Файл: Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 207

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ж е и н я скрытых периодичностей не только в случайных, но и в

детерминированных

процессах.

П р и некратности

Т0 и т,„. могут появляться отрицательные

значения 5(со), которые сглаживаются весовыми функциями,

формирующими в

результате

с г л а ж и в а н и я

боковые полосы

око­

ло несущей частоты. Вследствие этого э ф ф е к т и в н а я ширина

ДсоЭч>

спектра

конечного

отрезка

синусоиды составляет 4Дсо(ДсоЭ ф=

= 4 Д с о ) ,

т. с. различные

по

частоте

периодические

колебания

полностью разделяются,

если

частоты

этих

колебаний

отличают­

ся на величину 4Дсо. В противном случае

происходит

частичное

пли полное слияние нескольких максимумов в один, и ф о р м а л ь ­

ная трактовка результатов анализа может привести к

ошибоч­

ным выводам . Д л я иллюстрации рассмотрим следующий

пример.

Имеется ря д ежесуточных наблюдений на д процессом, кото­ рый, ка к предполагается, содержит месячные и полумесячные

правильные периодические

колебания .

Число

членов

р я д а

N=300,

дискретность

наблюдений

At=l

суткам.

Н а з н а ч и в чис-

ло сдвигов хт=

=

15, получим

дискретность

эмпирического

спектра

со = 0 , 2 1

рад/сутки.

Очевидно,

что при

т а к о м

Дсо не­

возможно отличить максимум спектра, соответствующий

частоте

месячного колебания со = 0,21 рад/сутки,

от максимума на часто­

те полумесячной

гармоники

ю = 0 , 4 2

рад/сутки.

Результаты

спектрального анализа синусоидальных колебаний при различ ­ ных значениях параметров расчета свидетельствуют о достаточ­ ной точности определения амплитуд гармонических колебаний по реализации ограниченной длительности.

Д а л е к о не всегда справедливо априорное предположение, чтомаксимум спектральной плотности обязательно соответствует периодическому колебанию . Существуют классы случайных про­

цессов, т а к ж е имеющих спектр

с островершииным максимумом

и с шириной основания, равной Дсо0ф детерминированного

перио­

дического колебания. П о э т о м у

однозначная трактовка

спект­

ральной плотности весьма затруднена . К тому ж е рассмотренные способы не позволяют выделить периодическую компоненту и г реализации процесса, та к как ни функция автокорреляции, ни функция спектральной плотности не содержат данных о началь ­ ной фазе колебания . Более полная информация может бытьполучена путем взаимноспектрального анализа исследуемой реа­

лизации

с реализацией

гармонических колебаний, п а р а м е т р ы

которых

з а д а н ы (Губер,

1972).

Когерентность двух гармонических колебаний одинаковогопериода равняется единице. В самом деле, дл я периодических, процессов (.Краусс, 1968)

x(t) —As. cos(coc^+icpi),

г/(^)з=Л2 со5(сос^+!ф2 )

(1.10)

117

в з а и м н о к о р р е л я ц и о н н ая функция имеет вид

Rxy ( t ) = А ^ 2 COS [СООТ-Ь (ф2—ф1) ] ,

.(1.11)

Rxy {—f)

= # i / » : ( t )

=

- ^ ^ 2

COS [COOT— (ф2—фД') ] .

 

Четна я и нечетная часть этой функции

находится к а к

 

 

Rxy(x)+Ryx(x)

 

_

AiA2

[COS Mot • COS (ф2—(pi)

] ,

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rxy{x)—Ryx{x)

 

 

Л ( Л 2

[sin coot • sin (Ф2—Ф1)].

(1.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

(Выполняя

косинус-

и

синуспреобразование

Фурье

в ы р а ж е ­

ний (1.12), получим составляющие

взаимного спектра:

 

коспектр

и квадратурный

спектр

 

 

 

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Со (а)

=

A LA* cos (фа—фО j *

cos coot-cos

mdx —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\

sin

(mo—со) 7"

sin (соо+со) Г

]

= Л 1

Л 2 cos

(ср2—Ф1)

 

— х - .

г

1

к~.

i—ч

 

'

 

 

 

 

 

L

2 (со0—со)

 

2(со0 -Ьсо)

 

J

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

Q(co)

= — Л И о э т ^ ф о — Ф 1 )

j "

sin co0 t-sin

шйх=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

л

я

.

,

 

ч Г

sin (соо—>со) 7"

sin

(соо+со) Г "]

=

—А\Ач

5 1 п ( ф 2 — Ф 1 ) I

— —

 

г

 

7Г,

; — г — I

 

 

-

 

™-

w

1

2(со 0 - со)

2 (соо+со)

J

 

 

 

AizT

 

 

AS-T

выражени е д л я

когерент-

и при 5 к ( с о ; ) = — ^ — ;

Sy(cui) = - ^ г —

jit

Zj

ности на общей

частоте

 

yCo^i)+Q4m) =

 

 

b (он)г

= •

 

 

 

УЗ^СОг) У 5 „ ( с 0 г )

 

=

y s i n 2

(ф2 — ф1 ) + С 0 5 2 (ф2—Ф1) = 1 .

(1-13)

Если выполнить взаимноспектральный анализ

натурной реа­

л и з а ц и и , включающей периодическую составляющую, с реализа ­

цией

гармонического

колебания той

ж е частоты (тестом), то

д о л ж н ы получить

значение когерентности на этой частоте,, близ­

кое к

единице. Ч е м меньше будет величина когерентности, тем

менее

устойчива

ф а з а

исследуемого

колебания . Этим способом

1 1 8

м о ж но определить т а к ж е фазу периодической составляющей от­ носительно заданной ф а з ы тестовой гармоники . П о известной, формуле взаимноспектралвпого анализа находим разность фаз;

Фп—ф

=в(со;) =arctg-

Q ( C 0 i )

(1.14)

Co(cOi)

г

 

 

 

где ф п — начальная ф а з а

составляющей

процесса, ф г — заданная-

н а ч а л ь н а я ф а з а тестовой

гармоники.

 

 

Обычно спектр океанологических процессов имеет несколькомаксимумов, поэтому анализ с отдельными тестовыми гармони­ к а м и связан с большим числом повторяющихся вычислений. Что ­ бы сократить эти вычисления, м о ж н о использовать тест, пред­ ставляющий сумму большого числа косинусоид с одинаковыми

амплитудами, начальными

ф а з а м и и частотами, отличающимися-,

на величину

дискретности

эмпирического спектра. Ка к п о к а з а л и

результаты

экспериментальных вычислений, м а к с и м а л ь н а я вели­

чина когерентности м е ж д у суммой гармоник и отдельной гармо ­

никой

на

фиксированной

частоте

не превышает

0,6—0,7 (см.

рис.

14),

что

связано с

погрешностями

расчета

ограниченных.

S(ui}

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

500

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

400

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

300

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

200

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

Г(ш)|

100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,8 -

80

 

 

\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОМ- Щ

 

/

Л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ л

/ /

А

 

 

 

 

 

 

 

 

•

о

 

 

V

 

 

 

 

-«-Л-.+Г'1 '

 

ID,

рад/сутки.

 

0,2

0,4

0,6

0,8

\0

1,2

7,4

7.5

i

I I

-2Q

 

1,8

2,0

 

 

 

Рис. 14. Функции спектральной плотности «суммарного теста» (1), отдельной тестовой гармоники с со=0,35 рад/сутки (2) и когерентность «суммарного теста» и гармоники (3)

реализаций . Тем не менее применение подобного «суммарноготеста» полезно при исследовании регулярности колебаний вовсей частотной области спектра.

§ 2. Модулированные периодические процессы

Часто подходящей моделью дл я океанологических процессовможет быть модель с фазовой, амплитудной или частотной моду­ ляцией периодических колебаний

119-

x(t)=A{t)

c o s { [ c o 0 ( 0 ] ^ + c p « } ,

(2.1)

представляющей собой медленное отклонение по амплитуде, фа ­ зе или частоте от косинусоидального процесса.

Н а г л я д н ы м и примерами такой модуляции могут быть изме­ нения амплитуд полусуточных и суточных приливных колебаний уровня, связанные с неравенствами приливообразующих сил Лу ­ ны и Солнца, изменения ф а з ы сезонных процессов в море, обу­ словленные межгодовой изменчивостью элементов теплового баланса, или случайные изменения суточного хода температуры воды на поверхности моря вследствие экранирующего влияния облачности.

Модулированные колебания — это

нестационарный

процесс,

п р и н а д л е ж а щ и й ко второй группе (см. § 1, гл. 1), для

которого

м о ж е т быть определена спектральная

плотность мощности.

•Рассмотрим некоторые модели модулированных .колебаний.

1.

Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t)=A{t)

coscoof,

(2.2)

где A(t)—случайный

 

стационарный

процесс с корреляционной

функцией RA{T),

тогда, как нетрудно

показать,

 

 

 

Rx(r)

= А\Д(Т) COS GJoT.

 

Если,

например,

RA(т)

=

с т 2 е - а 1 т | , то спектральная

плотность

мощности процесса x(t)

может быть записана в виде

 

4 л [ а г + ( с о — м о ) 2 ]

Таким образом, спектральная плотность мощности гармони­ ческого колебания, модулированного по амплитуде стационар­ ным случайным процессом с затухающей по экспоненте корреля ­ ционной функцией, представляет собой резонансную кривую с несущими частотами со = оз0 и боковыми полосами, р а в н ы м и а-'. П р е д п о л о ж е н и е о том, что автокорреляционная функция A (t) экспоненциальна, является достаточно общим дл я широкого класса океанологических процессов.

2. Некоторый класс волнообразных движений в океане может •быть приближенно описан экспоненциально затухающей гармо­ никой (например, затухание инерционных течений или длинных волн на поверхности моря)

1 Для объяснения природы боковых полос в спектрах океанологических 'процессов целесообразно применять методы демодуляции (G: anger, Halanaka, 1964; Привальский, 1968а). На специфических вопросах методики амплитудной

.демодуляции в рамках этой книги мы останавливаться не будем.

120

Смотрите также файлы