Файл: Григоркина Р.Г. Прикладные методы корреляционного и спектрального анализа крупномасштабных океанологических процессов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 226

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

сячных колебаний составила 1,4 (град/30 м)2. К о р р е л о г р а м м а этих колебаний показана на графике рис. 2 (кривая 1). Довери ­

тельные

пределы оценки, вычисленные по формулам

(2.40), по­

к а з а н ы

на рис. 3. В этих пределах с вероятностью 0,95

находится

истинное значение автокорреляционной функции.

 

Н о р м и р о в а н н а я автокорреляционная функция имеет вид за­

тухающей

косинусоиды (см. рис. i2, кривая

1). Б ы л а

предприня­

та попытка

ее аппроксимации в ы р а ж е н и я м и

(2.15) и

(2.20). П р и

аппроксимации вида

(2.15) параметры а и р оказались равными

( ц ~ 0 , 0 7

I/сутки;

р «

0,28

рад/сутки.

П р и аппроксимации

вида (2.20)

 

 

 

<X2»0,04

I/сутки;

р я» 0,29

рад/сутки.

Подставив эти значения в (2.15)

и

(2.20),

получим

 

/•* ( x ) = e - ° . ° 7 w

cos 0,28т,

г* (т) =6-0,041x1 ( C 0 S o,29t+0,14 sin 0,29т).

Аппроксимирующие кривые (см. рис. 2, кривая 2, 3) почти с оди­ наковой точностью совпадают с численной оценкой. О д н а к о срав ­ нение среднеквадратической разности м е ж д у ними показало, что более подходящей является аппроксимация вида (2.15). Под ­

ставив в

(2.17) а = ' 0 , 0 7 I/сутки

и (3 =

0,28 рад/сутки,

получим

значения интервалов

корреляции

 

 

 

 

« J 2 0 суток,

« 4

суткам.

 

 

кор

J

кор

J

 

Интервал

. определенный

по

числу

пересечений

реализаци ­

ей процесса нулевого уровня, оказался равным 22 суткам. Таким образом, линейная зависимость вертикального гради­

ента температуры от предшествующей ситуации в данном пункте достаточно велика на интервале, не превышающем 4 суток. Че­ рез 20—22 суток значения процесса практически не коррелирова - ны. Полученные значения т ( 1 ) и . т ( 2 ) могут быть использованы

J

кор кор J

при оценке длительности надежного экстраполирования .

П о известному параметру р вычислим средний период коле­

баний исследуемой

характеристики

г

2л

6,28

Тп=

- у - =

-Q2g-суток«22 суток.

Совпадение по величине среднего периода с максимальным ин­ тервалом корреляции указывает, по-видимому, на то, что перио­ дическое колебание вертикального градиента температуры в сильной степени модулировано. Действительно, дл я периодиче­ ского процесса его значения д о л ж н ы повторяться через проме­ жуток времени, равный периоду, однако в нашем примере они отличаются в среднем друг от друга иа величину

30

AJC=V2[/?*(0) —/?*(22)] = V 2 , 2 » ± 1,5 град/30 м.

П о с т а в им задачу экстраполяции исследуемого процесса по двум последовательным наблюдениям на интервал в 1 сутки. Ли ­ нейная экстраполяция, как известно, осуществляется по формуле

x(t+x) =

^сцхУ—бг),

 

i

где t ' = l , 2, . . . т — интервал

экстраполирования, 6j — интервал

времени, на котором используются значения процесса дл я экст­ раполяции (очевидно, что ( T + 6 J ) ) , at — коэффициенты

экстраполяции, выбираемые таким образом, чтобы предвычисленные значения отличались от истинных не более чем на вели­ чину минимальной средиеквадратнческон ошибки

M[x(t+x)

— 2

aix(t—6i)]^em\n.

 

 

г

Коэффициенты экстраполяции находятся по известной авто­ корреляционной функции из системы уравнений (Яглом, 1952)

 

Я * ( т + в * ) =

2 &iRx ( 6 i - 6 i ) .

 

 

г

 

Приня в т = 1

суткам, 6i —0,

62=1 суткам,

т + 6 = 3 суткам, дл я

экстраполяции

по двум последовательным

значениям получим

x(t-\-,l)=a1x(t)+a2x-(tT-l).

Коэффициенты экстраполяции определяются зависимостями (Зе­

леный,

1966)

 

 

 

 

 

 

 

 

R%(0)-R%{1)

 

 

 

 

 

_

RA0)RA2)-Rx

( l )

 

 

 

a i

^ ( 0 ) - ^ ( l )

 

 

Подставив

в выражение

дл я at и с» численные значения

Rx(Q)y

Rx(\)

и Я*(2) , получим

a i = l , 4 ; а2=—

ОД- x{t+\)=\,Ax\t)

—

—0,bx(t—1).

Эффективность

применения

полученного

эстрапо-

ляционного

уравнения будет

зависеть

от

точности определения

ординат автокорреляционной

функции.

 

 

 

§ 3. Спектральный анализ океанологических процессов

С помощью автокорреляционной функции можно описать внутреннюю структуру процесса, определяемую доминирующими компонентами, во временной области. В тех случаях, когда про-

31

цесс складывается из составляющих разных временных масшта ­ бов (а именно с такими процессами обычно приходится иметь дело в гидрометеорологии), знание структуры процесса во вре­

менной

области часто оказывается недостаточным. Д л я решения

многих

з а д а ч океанологии надо т а к ж е знать распределение ин­

тенсивности процесса м е ж д у составляющими различных времен­

ных масштабов, т. е. необходимо описание

случайного процесса

в частотной области. Д л я этой цели служит

спектральное разло ­

жение процесса.

 

Целесообразность спектрального р а з л о ж е н и я оправдана тем,

что многие океанологические процессы с достаточным приближе ­

нием могут быть описаны линейными системами уравнений с постоянными параметрами . В этом случае, во-первых, удовлет­

воряется

принцип суперпозиции

(реакция океана на сумму внеш­

них сил

равна сумме реакций па

к а ж д о е из с л а г а е м ы х ) . Во-вто­

рых, периодическое внешнее воздействие вызывает периодиче­ скую реакцию океана той ж е частоты. В-третьих, свободные колебания в океане происходят в виде затухающих или возра­ стающих (динамическая неустойчивость) по амплитуде гармоник .

Сказанное в одинаковой мере справедливо для детерминиро­ ванных и случайных процессов.

Таким образом, описание процесса в частотной области мо­ жет быть основой д л я выяснения происхождения и механизма колебаний тех или иных временных масштабов и, следовательно, представляет несомненный интерес с прогностической точки зрения.

Особо в а ж н о е практическое значение спектральное р а з л о ж е ­

ние приобрело

после того, к а к А. Я. Хинчиным

и Н. Винером бы­

ли получены

соотношения,

связывающие автокорреляционную

функцию с функцией

спектральной плотности

процесса

 

 

 

 

со

 

 

Sx{a)

=

~~

$Rx(x)e-^dx,

(3.1)

 

 

 

 

—со

 

 

 

 

 

со

 

 

 

Rx(x)

=

JSx((a)el a «rfco.

(3-2)

*—со

Так как д л я стационарного случайного процесса функция ав­ токорреляции является четной, эти соотношения можно предста­ вить в виде прямого и обратного косинус-преобразования Фурье

со

Sx(a)

=

—

§Rx(x)

cos ахdx,

(3.3)

 

 

л

о

 

 

 

 

со

 

 

 

Rx(x)=2

jsx:(co) cosaxda.

(3.4)

 

 

о

 

 

 

Функцию 5 ж ((о) часто называют энергетическим спектром про ­

цесса, подразумевая,

однако,

под

этим определением

спектраль-

32

ную плотность интенсивности (мощности) колебаний (Зиновьев, Филиппов, 1968).

•Приближенное вычисление спектральной плотности легко осуществимо, если известно аналитическое выражение Rx{x). Так, например, подставив в (3.3) экспоненциальную и экспонен­ циально-косинусную автокорреляционные функции

# ж ( т ) = £ ж е - « № с о 5 рт,

получим спектральные плотности

 

5 ^ ( 0 ) = А .

(3.5)

я

о г + с г

S*(co) = — - 7

°

a •

(3.6)

я( с о — р ) 2 + а 2

Энергетический спектр вида (3.5) характерен д л я широкого класса случайных процессов, являющихся суперпозицией беско­ нечно большого числа колебаний, интенсивность которых моно­

тонно убывает

с увеличением

частоты.

М а к с и м у м

спектральной

плотности (3.5)

находится на

частоте

со = 0. П р и

а->-оо, т. е. с

уменьшением степени корреляции м е ж д у ординатами процесса, кривая спектральной плотности выравнивается и переходит в

прямую линию, параллельную

оси частот

и отстоящую от

нее

Dx

с подобным

видом спектральной

на расстоянии — — . Процессы

я а

 

 

 

плотности, у которых интенсивность колебаний одинакова

д л я

всех частот, называют «белым шумом». Примером «белого шу­

ма» являются, в частности, некоррелированные

ошибки океано­

логических

измерений.

 

 

 

 

Процессы, спектр которых может быть аппроксимирован вы­

ражением

(3.6), содержат доминирующее по интенсивности ко­

лебание на

частоте

с о 0 > 0 . Кривая функции спектральной

плот­

ности (3.6) имеет максимум, частота которого

связана с

п а р а ­

метрами а и р зависимостью

(Зиновьев, Филиппов, 1968)

 

 

Ш о

= У - а 2

- р 2

+ 2 р У а 2 + р 2 .

 

(3.7)

а ширина основания

максимума

определяется

выражением

 

 

 

АсоЭ ф=

 

.

 

(3.8).

 

 

1 +

а 2 + 4 р 2

 

 

где Дсоэф называют эффективной шириной спектра.

3 Зак. 11821

3 £

 

Смотрите также файлы