Файл: Гинзбург И.П. Пограничный слой смеси газов учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 226
Скачиваний: 0
движения можно описать с помощью дифференциальных уравнений,
являе тс я чрезвычайно важным, так как благодаря этому оказы
вается возможным установить функциональные связи между осред нении!,ш характеристиками газовых потоков.
При изучении турбулентного движения производят статисти
ческое осреднение гидродинамических величин по времени и по
отношении к группе частиц жидкости. Следуя Рейнольдсу, можнр представить мгновенное значение каждой из физических величин ,
и их комбинаций в виде суммы осредненной и пульсационной сос
тавляющих: |
_ |
. |
|
у = у +Ч>'. |
|
Среднее значение получается в результате осреднения ис- '
тинного значения в каждой точке пространства по такому проме
жутку времени, что нерегуляпность истинного значения сглажи- .
вается и среднее значение представляет собой плавно изменяю
щуюся функцию. Если обозначить через |
Т |
период |
осреднения, то |
среднее значение некоторой функции f |
( |
х *", t ) |
определится |
следующим образом: |
|
|
|
Относительно периода осреднения |
Т |
предполагается, .что |
|
это есть некоторая не зависящая от яремени величина, большая по сравнению с возможным Периодом пульсации рассматриваемой
величины |
и малая |
по |
сравнению с характерным для осреднвнного • |
||
движения |
интервалом |
времени. |
|||
Если |
осредненноа |
поле |
являе тс я стационарным, т .е * его пе |
||
риод бесконечно |
велик, |
то |
среднее значение неличинм У будет |
||
выражаться как |
|
|
|
|
|
Следуя подобному определению, легко можно получить, что осреднение пульсации по времени равно пулю, т .е .
Г ( ~ Н - О
Используя введенные правила осреднении, установим следую щие полозные соотношении, получившие название условия ГеП -
нольдса:
, f +lp - y |
+ |
; a - f - a - f |
, если |
а |
= const ; |
а |
= а, |
|||||
если |
а |
= ccnst; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
У Ф = 7-*Р; W = '¥ ; |
|
|
|
|
|
|
||||||
7 ^ |
= |
|
; |
Тр.ф' = v T . ^ ' r о - |
|
|
|
|
||||
T W = (¥■ Г ) № + Ф ') = УФ + Г Ф ‘ ; |
|
|
|
|||||||||
¥ W i = 4>Wi + |
~Ф¥к' + |
Ф ¥К ' + ~кr W 1+ |
|
|
||||||||
( t / ' p j ' |
= цпр - |
упр = (ц> |
+</' j.{7p~-i.(p'j ~ |
i p y - у ' р ' |
- |
|
||||||
~ yTJ) |
+ |
|
i f ' ip' - |
i f ' t y '' |
|
|
|
|
|
|
||
Перейдем теперь к |
выводу |
осреднении: |
уршненнЛ |
'iV p t'j- |
||||||||
лентного |
движения многокомпонентной реагирующей визовой |
смеси. |
||||||||||
|
|
§ I - |
^ранпгнпп г in средних местных гидродина |
|
||||||||
|
|
|
мике сипх_:.сл iгчпн |
*. уравнении 1 ?;!иольдса) |
|
|||||||
Поскольку! |
в соответствии |
со |
сдедогныч предложен нем |
о про- |
||||||||
с’-раlie т ее нио-нре менпых масштабах |
турбулентного движения, |
ха |
||||||||||
рактер |
такого |
.•("нхсипн гэ гс т О л ь |
описей |
дг< 1;? 1Х»)и;иэлышан |
||||||||
yparsi'ViiHMa гш :ч |
|
- |
^ .j) |
гл .П , тн |
приме!! нм в та |
; равнения |
||||||
- 205 -
переноса для описании турбулентных движении. в целях упрощения,
iopi.ii.; записи воспроизведем их здесь с использованием тензорных
обозначении.
В м е с т о |
X , |
у |
, Z |
в в е д е м с и м в о л ы |
||||
( |
j = 1 , |
2 , 3 ) , |
в м е с т о |
V* |
’ Vy |
’ |
||
XJ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и л и |
Vy ( j |
= I , |
2 , 3 ) . |
|
|
d f |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т о г д а у р а в н е н и е н е р а з р ы в н о с т и |
di |
|
|
з а п и ш е м т а к : |
|
|
> |
Xf |
, |
Xz , X 3 |
и л и |
V 2 |
- |
\/f» |
i V j |
d f v x |
. . m |
|
|
dx |
d_y |
<?Z |
|
( I . I )
уравнение движения
jдj -_i/rРтпr i *+^Ъ/Г Ч Т )
ох
ПЛИ
л
d i
уравнение энергии
|
~ .ат* & |
йЬ. |
|
|
- W а, |
ду |
dz |
др |
I д |
|
|
дхк |
Jk ) +f Fk |
|
|
+^~дх(г‘ |
( 1 . 2) |
||
|
j= i aKJ |
||
А ^ |
|
|
|
|
|
|
) , |
|
|
Ч Ту -V >+£ ( Т г •VJ+fFV-dlv(9 |
|
||||||
ду |
|
|
|
|
|
|
|
|
нде |
Н, |
- H - z K ih i |
, |
|
|
|
|
|
д |
|
у н ' А |
Ы |
п |
|
j t |
|
|
Ь Гу |
|
или |
||||||
3 |
fj |
/ ^ |
|
^ |
-3 3 |
г |
|
|
+Z |
4 - |
Z Т:.У„ |
■* PEF. V. -27 ~ ~ (q. + |
|
||||
j =/ |
dxj-'fci jh Л/ |
Jh-i |
k jr/dxj |
( |
/./ |
|
||
|
П , |
j, |
|
, |
|
|
|
|
( 1 . 3 )
- 206 -
уравнение диффузии
или
( 1 . 4 )
Для получения уравнений относительно средних честных ве
личин |
проведем над |
выражениями |
( I . I ) |
- |
( 1 .4 ) операцию осредне |
||||
ния во времени в соответствии |
с данный |
.правилом. |
|
||||||
|
Доложим, |
что |
V |
V-j + |
Vj1 |
П |
• m ; |
mj + mJ |
|
'С.ч- |
\j/r |
+ Лч » Я / = Н/ + Н, 1 |
|
р s р + р 1 |
|||||
\ /* - |
т |
V k ’ |
|
|
|
|
|
|
|
f ‘ |
T |
* |
f ' < |
J:j |
= |
+ Л / |
|
11 |
|
Здесь |
значками м • |
" обозначены соответствующие |
лульсэционныз |
||||||
составляющие, а чертой сверху - средние шстные величины. При
нимая во |
внимание, |
что |
~ |
^ |
, |
V j1 = 0 , |
т ^ = |
( Wj + |
|||
+ |
m j |
) |
. |
( VK + |
Vk‘ ) = |
m jvk |
+ |
mj • \/k' |
и т . д . , |
проведя |
|
операцию осреднения по времени, |
|
подучим |
|
|
|||||||
|
d i |
/?{ |
dxj |
’ |
. |
|
|
|
|
(1 .5 ) |
|
dtдтк |
*1, |
Щ<mi vy I s-ef, |
|
|
|
v* )*JFk |
( 1 . 6) |
||||
£ |
v |
» |
' |
v |
|
|
|
|
|
|
а + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.7 ) |
J? |
, Г Г |
|
i д |
|
з |
/? |
|
|
8) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 207 -
Полученные уравнения называются уравнениями Рейнольдса. |
|||
С целью дальнейших упрощений |
и придания определенного физичес |
||
кого смысла отдельны, |
членам системы ( 1 .5 ) - ( 1 .8 ) рассмотрим |
||
некоторые слагаемые |
в |
правых |
ча с тях. Представим слагаемое mj H'f |
в развернутом виде. |
Поскольку |
|
|
' н % ^ |
* 1 * |
•_ |
то с учетом осреднений вида h{ - |
+ k- < £ / = |
+ * |
Ч = Ч + VKзопшюи |
|
|
?№ |
|
|
|
|
|
m- Mh |
||
ьс:ли ввести пульсации вида |
Hf = Н, |
+ |
Н{ |
» то |
на основа- |
|||
нии предыдущего |
соотношения |
|
|
|
|
|
||
— |
п — - |
|
’ 1/2 |
Л - * Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
или, |
пренебрегая |
величинами |
второго порядка малости, содержа- |
|||||
щимИ |
произведение |
пульсаций |
у / , |
/ |
, |
, <2 |
, запишем |
|
вида |
|
у . |
||||||
пульсацию Ч |
и.виде |
|
|
|
|
|
||
.Тогда
‘< 1 л о )