходимо определить, и — постоянные.
Положив правые части данной неоднородной системы (38) равными нулю, получим соответствующую однородную систему
4“ Яц* 4- &\чУ 4- fluz = О,
' |
4 |
Я21Х 4 |
а22У 4 |
= О, |
~ |
4" азіх 4 |
^32У4 |
ßs3z — О, |
|
ее общий интеграл будет |
|
|
' ' |
|
|
X = |
С]Ад 4 |
С 2х2 4 - С 3ха, |
|
|
У = |
С-іУі 4“ С2у2 4- С3у$,. |
||
|
2 = |
4 jZy 4 |
С2 ^ 2 4 |
C3z3, |
где xlt у,, |
zI (i= 1, 2, 3) — функции |
от t, а Сь С2, С3 — произ |
вольные постоянные. |
неоднородной системы (38) |
|
Будем |
искать общий интеграл |
в виде (39), полагая, что Сь С2, С3 не произвольные постоянные, а некоторые функции от t, которые необходимо определить таким образом, чтобы система (39) была общим решением данной не однородной системы уравнений (38). Для этого из (39) найдем производные:
dx dt
dy ~dt
dz
~dt
—Cj
=c l
dx1
dé
dyx dt
dz1
dé
4 |
c 2 |
dx2 |
+ |
Сз |
dxg |
4 |
4 |
|
dC j |
|
dC2 , |
d C 3 |
|
|
dt |
dé |
1 |
dé |
+ |
x*4é ' + |
ХзЧ Г |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 |
C2 dy2 |
+ |
Сз |
dy3 |
4 |
Уі dCt |
, |
d C 2 |
+ |
Уз dC3 |
(40) |
|||
|
|
~dt |
|
|
dé |
|
|
|
dé |
+ |
y*~dé |
|
~dé’ |
|
|
|
dzn |
|
|
dz3 |
|
|
dCj |
, |
d C 2 |
|
d C3 |
|
|
4 |
~dï "Г |
Сз |
dé |
+ |
zi |
|
dé |
^ |
Za dé |
4 |
23 ~dé |
|
il подставим в систему (38). Первые три слагаемые в правых частях формул (40) имеют такой вид, как Сь С2, С3 постоянные, а так как х, у, г являются решениями однородной системы, то. подставив эти члены, получим нуль и для определения С|, С2. Сл будем иметь следующую систему уравнений:
|
dCx |
|
dC2 |
I |
у |
— у |
|
|
*1 dt |
+ xi Ж |
+ |
Л;1 dt |
|
|
|
||
|
dCx |
|
dC2 |
|
|
|
|
|
Уі |
dt |
4" У2 dt |
+ УлЖ |
^ Ѵ%’ |
|
(41) |
||
2« |
dCx |
4- |
dC2 |
I |
z |
—у |
|
|
dt |
Ж |
~r z s JJ. |
— к 3, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
dCy |
U,l>2сіС |
dCs |
имеем |
Решив эту систему относительно |
- ц - , Ж |
dt ' |
||||||
dCx |
|
|
dC% |
|
|
dC. |
|
|
dt = ?i(0 . |
|
dt |
|
|
|
|
|
где фі(0 , фг(0 »фз(0 — известные функции от і. Далее, беря квадратуры, находим
Сх = J 'fi (t) d t ~г Dx, C2 = J f 2 (t) dt -J- D2, 63 = J f 2 (t) dt -f D-j,
где DI, D2, D3 — постоянные интегрирования.
Подставив найденные значения Си С2, С3 в систему уравне ний (39), имеем общий интеграл заданной неоднородной систе мы (38).
Пример 4, Решить систему
^ = оуі -г 4у2 -{- X'2,
(42)
% = 4уг + 5Уі + X.
Р е ш е н ы е. Характеристическое уравнение будет
5 - >. 4
4 5 —X = 0 ,
или X2—10X4-9 = 0, откуда
X1= 1, Х2 = 9.
Частные решения ищем в виде
Уі = Ж х> У2 = Ж * .