Файл: Гинзбург И.П. Пограничный слой смеси газов учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 230

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

- 21G -

dv*

L

■mEi

( 3 .2 )

P dy

 

Формулы ( 3 .1 ) и

( 8 .2 ) представляют собой

основные соотношения

полуэмлирической

теории турбулентности.

Относительно С дела­

ются соответствующие предположения, которые впоследствии про­ веряются экспериментальным путем.

Введение пути перемешивания I было предложено Нраядтлем.

Существует еще один известный метод определения турбулентного

трения, предложенный Т.Карманом. В теории Кармана изменение

осредненной скорости определяется двумя первыми производными

скорости

dv«

..

дгУх

Соображения размерности приводят

 

 

ду

“

дуг

 

 

 

к

заключению

о существовании следующей зависимости:

 

 

 

 

 

 

/ Ш ' *

 

 

 

 

 

*Ут ~J л

T Z S k 72

 

 

или

 

 

 

 

(^У2

 

 

 

 

 

( дЧх ] 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

-

Р Г *

1

ш

_

 

(3 .3 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

б у 2 1

 

 

 

Определив таким образом коэффициент турбулентной вязко с ­

ти

8 ,

перейдем к определению

Prm и

. Применение

нолуэмпирических

теорий

турбулентности потому

являе тс я плодо­

творным,

что

при

их использовании можно ввести дополнительное

упрощающее предположение,

которое

иногда называют цаналогией

'Рейнольдса". Согласно этому допущению принимают, что' коэффи­ циенты турбулентного переноса количества движения, теплосодер­ жания и вещества имеют одинаковое значение. Такое допущение предполагает отсутствие влияния изменений теплосодержания и

- 219 -

концентрации вещества в потоке на механизм турбулентного пере­ мешивания.

Количественно аналогия Рейнольдса может быть представлена

та к:

( 3 . 4 )

Естественным следствием соотношений ( 3 .4 ) являе тс я то , что турбулентные числа Прандтля - Ргщ - и Шмидта - Smm - рав­ ны единице, т .е .

Р гт

* L e m* I .

( 3 .5 )

Условия ( 3 .1 )

и ( 3 .5 ) аамыкают систему уравнений ( 2

.1 ) -

{2.6 ) . Исторически

полуэмпириЧеекая

теория турбулентности бы­

ла введена при описании несжимаемых

турбулентных течений

одно­

компонентного га за . Удобство ее использования привело к тому,

что при исследовании турбулентных течений, в которых необходи­ мо учиты ва ть сжимаемость, неоднородность соотава, массо- и

теплообмен, ее основные предположения обобщаются с'учетом но­ вых факторов. Практически при использовании полуампирической

теории вид формул Прандтля и Кармана полностью сохраняется, и

только плотность J7 считается переменной величиной. Что каса­ ется значения константы турбулентности X ( 1К Ху ) , то ее

значение принимается таким же, как и для несжимаемой жидкости

( X « .0 ,8 9 + 0 ,4 1 ) .

Несмотря на замкну-тость исходной системы уравнений, ее решение приводит к непреодолимым трудностям. При описании тур­ булентных течений практически не существует автомодельных реше­ ний уравнений Рейнольдса, за исключением некоторых частных слу*

- 220 -

чаев, связанных с Исследованием несжимаемых струи и следов. Ос новным методом исследования туре, -л.лшх течении являе тс я ме­ тод интегральных соотношения, к я лощению которого мы Перехо­ дим в следующем параграфе.

§ 4. Метод интегральных соотношений в задачах пограничного слоя

Метод интегральных соотношении являе тс я прпо.кытнкым ме­ тодом расчета пограничного слон, причем он примени:.; ;.лн рас­ чета как турбулентного, так И ламинарного слоен. Выведем пн-:

тегральные соотношения, выражающие собой закон изменения коли­ чества движения и закон сохранения энергии.

При рассмотрении обтекания твердого тела поставим гта п п ч -

ные условия на поверхности тела и на внешне:'; границе погранич­ ного слоя для скоростей, полного теплосодержания и концентра­ ции отдельных компонентов, причем для общности можно считать поверхность тела проницаемой. Эти граничные условия следующие:

Последние три условия характеризуют плавное сопряжение профи­ лей скорости, полного теплосодержания и относительной массо-.

вой концентрации с внешним беэвихреьым потоком.

Внешний поток предполагается изоэнтроническиы, следова­ тельно, окорость на внешней границе (Je будет связана со

- 221

статическим давлением на поверхности тела уравнением Бернулли

 

 

 

 

 

ОII

dUe ___ d£_ .

 

 

 

 

 

 

(4 .2 )

 

 

 

 

 

*е е dx

 

cix

 

 

 

 

 

 

 

Рассмот­

 

С р а в н е н и е

 

 

н е р а з р ы в н о с т и .

рим уравнение неразрывности, записанное в общем виде

длп

д вух ­

мерного

 

осесимметричного

течения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- i c ( f ^ r k ) + - ^ (f ' ^ rok) ^ ,

 

 

( « - в )

ир;г1е:.:

 

Г

=

V (

X ,

у

)

есть текущий радиус точки в

поле те ­

чения. УмножиМ обе част:;

уравнения

lie разрывности

на

Й у

и

проинтегрируем полученное

уравнение

поперек

пограничного

слоя

 

 

 

 

ь

 

= 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

от

у

=

0

до

у

 

,

что соответствует внешнем границе по­

гнан ичного

слоя. Тогда

подуши

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h r W k№ * W r % r № d ш0

 

 

 

или

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£■{ h

\

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( „ .5 ,

Из

выражения

( 4 .5 )

можно определить

величину (

)

g

 

У р а в н е н и е

 

 

д в и ж е н и я .

Используя

уравнение

неразрывности

в форме

( 2 .1 7 ) , уравнение

движения

(2 .1 8 )

может

быть записано

как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ l l < r ki * i ; ( t W

 

kh r k^

r y

{ r ^ T

b

} ■

<*•«

дх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножим обе части уравнения на

,

проинтегрируем

поперек

пограничного

слоя

от

у

= 0 до

у

 

=

 

$

и получим

 

 

 

_ д _

f

г>\/ 2 V. ^ \ rJ.t

L i n * !

I/

r./f|

_ / 0 | /

\ l

 

r>A ]

9 =

 

 

 

1 ъ г №

г

!dW f W r * ^ - ( f V , 4

tr %

 

 

 

 

дх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

■> -JV-0

 

 

 

- 222

-

 

 

 

Ислользуя

граничные

условия ( 4 . 1 ) ,

а

также

уравнение ( 4 .5 ) ,

из которого находится

(fV

 

последнее

поражение за -

лишен та к;

 

 

 

 

 

 

 

- S L f

 

 

Л -

 

 

 

 

Ч

 

1

‘

 

1

 

 

= - ¥ f r >dV~ T„ r/ - fwlleV!, r / ,

 

 

( 4 .в ;

где

 

 

- напряжение

трения

на стенке.

 

 

 

 

 

сравнению ( 4 .8 ) можно

 

У '

 

 

придать

определенный физи­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ческий смысл, записав его в

 

 

 

 

так называемой форме Карма­

 

 

 

 

на. В соответствии с рис.14

 

 

 

 

введем

обозначения:

 

 

 

 

 

/

 

*

 

Р и с .14

 

 

 

 

 

 

количество

движения

газа^роперек пограничного слоя толщиной О

в единицу

времени;

/п

* fyVx(23fl*)

dy

- масса га за , про­

ходящая через сечение пограничного слоя {Г в единицу времени.

Подставляя введенное выражение для импульса и массового

расхода в уравнение ( 4 .8 ) ,

получим

 

M *U e

fw^eVc .

( д .9)

Последнее соотношение называют интегральным уравнением импуль­ сов Кармана. В левой его части стоит изменение импульса в еди­

ницу времени на единицу длины,

а в правой части присутствуют

факторы, влияющие на это.измёнение: смешение

dx

, градиент

давления

^ - , трение Т у /

, .вдув (отсос)

через

пористую

стенку со

скоростью V0 •

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

223

 

 

 

 

 

 

 

 

кили испо.шзовоть уравнение Бернулли, то соотношение (4 .8 )

можно перевисать та к:

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

^ ( f l % ( l l e - U x) r kd f l + f k { ( f eue-fV,)r t y

=

 

= 7'о'кГ*-«j % и е ^ Г 0к,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4 .1 0 )

Длп „тонкого " пограничного слоя

Г

(

X

,

у

)

Т'в( X

) .

Йводп характсрныевеличины для пограничного слоя:

 

 

 

r=/V fe <-<е

 

 

„толщина" вытеснения,

 

 

 

'*

7 ' ‘

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

толщина" потерянного импульса, урав­

нение

(4 .1 0 ). можно представить

в виде

 

 

 

 

 

 

 

d S **

r**(Z > H

dUe

I

<tfe

i

d n k)

 

Tw

,

fw V o

 

 

(4.II)

cix ■

I Lle

dx

fe

dx

rBk dx /

fe/J£

fe °e

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*+

 

 

u£

+

8**dr0k

Ту,

fw

 

 

 

 

dS

**(2+H-Me)

 

 

 

(4 .1 2 )

dx

Ue

V

 

fedeS

fe

de

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задаваясь видом профиля скорости поперек пограинчю го

слоя,

исходя из каких-либо

соображений,

интегрируя

 

уравнение

( 4 .1 2 ) , мокло

определить закон

изменения

величины

 

( X

) и

найти

закон изменения

8**(*)-

 

 

 

 

 

 

 

 

И н т е г р а л ь н о е

 

с о о т н о ш е н и е

в н е р -

г и и.

Используя уравнение

неразрывности

в

форме

( 2 .1 7 ) ,

урав-

кение

энергии

(2 .Х 9 )

может быть

записано

как

 

 

 

Смотрите также файлы