Файл: Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 238

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

чегшя через одинаковые промежутки времени, называемые ос­ новным периодом Т полигармонического процесса

x(t)=x.(t±nl).

(1.2)

Полигармонические

процессы

могут

быть

представлены в

виде

р я д а

Фурье

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t)=

 

- у -

+

' Z

А п c o s

(п®о*~Фп),

 

 

(1-3)

 

 

 

1

 

.1=1

 

 

 

 

 

 

 

 

2л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

соо~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:arctg

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Г

 

 

 

 

n = 0 ,

1,

2,

3,

 

 

 

с п = - у -

J

х-(0 cos

n&otdt,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bn=~Y~

j

x(t)

sin

n®0tdt,

 

n = \ ,

2,

3,

• • • •

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, полигармонические процессы содержат по-

стоянную компоненту —^— и сумму гармоник с частотами,

крат ­

ными основной частоте сое, постоянными амплитудами Ап

и на­

чальными ф а з а м и

ф„.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Распределение

амплитуд

отдельных гармоник по

частотам з

полигармонических

процессах

представляет

собой

дискретный

эквидистантный спектр, т. е. спектральные линии расположены на одинаковых расстояниях друг от друга. Хотя, согласно теоре­ ме Фурье, все периодические процессы могут быть представлены в виде ряда Фурье, и океанологические процессы часто достаточ­ но хорошо аппроксимируются сравнительно ограниченным чис­ лом гармоник, для физического исследования такое представле ­ ние может оказаться недостаточным. Реальный спектр иногда формируется под влиянием сил с вполне определенными некрат­ ными частотами. В этом случае формальное р а з л о ж е н и е в ряд Фурье может исказить реальную физическую картину. Напри ­ мер, если колебания уровня моря определяются полугодовым солнечным приливом и 14-месячными нутационными колебания ­ ми полюса Земли, то взяв за основной период 7*= 14 месяцев, мы заведомо в разложении Фурье не получим полугодовые ко­ лебания .

Процессы, представляющие собой сумму гармоник с некрат­ ными частотами, не являются периодическими, так как не удов­ летворяют соотношению (1.2) при любых конечных значениях Т.

Т а к и е процессы обычно называют квазипериодическими. Ампли­ тудный спектр этих процессов, та к ж е как периодических про­ цессов, дискретный, но в отличие от них не эквидистантный, т. е. спектральные линии расположены не на одинаковых расстояниях друг от друга. В реальных процессах периодичность или квази­

периодичность

чаще

всего проявляется

только в

среднем.

Это

с в я з а н о

с тем,

что

амплитуда и ф а з а

отдельных

гармоник

не

остаются

постоянными.

 

 

 

Физические механизмы, определяющие изменчивость ампли­ туд и фа з крупномасштабных океанологических процессов, мо­ гут быть самыми разнообразными . Например, изменение внеш­ них условий, неоднородность среды, в которой распространяются возмущения (рельеф дна, горизонтальная и вертикальная стра­ тификация водных м а с с ) , динамическая неустойчивость длинных воли и т. д. В связи со сложностью и многообразием этих усло­ вий нередко целесообразно представлять океанологические яв ­

ления

в виде

гармонических

процессов со случайными амплиту­

д а м и

или

ф а з а м и .

 

 

 

 

 

 

В том случае, когда в

(1.1) н а ч а л ь н а я фаза равномерно

рас ­

пределена

в

интервале

(0,2я),

x(t)

представляет

собой

слу­

чайный стационарный и эргодический

процесс. Когда А случай­

ная величина,

не з а в и с я щ а я

от <р, процесс стационарный, по не

эргодический

(если при этом А имеет

распределение

Р э л е я ,

про­

ц е с с — гауссовский) (Корн, Корн,

1968).

 

 

Подобные

стохастические

модели

разработаны,

например,

д л я интерпретации ветрового волнения (Крылов, 1966, Глуховской, 1966) и успешно применяются дл я расчета и прогноза это­ го явления. Часто удобно считать, что (1.1) и (1.-3) при постоян­

ных А и ф представляют

собой просто реализацию стационарного

случайного процесса (Беидат, 1965).

 

В любом случае, является ли периодический или квазиперно-

дический процесс

регулярным или случайным, в а ж н о

то, что все

они имеют конечную

мощность,

т. е. 'принадлежат

ко второму

классу процессов

(см. § 1, гл. 1)

и, следовательно,

могут быть

описаны с помощью автокорреляционной функции или функции

спектральной

плотности.

 

 

Автокорреляционная функция процесса (1.1) будет иметь вид

 

Rx (т) =

Аг

 

 

cos coot.

(1.4)

Очевидно, что, когда процесс состоит из N независимых

гармо ­

ник, его автокорреляционная

функция примет вид

 

 

#* м = 4 ~

' 2 A I C ° S СО«Г-

(1 -5)

•Формулы (1.4)

и (1.5) справедливы д л я гармонических

колеба ­

ний бесконечной длительности, оценка автокорреляционной

функ­

ции гармоники конечной длительности имеет вид

 

8 Зак . 11821

и з

R*(x) =

- = -

J sin coo/-sincoo(^+T)rf/==

 

= —— cos

со0т

— COS(CO 0 7 , - J - COT) sincoDr.

(1.6)

I

 

1 coo

 

При Г—>oo(1.6) трансформируется в (1.4). Заметим, что, если предел интегрирования Т выбран «ратным периоду несущего ко-

лебаыия Т=

—:— п=\, 2,

3, • • • . то

sinco7= 0 и (1.6) т а к ж е

 

too

 

 

переходит в

(1.4).

 

 

Взаимнокорреляционная

функция

двух тюлигармоиических

процессов содержит общие частоты исходных процессов, но в от­ личие от автокорреляционной функции существенно зависит от начальных фаз

JV

 

Rxy(t) =-^-'2 АхпАуп COS [й)п^+(фя:п—'фип)].

(1-7)

11

Взависимости от того, являются ли процессы эргодическими, (1,5) характеризует либо связь отдельных реализаций, либо про­

цессов в целом.

Как у ж е говорилось, функция взаимной корреляции более информативна, чем функция автокорреляции в том смысле, что

она дает

дополнительные

сведения

о ф а з а х

и в более «чистом»

виде,

чем

автокорреляция, выделяет периодические колебания .

Пусть

s(t)

есть периодическая компонента, a r ( t ) — шумовая

компонента процесса

x(t).

Функция

автокорреляции смешанного

процесса

x(t)=s(t)-\-r(t)

 

есть

 

 

 

 

 

 

 

 

СО

 

 

 

 

 

 

Rx(x)=

Hm - ^rJ

 

 

[s(t)+r(t)][s(t+t)+r(t+x)]dt=

 

 

 

Т-^со

—со

 

 

 

 

 

 

 

 

= Rss (т) +R„(x)

+Rer

(т) +R,-s

(т).

 

Если периодическая компонента

и

шум

статистически

неза­

висимы,

то R.^(x) =Rrs(х)

= 0.

Функция автокорреляции

Rrr(x)

шумовой

компоненты

при

возрастании

(х)

д о л ж н а стремиться

к нулю. Таким образом, при достаточно большом сдвиге х авто­

корреляционная функция периодической компоненты

появляется

в «чистом

виде». Затухание Rrr(x)

является

особенно

быстрым,

если в исследуемом диапазоне частот ш у м о в а я компонента

близ­

ка к «белому шуму» (широкополосные помехи) .

 

 

Функция взаимной корреляции процессов x.(t)—s(t)-\-'r(t)

и

y(t)=s(t)-\-r'(t),

содержащи х одинаковые

периодические

ком­

поненты, может быть представлена

в виде:

 

 

 

114

Rxy{r)

= lim - ^ - J

[S(t)+r(t)][s(t+t)+r'(t+r)]dt=

 

T-voo

-co

 

 

= Rss(x)

+Rsr'

( T ) + £ „ ( t ) + # „ • ' ( T ) ,

где индексы при R означают корреляцию отдельных компонент анализируемых процессов. Если периодические и шумовые ком­ поненты, т а к ж е к а к и шумовые компоненты обоих процессов, некоррелированы, т. е. Rsr=Rsr'=Rrr—0, то во взаимной кор­ реляционной функции периодическая компонента проявляется

вчистом виде.

Пр и анализе океанологических процессов функция автокор - ' реляции часто не дает указаний на присутствие в процессах пе­ риодических компонент, тогда как по функции взаимной корре­ ляции этих процессов периодические компоненты отчетливо выделяются . Пример такого рода приведен на графика х рис. 13,

Рис. 13. Функции автокорреляции флуктуации глубины залегания термо­ клина (а) и функции их взаимной корреляции (б)

где показаны функции автокорреляции Ri(x) и Rz(x) флуктуа ­ ции глубины залегания термоклина в северо-западной части Ти­

хого океана

дл я пунктов

№

1 и 2

(вычисленные из реализаций

366

членов,

с дискретностью

1 сутки

при максимальном

сдвиге

60

суток; расстояние м е ж д у

пунктами

равно-60 м и л я м ) . Н а этом

ж е

рисунке

приведена

функция

взаимной корреляции

R\%{x)

флуктуации глубины залегания термоклина в пунктах 1 и 2.

Сравнение Ri(x) и Ri(x)

с R\2,{x) наглядно иллюстрирует преиму-

8*

115

щества взаимной корреляции д л я выделения скрытых периодичностей.

Спектральная плотность мощности гармонического колебания бесконечной длительности представляет собой спектральную ли­

нию

бесконечной

высоты на

несущей частоте со = too

 

 

 

Л 2

 

 

 

5 (со) =

—— [6 (со—-СОо) J,

 

где

б (со—соо) — д е л ь т а - ф у н к ц и я Д и р а к а . Так к а к

практически

всегда оперируют

с ограниченными реализациями,

предполагая,

что их значения за пределами исследуемого интервала от 0 до Г тождественно равны нулю, спектр гармонического колебания представляет собой не линию бесконечной высоты, а ограничен­

ный

пик на несущей

частоте. Действительно, косинус-преобразо­

вание Фурье

автокорреляционной

функции (1.4)

гармонического

процесса приводит к следующему выражению

д л я

функции

спектральной

плотности:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S* (со) =

1

Г

R(т)cos

mdx

=

 

Л 2

г

 

 

axdx=

 

 

— J

—— J cos соат cos

 

 

 

 

л

о

 

 

 

 

 

2

л

 

о

 

 

 

 

 

 

 

Л 2

Г

sin(co0—со)-Cm

|,

sin(co0 -fto)-tO T

"I

 

 

 

 

 

4л.

L

 

 

со0—о)

 

 

1

 

con+co

-*

 

 

 

П о л а г а я со =

соо

и

р а с к р ы в а я неопределенность

первого

слагае ­

мого по правилу Л о п и т а л я , получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,.

с

 

ч

=

А2

(

+

, sin2co0Tm. \

 

 

 

 

 

 

hmS(«>)

 

 

— (

x m

 

 

 

) •

 

 

 

 

Заметим, что если хт

 

выбрано

кратным периоду несущего ко­

лебания 7 о = / г - ^ -

или вообще т = п — — , то спектральная

плот-

 

 

СОо

 

 

 

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

ность на всех частотах, кроме несущей, равна

нулю,

а

на

несу­

щей

частоте

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 ( w o

) =

=

^ L .

 

 

 

 

( l l . 9 )

Т а к к а к т т . часто

выбирают

равным максимальному

сдвигу

автокорреляционной

функции,

то

 

—— = Д с о

—

дискретность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Хт

 

 

 

 

 

спектра. Тогда Л2 =45(соо)Асо,

т. е. представляется

возможным

оценить амплитуду гармонического колебания по спектру про­ цесса ограниченной длительности. П р и сглаживании эмпириче­

ского спектра

весовой

функцией Хэмминга

эта зависимость име­

ет вид A2=SS(соо)Дсо.

Таким образом, спектральный анализ к а к

обобщенный

гармонический анализ может

служить д л я обнару-

11G

Смотрите также файлы