Файл: Гинзбург И.П. Пограничный слой смеси газов учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 192

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

- 37 -

Вращательное движение одноосной молек.улц

Для значительной части нн те ресующих нас случаев мы можем представить вращательную форму движения одноосной молекулы как вращение простого жесткого ротатора, т .е .

 

 

 

/

г

 

 

 

 

 

( 5 .9 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

J

- момент инерции системы относительно

оси

вращения,

и)

- угловая скорость

вращения.

 

 

 

 

 

 

 

 

Если мы примем для простой молекулы жесткую гантельную

форму

строения (р и с Л ), то для такой

молекулы ось

вращения бу­

дет

проходить через центр тисс, расстояние

до которого от мас­

 

 

 

 

сы

т у

равно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т 4+ т г

 

(5 .10)

 

 

 

 

 

 

 

Ч '

"'г

 

 

 

 

 

 

а

от

массы

т’ г,

 

 

 

 

 

 

 

 

_

т 4+

т г

 

 

 

 

 

 

r*

( 5 .ID

где

 

г

- расстояние между двумя массами.

 

 

 

 

 

 

Ввиду то го , что

J-m4rt' 2 tm2r/"

 

 

, подстановка

(5 .1 0 )

и ( 5 . I I )

дает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J = гп ■г 2

 

 

 

 

 

(5 .1 2 )

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л1, •)яг

 

 

 

 

 

 

т- гг, + т. (5 .1 3 )

чт '"г

-приведенная масса системы, которая затем действует как отдель­

ная

масса

т

, вращающаяся относительно

центра тяжести д вух

масс

т.

и

т г

, отстояш.их друг от

друга на расстояние г .

Для

такого

ротатора,

центр масс которого

находится в начале

 

 

 

-

38

-

 

 

 

координат, уравнение Шредингера имеет вид:

дг<Р

, д Ф

дг *Р

,

8тсгт

W

(5 .1 4 )

д х с

W!

дг2 '

 

 

Ьг

■ 4 ' = О >

где

■>t -

- константа. Как показывает анализ, функ­

ция </' конечна для

всех

л

,

у

, 2

,

удовлетворяющих соот­

ношению

-t-у ­

 

 

,

и равна

нулю для всех других зна-

чений , если

 

Я(Я + l) hг

 

^вращ

 

 

W ;

__

(5 .1 5 )

 

~87CrJ

 

” £q

 

В квантовой теории также показывается, что состояния энер­ гии вращательного движения являю тся вырожденными с законом вы­ рождения (весом q -го состояния)

з , - 4 4 ' < 5 Л 6 )

Статистическая сумма для вращательного движения молекулы запи­

шется

та к:

 

 

 

 

 

 

_ £ i_

f

q(q+ l) h*

 

 

 

 

(5 .1 7 )

' =

6 * -

kT=£j(2q^ e*pl "

кТ-8хгЗ^

 

Заменяя суммирование знаком интеграла, при больших значениях q

получим

q[q+l)hz

8жгЗ к Т

r

-z

,

8nzJk Т

(5 .18)

8T2JkT dq= /И

]

е

dz

h2

 

 

 

 

 

В более общем случав в выражение для статистической суммы вво д ят так называемый коэффициент симметрии оС , который при­ нимает целочисленные значения, зависящие от структуры много­ атомной молекулы. Коэффициент симметрии показывает число спо-

- 6 9

собов , которыми многое тонная молекула может быть наложена сама

на себя путем вращения молекулы. Например, для линейной молеку­

лы С0г или ОСО&-2

; для

NzO или NHOcL=i

;

для 0г

или

00<^-2

;

для А Ф о с г/

 

 

 

 

 

Тогда для

линейных

молекул

 

 

 

 

 

 

 

 

j

8 x 2Jk Т

 

 

 

( 5 .1 9 ;

 

 

 

 

2 = —

 

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

не линейных

многоатомных молекул можно показать,

что

 

 

 

_

j _

/вХгк Г ]*

/ж],3;]2 У/г

 

(5 .2 0

 

 

 

2 " l ~ h r

~~l

*

 

 

 

где

J *

,

Jy

1

J 2

-

моменты инерции относительно трех осей

многоатомной молекулы,

а

ос

снова

коэффициент симметрии.

 

 

 

 

Колебательное

движение

молекулы

 

 

 

Для

 

простого

гармонического осциллятора, состоящего из двух

частиц, уравнение Ыредингера эквивалентно уравнению для одной

частицы

с приведенной массой

m , колеблющейся на

пружине.

Уравнение

будет

иметь

вид

 

 

 

 

 

 

 

d2 ^

 

 

8Кт

(w-+-Kx*)4' =0.

 

(5 .2 1 )

 

 

 

d х г

 

 

Нг

 

 

 

 

 

х'де

К

 

- постоянная,

характеризующая п р у ж и н у в

к о л е б а т е л ь ­

ной

системе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Однозначные,

конечные, непрерывные решения этого уравне­

н и я, переходящие

в

нуль

на бесконечности, существуют только для

значений

 

w

,

заданных формулой

ко/1eff

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5 .2 2 )

Статистическая сумма при колебательном движении может быть оп­ ределена как

(5 .2 3 )

где частота колебаний V равна частоте излучаемого света и представляется формулой

 

 

(5 .2 4 )

Перечисленные здесь

квантовые

состояния, включающие в се­

бя состояния с энергией

поступательного, вращательного и коле­

бательного движений, можно считать

независимыми друг от друга,

т .е . предполагать, что различные

формы движения незначительно

взаимодействуют одна с другой.

 

В этом случае полная

энергия

£<, может быть записана

как сумма отдельных видов

энергий:

 

 

(5 .2 5 )

В результате этого предположения можно рассматривать энергию различных форм движения двухатомной молекулы отдельно, так как это было сделано выше.

Тогда статистическая сумма для двухатомной молекулы, об­ ладающей энергией поступательного, колебательного и вращатель­ ного движений может быть выражена соотношением

 

 

 

 

 

 

 

-

‘i l

-

 

 

 

 

 

где

индекса L

, j

, V

относятся

к

состояниям поступательного

врацательнсго и колебательного движений. Если дополнительно

ввести в рассмотрение состояние электронных уровней,

обозначен­

ное

индексом

^

, то получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2=Zl ZJ ZVZS.

 

 

 

(5 .2 7 )

 

Пример I . Рассмотрим реакцию диссоциации двухатомной мо-

лекулы

 

 

Х 2

_ r Z

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

" '

 

 

^ = 2 .

 

 

 

 

 

 

Константа

равновесия в

соответствии

с равенством

(4 .3 6 )

монет

быть

представлена

 

 

 

как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

to0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5 .2 8 )

 

 

KP = k T V e

-JZ--

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим статистические

суш и

для

атомов

X

и молекул

X

. Для

атома

типичным

видом движения

являе тс я

состояние по­

ступательного

движения

и* состояние

электронного

уровня,

так

что статистическая

суша для атомов

 

равна

 

 

 

 

 

 

 

 

f2Kk Т/л*

\5/г

 

 

 

 

(5 .2 5 )

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

двухатомной

молекулы

Х 2

следует учи ты ва ть

энергии

посту­

пательного, вращательного, колебательного движений, а такке

энергию электронных

уровней, т . е .

 

 

 

 

 

 

 

rz1 - zi - zl - zf - V-

IZX k T2m>

)Ъ 8 x *J k Т

 

 

 

 

*г

Н

лг

 

 

 

 

 

 

 

d- h‘

 

 

 

( 5 .3 0 ;

' - Ч т Н / ~*г >

Смотрите также файлы