Файл: Вальков К.И. Введение в теорию моделирования.pdf

надобности легко заменяется другой условностью. Единственно существенным является здесь наличие определенной таблицы или, иначе говоря, пространственно-числового кода, посредст­ вом которого каждой паре чисел сопоставляется точка плос­ кости, и наоборот.

Чаще всего поступают следующим образом. Наносят на плоскость два семейства линий, причем через каждую точку плоскости проходит одна единственная линия первого и одна

руются, т. е. для них устанавливается пространственно-число­ вой код, рассмотренный выше (2.2.6). Аналогично поступают с линиями второго семейства. Тогда точке плоскости сопостав­ ляются те два числа, которыми обозначены линии первого и второго семейства, проходящие через данную точку.

перпендикулярных прямых (рис. 2.6). Пронумеруем эти пря­ мые, опираясь на представление о равномерной шкале. В ре­ зультате получаем широко известную декартову прямоуголь­ ную систему координат.

Сохраним ту же геометрическую конструкцию, но вместо параллельных прямых выберем прямые, пересекающиеся соот­ ветственно в точках Л' и У (рис. 2.7). Для нумерации прямых используем проективные шкалы х и у, имеющие пометку со на пересечении с прямой XY. Тогда возникает так называемая

55

расположенными в трехмерном пространстве. Здесь каждой точке целесообразно сопоставить тройку чисел-координат. Воз­ никает необозримое разнообразие пространственно-числовых кодов. Наиболее распространенный прием координирования пространства связан с выделением трех семейств поверхно­ стей, причем через каждую неисключенную точку проходит одна единственная поверхность из каждого семейства. Если, в частности, любое из этих семейств составляют параллельные плоскости, элементы различных семейств взаимно перпендику­ лярны друг к другу и нумерация их выполняется с помощью равномерных шкал, то получаем декартову прямоугольную си­ стему координат в пространстве.

Обобщая конструкции, показанные на рис. 2.7 и 2.8, полу­ чаем соответственно проективную и полярную систему коорди­ нат в пространстве. Три семейства поверхностей, координирую­ щие пространство, образуют, как принято говорить, тернарное поле.

9. Пространственно-числовые коды, указанные в разделах 2.2.7, 2.2.8, целесообразны в том смысле, что они позволяют (если это нужно) легко сохранять непрерывность при переходе от геометрических форм к числам, и обратно. Термин «непре­ рывность» используется здесь на уровне интуитивно понятных представлений: если, например, точка А, описывающая на

56

f(xux2)=0 J

ф(*ь*з) = 0 J'

или, что то же самое,

П * ь * 2 , * э ) = 0 \

ц>'(хих2,хъ)=0 J'

Выделив в трехмерном пространстве геометрическую фор­ му, представляющую собой поверхность, приходим к машине, которая по двум типам сигналов на входе вырабатывает один тип сигналов (состоящих, быть может, из множества элемен­ тов) на выходе. Например, по сигналам «точка К», «точка L» возникает сигнал «точка М» и пр. Соответствующая аналити­ ческая машина доставляется функцией

/(*ь х2, х3) = 0.

Итак, если рассматривать геометрическую форму как ис­ ходный объект О ь при наличии которого вводится в действие определенная машина, то можно указать аналитическую зави­ симость 02 , служащую моделью этой формы и обеспечиваю­ щую существование тождественной числовой машины. Связь между объектами Oj и 0 2 осуществляется с помощью про­ странственно-числового кода (координатной системы), назна­ ченного, быть может, целесообразно, но, во всяком случае, про­ извольно.

12. Все материалы этого параграфа отчетливо демонстри­ руют неустранимый дуализм и диалектику отношений между числом и формой.

Желая, например, дать количественную характеристику ка­ кого-либо явления, наблюдатель обычно прибегает к исполь­

множество аналитических моделей самого разнообразного внешнего вида, в зависимости от того, какой пространственночисловой код будет положен в основу конструируемой модели. Например, окружности, изображенной на рис. 2.9, кроме уже упоминавшейся модели

59

рис. 2.8) и поместить начало ее — точку Х\ — в центр окруж­ ности /. В этом смысле геометрическое представление является гораздо более эффективным инструментом исследования, чем

разнообразного внешнего вида, в зависимости от избранного пространственно-числового кода. Например, в случае декарто­ вой системы координат выражение

* i = 17

моделируется прямой линией, отстоящей от оси л'а на расстоя­ нии семнадцати масштабных единиц. В случае полярной си­ стемы координат моделью служит окружность, радиус которой равен семнадцати единицам, а центр находится в начале коор­ динат. С этой точки зрения, численные методы являются го­ раздо более эффективным инструментом исследования, чем

При использовании численных методов серьезные, а иногда даже практически непреодолимые затруднения создает система отсчета, более или менее случайно, а порою исключительно не­ удачно связанная с изучаемым явлением. В результате такой неудачной связи возникают громоздкие функциональные зави­ симости, которые служат исходным материалом для последую­ щих совершенно формальных математических выкладок. Ана­ лиз часто действует формально и слепо там, где геометрия от­ крывает пути для интуиции и наглядности.

При использовании геометрических методов представление о форме нередко чрезвычайно неудачно предопределяется по­ зицией наблюдателя, неявно принятой им системой отнесения. Легче всего уловить этот момент, обратившись к заведомо про­ стому примеру: груз, сброшенный с самолета, описывает в про­ странстве траекторию, форма которой оценивается с земли как

60