Файл: Вальков К.И. Введение в теорию моделирования.pdf

моздкие геометрические образы, порождающие трудные, прак­ тически неразрешимые проблемы для исследователя. Геомет­ рия часто заходит в тупик там, где анализ открывает прямой путь для логики и действенного формализма.

Конечно, можно было бы продолжать и развивать далее подобные сопоставления, но в этом едва ли имеется необходи­ мость. Краткий обзор фактов, предложенных вниманию чита­ теля в этом параграфе, позволяет увидеть два параллельных пути математического моделирования: путь, основанный па применении геометрических методов, и путь, основанный на применении численных методов. На практике приходится до­ статочно часто прибегать и к геометрическим, и к аналитиче­ ским моделям, и к их разнообразным взаимным сочетаниям.

Методы аналитического моделирования рассмотрены в ли­ тературе весьма подробно (например, [24—27]). На базе их развивается почти вся современная вычислительная техника. Значительно беднее представлена в науке и технике область геометрического моделирования (например, [4, 5, 36—40]). По­ этому в дальнейшем, после изложения некоторых общих све­ дений об аналитических и геометрических моделях, описанию геометрического аппарата будет посвящена специальная глава.

§ 3. А н а л и т и ч е с к и е м о д е л и

1. Аналитический аппарат математики широк и разнообра­ зен. Специалист, вступающий в эту область, встречается с ве­ ликим обилием символом, терминов, понятий [28—35]. Арифме­ тика, алгебра, комбинаторика, дифференциальное и интеграль­ ное исчисление, матричное, тензорное, операционное исчисле­ ние, ряды и функционалы... — во всем, представленном здесь пестром многообразии, нам важно выделить одну общую черту:

аналитические конструкции представляют собой прямо или косвенно действующее числовые машины.

Рассмотрим, например, определитель

Существуют правила выполнения известных математиче­ ских операций, пользуясь которыми можно получить числовое значение величины Д, задавшись конкретными числовыми зна­ чениями величин йц [29]. В этом смысле определитель Д прямо

61

ком случае ее приходится подбирать на основе эксперименталь­ ных данных, подобно тому как подбирают ключ к закрытому

Если в эксперименте удалось зафиксировать несколько значе­ ний параметра Хц (вход) и несколько ответных значений пара­ метра ku (выход), то математическую связь параметров легко угадать, когда точки К\, Кг • • • Ki обрисовывают известную и сравнительно простую геометрическую форму, например кри­ вую второго порядка. В случае более причудливого расположе­ ния точек Ки Кг • • • Ki (рис. 2.10, б) поиск необходимой мате­ матической связи становится делом затруднительным.

Правда, изменив координатный код, можно привести полу­ ченную геометрическую форму к стандартному и сравнительно простому виду (2.2.12). Переформулировав — на основе дуа­ лизма числа и формы — высказанную мысль, приходим к вы­ воду, который несмотря на его тривиальность полезно принять

лезен именно постольку, поскольку способ измерения возво­ дится в принцип и абсолютизируется (2.2.3).

Как бы то ни было, но выбор особенно удобного координат­ ного кода или способа измерений сам по себе представляет проблему, которая может оказаться ничуть не менее легкой, чем прямой поиск аналитической модели. Дело еще более осложняется, если машину М2 не удается извлечь из арсенала готовых математических средств, если, иными словами, конст­ руирование модели требует конструирования нового матема-

63

тического аппарата. Такая задача обычно оказывается не по плечу инженеру или экспериментатору. Поэтому наличие теоре­ тического задела, опережающее практику развитие «отвлечен­ ного» математического аппарата является важным условием успешной деятельности в области научного и технического мо­ делирования.

Не всегда, конечно, эксперимент служит непосредственной основой аналитического моделирования. Когда математическая

объекта Oj на языке общей математической теории, после чего остается решить уже чисто математическую задачу. Получен­ ное решение и представляет собой искомую машину М2 .

П р и м е р. Требуется выяснить, успеет ли попасть на поезд велосипедист, выехавший из города N на станцию 5. Имеется сообщение, что час назад поезд вышел со станции Р. Расстоя­ ния между всеми пунктами и скорость движения велосипе­ диста и поезда известны.

Здесь объект Oi — совокупность интересующих пас явле­ ний: станции, дороги, поезд, велосипедист, часы, показываю­ щие время, и т. п. Объект О] передает два основных внутрен­ них (1.4.6) сигнала: прибытие поезда на станцию S, прибытие велосипедиста на станцию S. Эти два сигнала либо совпадают по времени, либо опережают друг друга. Таким образом полу­ чается множество результативных внешних сигналов, состоя­ щее из двух элементов:

а) велосипедист прибыл вовремя; б) велосипедист опоздал.

Объект О ь в зависимости от конкретных условий, реализует одну из этих двух возможностей, доставляя тем самым один бит информации (1.З.З.). При новых условиях доставляется но­ вая информация и т. д.; в целом образуется цикл информа­ ции /ft. По этому циклу информации и должно быть осущест­ влено моделирование.

Результативный сигнал, выдаваемый объектом О ь зависит от набора основных параметров: от расстояний, разделяющих п/ункты N и S, Р и S, от скорости движения велосипедиста и поезда. Значит, в исходном объекте Oi действует некоторая машина (1.4.3.). Ее и следует промоделировать искомой ана­ литической зависимостью.

64