Файл: Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 209

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

рез передаточные функции спектральной плотности процессов входа-выхода следующим образом:

=1 Я 1 ( < о ) 5 , ( с о ) + Я ( с о ) ^ Л , с о ) 1 1

l v

Sn(co)ST O (co)

 

v

" v

5 2 2 ( с й ) 5 т о ( с о )

 

 

причем ^ y ( c o )

и /^'(co) могут быть, а могут

и не быть

р а в н ы

единице. В частном случае некоррелированных

процессов

на вхо­

де ( 5 1 2 . ( с о ) = 0 , F ^ ( M ) = 0 ) (5 . 41) и (5 . 42) принимает вид

г

, х

 

1 ^ ( 0 0 ) 1 ^ ( 0 )

 

 

U J

 

I/^i(со)

12 5ц(со) + 1 / / 2 ( с о ) | ^ ( о > )

'

Р

( о

) -

 

| Я 2 ( с о ) | ^ 2 2 ( с о )

 

 

2 г Л

'

|Я1| ( « ) | 2 5 п ( с о ) - г - | Я 2 ( с о ) р 5 2 Й ( с о )

'

причем Z7 2 '(со) и F?h/ (со) могут быть меньше единицы.

Обобщение

(5 . 38) д л я

случая N процессов на

входе

уравнением

 

 

 

 

 

l ° '

;

( 5

4 4 )

1

'

дается

#i'(co) = —

— - -

( 5 . 4 5 )

•->11.23-Л" \и>)

 

Д л я

линейной

системы с множеством

некоррелированных

входных

процессов

Xi(t)

оценка

передаточной

функции

м е ж д у

л ю б ы м из входных процессов и процессом на выходе

может быть

получена

из уравнения

 

 

 

 

 

 

 

^ i ( < D ) =

- f r f ' »

= l . 2,

 

 

 

(5 . 46)

П о форме это уравнение идентично уравнению

(5.32)

д л я

случая

одиночных процессов на входе

и выходе,

т. е. с точки

зрения

оценки передаточных функций, случай множественных некоге­ рентных процессов на входе является идентичным случаю оди­ ночных процессов.

П р и практическом вычислении передаточных функций, к а к и при вычислении статистических характеристик, получаются не истинные их значения, а оценки. Д л я получения несмещенных оценок передаточных функций необходимо выполнение следую­

щих условий (Бендат, Пирсол, 1

9 7 1 ) : 1) система

на участке меж ­

ду точками различных входов и точкой выхода

является линей­

ной системой с постоянными п а р а м е т р а м и ;

й)

оценки S,-(co) и

•Sfj(co) являются несмещенными,

3) процессы

на

входе свободны

108-

от шума; 4) учитываются все входные процессы, которые фор­ мируют процесс на выходе.

Модели многих океанологических процессов достаточно хо­ рошо удовлетворяют первому условию. Второе условие выполня­

ется

в том

случае, когда оценки спектральной плотности получе­

ны путем

«правильно разрешенного»

узкополосного разложения,

т. е.,

если

«спектральное окно» достаточно узко,

чтобы опреде­

лить

к а ж д ы й из пиков спектральной

плотности,

который пред­

ставляет интерес дл я исследования.

Выполнение третьего и четвертого условий в случае коррели­ рованных процессов на входе системы можн о оценить по функ­ ции множественной когерентности. М о ж н о утверждать, что сме­

щение за

счет неучтенных процессов на входе и (или) неучтенно­

го шума

будет уменьшаться

по мере того, к а к функция

множест ­

венной когерентности Fzyx(o3)

м е ж д у процессом на выходе

y{t)

и

процессами на

входе Xi(t)

приближается к единице

(см. §

4,

гл.

I I ) . Вообще

если все процессы, ф о р м и р у ю щ и е y{t),

учтены

и все они свободны от шум а и образуют линейные системы с по­ стоянными п а р а м е т р а м и , то Fzyx(со) = 1. Таким образом, мно­ жественная когерентность является совместной мерой справед­

ливости условий

('1—4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

имеются

основания предполагать,

что ошибки

смеще ­

ния пренебрежимо

малы, то доверительные интервалы дл я

моду­

л я

передаточных функций

определяются по

уравнению

(Бендат,

Пнрсол,

1971).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| Д Я { ( с о ) р = А ^ ( с о ) = ^ | ^ - ( ^ ,

. а) X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ 1 — ^ ( « > ) ] S T O ( c o )

 

 

 

 

 

 

 

п — число

 

 

E'l—F2v (co)]5£ i i(co) '

 

 

 

 

{ '

'

где

степеней

свободы к а ж д о й спектральной

оценки,

q — число

процессов

на

входе, .F

а — критическое

значение

F-распределения

с п, /г2 степенями

свободы при

уровне

значимо­

сти

a, F2

.|(со) — выборочная оценка

функции

множественной

ко-

 

ух

 

 

процессом y{t)

 

 

 

 

 

 

 

герептности

между

на входе

и всеми

процессами

на

выходе,

F%x

(со) — выборочная

оценка функции

множествен­

ной

когерентности

 

межд у

процессом Xi(t)

на

входе и

другими

процессами

па

входе, за

исключением Xi(t),

как определено в

уравнении.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доверительные интервалы дл я аргумента передаточных фун­

кций

 

 

Лф | -(со)

=

arc sin

' f f 1 . ^ . 1

-

 

 

 

(5.48)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I Я ; (СО) I

 

 

 

 

 

 

 

Из (5.47) очевидно, что точность оценки

передаточных

функ­

ций

возрастает

при

приближении

| Д Я , ( с о ) |

к нулю.

Довери -

109

тельные интервалы 1—а дл я истинного значения передаточной функции будут

\Н](ю)—АН((ы)

| ^

|#г(со) | ^

|Я*(со)

| + Д Я < ( ш ) .

(5.49)

где Я * (со) — вычисленные

значения

модуля

передаточной

функ­

ции, Яг (со) — и с т и н н ы е

значения модуля

передаточной функции.

Точность оценки передаточной функции

дл я случая коррелиро­

ванных процессов на входе повышается, когда а) число степеней

свободы п возрастает при данном значении, б) оценка

множест­

венной

когерентности ^ 2 ж ( с о ) приближается

к единице,

в)

оцен­

ка

множественной когерентности F2.x (со) приближается к

нулю,

г)

оценка Su (со) увеличивается, Sv „(co)

уменьшается.

 

 

 

 

Уравнение (5.47) может быть использовано т а к ж е

д л я

реше­

ния другой задачи — ориентировочного

определения

числа сте­

пеней

свободы,

которое необходимо,

чтобы

вычислить

| # ( с о ) |

и

Дф

с заданной

ошибкой е и вероятностью

Р. В случае

одного

процесса на входе и одного процесса на выходе системы уравне ­

ние

(5.47) м о ж н о переписать в следующем

виде:

 

 

 

п=

 

2 1 п ( 1 - Р )

-,

,

Г Л Ч

 

 

 

— Ц — ' -

(5.50)

 

 

.

Г

i

-

F

M

]

 

 

 

 

 

L I

-

/ 7

2

(со) cos2 e J

 

 

 

 

 

 

 

.ту Л

/

 

 

 

где

е — допустимая

ошибка,

F2^—функция

когерентности,

Р —

вероятность ошибки,

не большей

чем е, п — число

степеней

сво­

боды. Так, если необходимо,

чтобы

6 = 1 0

радиан

с Р=0,90,

со-

гласно (5.49), п д о л ж н о

 

 

 

 

 

 

Л

 

быть

равно

44. При / г = 4 4

|#(со) |

будет

находиться в пределах 10% от истинного

модуля

передаточной

функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛ А В А III

ОС О Б Е Н Н О С Т И К О Р Р Е Л Я Ц И О Н Н О Г О

И С П Е К Т Р А Л Ь Н О Г О А Н А Л И З А

ПЕ Р И О Д И Ч Е С К И Х О К Е А Н О Л О Г И Ч Е С К И Х

ПР О Ц Е С С О В

§ 1.

Периодические и квазипериодические

 

регулярные и случайные процессы

К а к у ж е

отмечалось в предисловии, временная изменчивость

океанологических процессов складывается из большого числа ре­ гулярных и случайных колебаний. Периодичность или квазипе ­ риодичность присуща многим океанологическим процессам и обусловлена как периодическим воздействием внешних сил, так и периодическим х а р а к т е р о м свободных колебаний.

Раздельное рассмотрение регулярных и нерегулярных флук­ туации океанологических процессов значительно затрудняет их физическую интерпретацию. Так, например, динамическая не­ устойчивость периодических течений и внутренних волн порож ­ дает турбулентные вихри различных масштабов, формирующих непрерывный энергетический спектр этих процессов, который не­ рационально рассматривать отдельно от энергонесущего коле­

бания .

К тому

ж е выделение регулярных колебаний из исследу­

емого

процесса

довольно сложная, не всегда реализуемая за ­

дача, а исключение фильтрацией из спектра периодических составляющих и с к а ж а е т значительную частотную область спект­ ра. П о э т о м у нередко возникает ие з а д а ч а исключения периодиче­

ских составляющих

из процесса

(см., например,

Серебренников,

Первозваи'ский, 1965), а з а д а ч а

их идентификации

в р а м к а х

опи­

сания случайного процесса с помощью корреляционных

функций

и функций спектральной плотности.

 

 

 

 

Н а и б о л е е простой

моделью

периодического процесса

являет ­

ся

гармонический процесс

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t) = A s i n

(a0t—cp),

 

 

(1-U

где

Л — амплитуда,

« о — к р у г о в а я

частота, ср — начальная

ф а з а ,

t—время.

 

 

 

 

 

 

 

 

Однако только

в

редких

случаях процессы

в океане

могут

быть удовлетворительно описаны такой простой моделью. Обыч­ но л у ч ш а я аппроксимация натурных периодических процессов достигается путем их представления в виде полигармонического процесса. Полигармонический процесс, как и гармонический про­ цесс, обладает тем свойством, что он точно повторяет свои зна -

111

Смотрите также файлы