Файл: Иваненко В.В. Основы линейной алгебры учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 28.06.2024

Просмотров: 123

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Кроме того, видим, что умножение определителей третьего по­ рядка выполняется по тому же правилу, что и умножение опре­ делителей второго порядка.

Таким образом, получаем следующее правило для умножения определителей.: для того, чтобы перемножить два определителя п-го порядка

 

а п

^12

• .

• ^Іл

 

 

 

 

 

 

*11

*12

•

• *1«

0 1

1

^22

•

 

 

 

 

 

D 2 =

*2І

*22

•

•

*2л

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а п1

а п2

■

• &пп

 

 

 

 

 

 

*л!

*«2

•

•

• *лл

надо элементы і-й горизонтали

определителя Dx умножить на

соответствующие

элементы j-ii

вертикали определителя D2 и

полученные произведения

сложить. Определитель

 

 

 

 

 

 

 

с 1і

^12

?

 

• С1л

 

 

 

 

 

 

 

 

D

=

С21

С22 •

*

■ С2л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СЛІ

 

 

•

•

■ Слл

 

 

 

 

где

си =

а н * п +

в-іФп +

 

. .

.

+ û i , A i >

 

 

 

 

C12— ап*іг +

аіФж +

•

•

•

~Ь й-иРпи

 

 

 

 

...................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cij — ацЬу +

аіФу +

•

•

•

+

аиРпj (г- У =

Ь

2, . . . , п)

и будет произведением определителей Dі и D2.

 

 

 

Пример. Найти произведение определителей

 

 

 

 

 

2 1 0

 

 

 

 

 

-

 

1

1

2

 

 

 

D1= - 1 1 2 ,

 

 

 

D 2 =

 

 

0

3 - 1

 

 

 

 

0 4 3

 

 

 

 

 

 

 

1 - 2

 

0

 

 

Р е ш е н и е . На основании установленного правила имеем:

D1-D2—

2-(—1)T1 -0+ 0 -1

2-1 + 1-3+ОТ—2)

2 -2+ Н - 1)+0

(—1)-(—1)-Ы-0+ 2-1

- Ы + 1 - 3 ^ 2 ( —2)

—1-2-Ы(—1)4-20

0 -(-1 )+ 4 '0 + 3 -1

0-1+4-3+3(—2)

0-2+4(—1)+3-0

2 5 3

3 - 2 - 3

3 6 - 4

Полученное произведение заданных определителей можно проверить так:

- 2 5 3

А - - 7 , А = - 5, А - А = 3 — 2 — 3 35 = — 7 - ( - 5 ) .

3 6 - 4

Задачи

Взадачах № 49—51 перемножить определители и проверить, как показано выше, полученный результат

49.

4

3

1

- 2

 

 

50.

 

3

 

2

5

— 2

3

4

 

1

3

- 3

2

 

 

 

—

1

 

3

6

- 1 - 3

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

—

1 2

2

1 - 1

 

 

 

 

 

51.

1

2

3

2

—

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

4

2

1 — 4

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

5

4

1

-

5 2

 

 

 

 

 

§ 9. Миноры. Алгебраические дополнения.

:

Некоторые методы вычисления определителей

'

1. О п р е д е л е и и е

I. Минором M;j элемента a,j

определи­

теля

а 12 .

. а ч .

 

 

 

а и

 

• Оіл

 

а 21

Û22 •

• а 2j •

 

. а 2„

 

£> =

&і2 •

. a tj .

.

 

(7)

а і1

• Я'Ш

 

«ПІ

а п2 ■

• a „ j .

•

• O'пп

 

называется такой новый определитель, который получается из определителя D вычеркиванием горизонтали и вертикали, прохо­ дящих через данный элемент.

Например, для того, чтобы найти минор Мг2 определителя

С ІЦ

С ІЦ

° 1 3

a i 4

Û 21

a -2 2

a

23

& 2 4

^ 3 1

a 32

а

з з & 34

a 41

^ 4 2

a 43

a 44

необходимо вычеркнуть, согласно определению, третью горизон­ таль и вторую вертикаль, так как элемент а32 стоит на пересече­ нии этих горизонтали и вертикали. Определитель, составленный из оставшихся элементов, будет искомый минор

 

a

n

a

\ 3

a

l4

 

 

 

Лі

а

2 І

a

23

CC-24

 

a

4 l

a

43

a

u

О п р е д е л е н и е

II.

Алгебраическим дополнением элемен­

та a,j

определителя

(7)

называется, минор Мц

этого элемента,

взятый со знаком (—1) ‘+ .

 

 

обозначать A tj; следо­

Алгебраическое дополнение принято

вательно,

Аи = ( - 1 ) і+Ш ѵ.

 

 

 

 

 

 

Например, алгебраическое дополнение элемента а32 опреде­

лителя D, который приведен выше, будет

 

 

 

 

 

 

 

 

<hi Яіз

аи

 

Лг = (— 1)Я+2Мзг =

— Маг =

аЦ (Ця &24 •

 

 

 

 

 

 

а И а іЗ

а іі

2.

Рассмотрим определитель третьего порядка

 

 

 

 

 

û a i

Q-yi <2із

 

 

 

 

А,

Д21

®аа ^23

 

 

алгебраические дополнения, например, элементов первой гори­ зонтали будут:

Л і =

^22 ®23

Alt —

& 21 ^23

A __ Û g l

^ 2 2

^32 ß-33

 

» ^ 1 3 —

 

 

 

° 3 3

а п

CI32

Легко непосредственно проверить, что выполняется следую­ щее равенство

А = діИ іі ~г

+ °із^із-

(8)

Аналогичное равенство справедливо и для определителя чет­ вертого порядка

&11 0-12 а13 ^14

&21 ^22 ^23 ^*24

д* =

# 3 1 ^32 ^ 3 3 #34

# 4 1 # 4 2 # 4 3 Û44

для которого имеем

■ Д і — О ц А ц + Ді 2-<4 і 2 + а13^13 + ß14^ 1i-

(9 )

Формулы (8) и (9) дают разложение определителя соответ­ ственно третьего и четвертого порядков по элементам первой горизонтали. Очевидно, что аналогичное разложение можно вы­ полнить по элементам любой горизонтали или вертикали. Таким образом, приходим к теореме.

Т е о р е м а I. Определитель п-го порядка

Яц Æ]2 .

■аѵ

•öln

°22 •

• #2 •

• a2n

 

гJ

 

аа аіг.. .Cly .. ■ain

а„і О'пі ■■■anj ■■■&ПП

всегда равен сумме произведений элементов какой-либо горизон­ тали (вертикали) на их алгебраические ддполнения, т. е.

D = ааАц +

+ ... + сіуАу + ... +

аілА/л,

(11)

 

і — 1, 2

, , п.

 

На основании этой теоремы можно определитель высшего по­ рядка представить в виде алгебраической суммы определителей низшего порядка. Применяя эту теорему последовательно не­ сколько раз, вычисление данного определителя высшего порядка всегда можно привести к вычислению определителей третьего пли второго порядка, которые, как известно (§ 5, 6), находим непо­ средственно.

Установленная

теорема является обобщением следующей

теоремы.

'

■

'

Т е о р е м а II. Если в определителе п-го порядка (10) все элементы і-й • горизонтали (у-й вертикали), кроме ау, равны нулю, то такой определитель равен произведению элемента atJ на его алгёбраическое дополнение. . 1

Смотрите также файлы