Файл: Данцис Я.Б. Методы электротехнических расчетов руднотермических печей.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 190

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Разобьем

второй интеграл на два

интеграла, получим

 

 

 

 

Ф,—ft,

 

 

cos О de

 

 

4я

'

cos6

dB

(3-65)

 

1

 

 

J Я(Ѳ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Положим

во втором

интеграле в квадратных

скобках

О"

— Ѳ, тогда

M

4л

q>5—!>,

cos (•)

dö

cose"

dB"

 

 

 

# ( ü )

 

J Я(Ѳ")

 

 

 

 

Ü

 

 

0

 

 

4л

4л .1

где

i ^ J L d o -

f

^ i l de - f І'

dB-

Я (ö)

 

J

Я (Ѳ)

^ J «

(Ѳ")

Ü

 

 

ф2 —»,

о

 

cos Ѳ

de —

 

cosO

d o . b f ' œ s 9 _ r f e

 

 

~R~(B)

 

Я(Ѳ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

4л

 

 

 

 

 

Ф,

if,

 

 

 

 

fi = f da, fi '

cos Ѳ d0,

 

 

 

.)

Я(Ѳ)

 

 

 

u

о

 

 

 

 

 

 

dttj

j

cos Ѳ de,

J

 

о

Фа—ft,

Я(Ѳ)

 

 

(3-66)

(3-67)

Ф, 'к

,cos Ѳ

1 1 Л (Ѳ)

оо

Рассмотрим сначала интеграл 11. Так как внутренний интеграл от », не зависит, можно записать:

 

 

 

 

я

 

ір,

 

Фа

 

 

2 ~2

2 2~

 

f

cosOdG

 

f

cos 2»

/ і = ф 0 ^ ( Г =

2 ф 2

J

^ ) d » '

где я — Ѳ = 2a, откуда

Ѳ =

л — 2ft, dB = — 2d».

Используя соотношение

cos 2» — 1' — sin 2 »,

получим

 

 

 

 

2 s i n 8 » — ;

Ii

= 2 Ф і

 

R (2»)

•da =

 

 

я

фа

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2~"

 

 

 

95

 

 

 

 

2ф

 

 

 

 

 

 

2 sin2

Я — 1

 

(3-68)

 

 

 

Г ' ( * i +

Я » ) 2 +

A2

J

 

I

1 — fe2 sin2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"2

 

2~

 

 

 

 

 

 

Последнее

 

выражение

получено

 

так

же, как в (3-9) при

выводе формулы

Максвелла для

взаимной

индуктивности

круговых

колец,

а

именно:

 

 

 

7? (2») =

}/'

R2

+

 

—

27?i/?2 cos

2» +

h2

=

 

 

 

 

= У R2

+ R22-2RlR2{l-2sin2ü)

 

 

 

+

h2

=

 

 

 

 

= V{Ri

+

Я2 ) 2

+ Л2

• і Л

— й2

sin2 »,

 

 

где k2

ад2

,

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ (Ri +

Я 2 ) 2

+ ft2

= •

 

 

 

 

 

(3-69)

Следовательно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л

=

2 фі

 

 

 

 

 

 

2 s i n 2 » — 1

:d»-

 

 

 

 

 

 

 

,

Y\

— k2

 

 

 

 

 

 

+ Я 2 ) 2

+

Л2

sin 2 »

 

 

 

 

 

 

 

2 sin2

» -

.d»

 

 

 

 

(3-70)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

1 — k2

sin 2 »

 

 

 

 

 

Используя

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

sin2 л;

 

dx =

 

F (x,

k)

 

 

E

(X,

k),

 

 

 

 

 

=

 

 

k2

 

 

J I 1 — £ 2 s i n 2 x

 

 

№

 

 

 

 

 

 

 

где F и £ — неполные эллиптические интегралы первого и второго рода, и учи­ тывая (3-69), получим после преобразований:

1і=-

Фі

V RiR»

(3-71)

Рассмотрим далее интеграл

Фа cos Ѳ de. « ( Ѳ )

96

Интегрируя по частям и вводя обозначения

Фа

 

 

Фа— »1

c

° s 9

, А

Г

cos9 ,„

U =

 

 

 

 

Фа—*i

 

 

Фа

получим

 

 

 

 

,

 

cos((p2

— ЪЛ

,„

^?(Ф2-»І)

Окончательно

^2 = Фі

c o s 9 _ d e _

Я(Ѳ)

J

 

 

фа—ф,

О

^ c o s ^ - f t , )

(3-72)

Я ( Ф » - » і )

или / 2 = / 2 — / 2 >

где / 2

== ф[

cos Ѳ dO,

 

 

 

 

 

 

 

Фз—Фі

 

 

 

 

 

 

/ 2 =

Г » І « » ( Ф , - Л )

D K

 

 

 

 

 

 

я ( Ф 2 - » 1 )

 

 

 

Рассмотрим

интеграл

 

 

 

 

 

 

 

Фа

 

 

 

Фа

Фа—Фі

 

 

Г cosO

,„

|" COS Ѳ rfß _ Г coseO

de

 

 

 

 

 

* ( Ѳ )

 

(Ѳ)

 

Фа—Фі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

о

 

 

 

 

 

фа

 

Фа—Фі

 

 

 

 

 

 

,

COS Ѳ

Г COS Ѳ

de.

 

 

=

Фі

\

^гтхг rfe

— Фі

Я( Ѳ)

 

 

 

 

 

 

 

о

 

о

 

 

 

Аналогично предыдущему

' ^ ( Ѳ )

К а д

" i f

• * - f r f & - '

 

фа—ф,

 

 

 

Фі

cos Ѳ de =

(( * *

 

 

 

VrJT,

2 / 1 2

/

 

 

 

+

7 Я- Б. Д а н ц и с

97

Следовательно,

 

/' _ Фі

+

 

(3-73)

Рассмотрим далее интеграл / 2 и сделаем замену переменных ср2 — ф[ = Ѳ. Тогда

 

 

Ф а — ф .

/ ; = i » І « * ( Ф , - » І )

_

(ф2 — Ѳ) cos ѲdQ =

R ( Ф Я - » І )

 

Т ( Ѳ )

 

 

Фа

 

 

Фа

cos Ѳ

 

ѲсоэѲ

 

 

(3-74)

J «(Ѳ )

 

Я(Ѳ)

Ф а — Ф .

 

Ф а — Ф і

Следовательно,

/ 2 — / 2 — / 2 —

f j " — Фг + Фі t k

 

•Fl Л - ф 2 ,k

2

Фа

_ £ ( я - Ф , + Фі fe

e_cos_e de.

(3-75)

К(Ѳ)

 

Ч > з - Ф і

Найдем

последний

интеграл в данном выражении, использовав подстановку

- Ѳ =

29,

тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я—фа

 

 

 

 

ф 2

 

 

 

 

 

 

 

 

Г 6 c o s 9 d e _ 2

 

Г

 

( я - 2 » )

cos 2&

 

)

"(9 )

J

YR2l

+

 

Rl-2RlR2cos(n-2b)+h2

 

Ф а — ф і

 

 

Я — ф д + ф і

 

 

 

 

 

 

Я фд

 

 

 

 

Я — ф з

 

кл

 

 

 

cos 2»

,0

2k

» cos 2»

: d».

VR1R2

 

 

 

aw •

 

Vi — k* sin2 a

Vi—

 

& sin2 »

 

VRtR2

 

 

 

Я — ф з + ф і

 

 

 

 

Я—фа + ф і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3-76)

98

Первый интеграл выражения (3-76) может быть преобразован следующим образом:

л—фа

VRXR2

 

cos2&

,.'

я

 

 

 

F

( л - Ъ

+ Ъ г Л

і Л - - £ 2

 

VRXR2

 

 

 

 

 

Я — ф 2

+ ф і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

\

2

, k

(3-77)

 

 

 

 

 

 

Преобразуем второй интеграл

выражения

(3-76)

 

 

 

 

я—ф2

 

 

 

 

я—ф,

 

 

 

2k

2

& COS 2»

 

2k

 

2

 

— 2 s i n 2 8 )

 

 

 

 

 

VRiRI

У

1 — Psinn

VRiR2

 

 

Vi—

sin 2

Л — ф а + Ф і

 

 

 

 

 

Я—фа + ф ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Я — ф а

 

 

 

Л — ф а

 

 

 

 

2k

2

 

 

 

2

 

 

(1 —ft»sin2

&)] » „

 

W

, 2

('

[ — 1 +

VR^R*

 

— r

 

І

I

 

r

 

 

UV

Л — ф а + ф і

V \ —

fe2sin2& * a Я — ф а + Ф і

F

1 - й 2

s i n 2 Ь

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л — ф а

 

 

 

 

 

 

У ад

k —

* У

1

Т Л — £ 2 s i n 2 i

 

 

 

 

 

 

 

 

Я — ф а + ф і

 

 

 

 

 

 

 

 

Я—фа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bV\

— £ 2 s i n 2 & d »

 

 

 

 

 

Я — Ф а + Ф і

 

 

 

 

 

 

Окончательно получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

' • - ^ { ( т - М * ^ - » ) - ' ^ - » +

 

 

£ | " - Ф 2

, ^ _ £

( " - Ф 2

+ Фх , f

e | | K

 

99

Смотрите также файлы