Файл: Вальков К.И. Введение в теорию моделирования.pdf

Проведем на плоскости а окружность /, имеющую центр в точке О и радиус, равный масштабной единице ОЕх (рис. 3.12;

ки — мнимые элементы, но их можно мыслить и как действи­ тельные образы. Известно, что при выбранных двойных точках инволюция на прямой задана [4, 36]. Следовательно, прямая м„ с двумя фиксированными — действительными или мнимыми —

103

чину угла между прямыми т' и п', достаточно вычислить про­

так уж трудно извлечь из предыдущих рассуждений.

Рис. 3.13 Рис. 3.14

на прямую О'В'. Для этого строим модель окружности, имею­ щей центром точку О' и проходящей через Ех'. Искомая кри­

О', то для получения масштабной единицы приходится допол­ нительно прибегнуть к параллельному переносу (см. рис. 3.14).

8. Дальнейшие обобщения на случай пространства трех и более измерений выполняются почти автоматически. Метриче­

Внутри пространства Rn имеем гиперплоскость # 1 - 1 , ф у н д а -

104

ментальную поверхность второго порядка Fn~x cz R'lT7 и мас­ штаб ОЕх.

Способ измерения длины отрезков и величины углов в прин­

измерить величину угла между прямыми т, п, находим после­

сте с тем возникают, конечно, и новые задачи, решение которых всегда сводится к использованию метрического репера. В R3 характерный пример доставляет определение угла между пря­

значения следует назвать сложным отношением, или проектив­ ной характеристикой. В Rn проективная характеристика сопо­

9. На практике получили известность и другие способы ко-

v.105

угла, образованного прямыми т, п, назовем проективную ха­

гораздо менее обычную, но в пригципе столь же правомерную метрику. Прямое обобщение этих конструкций позволяет ор­ ганизовать соответствующим образом закрепленное и ориен­

градуируется равномерно или проективно или, вообще, какнибудь (2.2.6). Аналогично градуируется пучок прямых L 0 , 1 , 2 Длиной отрезка АВ cz и назовем числовую пометку точки U=ABXl. Величиной угла ABC назовем числовую пометку прямой т== (pXq) -L, где ps=AB; q^=BC. При таком условии все отрезки, лежащие на одной прямой, имеют равную длину; все углы, имеющие общую вершину, также равны по величине. Всегда равны между собой и отрезки, расположенные па раз­ ных прямых, если только эти прямые имеют пересечение на шкале /. Аналогично всегда равны между собой углы, имеющие разные вершины, если только эти вершины коллинейны с точ­

кой L .

11. Приведенные примеры показывают, что различные спо­ собы закрепления и ориентирования элементов пространства,

106

т. е. различные способы конструирования метрики, могут варьи­ роваться до бесконечности. Практическое значение имеют те варианты, которые в данный момент и при поставленных усло­ виях достаточно точно моделируют реальную ситуацию. Так, в процессе геометрического моделирования относительно мед­ ленных движений оказывается полезной собственно евклидова метрика. При моделировании быстрых движений принимается в расчет псевдоевклидова метрика и т.п. [47, 48].

Стоит обратить внимание на следующее обстоятельство.

Выбор метрики в Rn равносилен выбору некоторой операции проектирования в геометрическом множестве, элементами ко­ торого являются пары точек (отрезки) в Rn или пары прямых (углы). Действительно, предположим, что метрика в Rn уста­ новлена. Отметим все отрезки, имеющие равную длину dQ. Они образуют некоторое множество, заполняющее проектирующий образ. Все отрезки, имеющие длину du заполняют другой про­ ектирующий образ и т. д.

Информационный индекс одного элемента множества (пары точек) равен, очевидно, 2п. Поэтому можно также говорить об операции проектирования, выполняемой в пространстве R2n. Информационный индекс одного проектирующего образа ра­ вен единице, так как каждому проектирующему образу сопо­ ставляется одно число: do, d]t d2.. . Следовательно, проекти­ рующие образы составляют в пространстве R2n звезду 2 ", причем / з в = (2п — /) • (/ — k) = 1 (см. 3.1.7).

В частности, в случае трехмерного пространства, обладаю­ щего евклидовой метрикой, все отрезки, имеющие длину do, об­ разуют пятимерное множество (начало отрезка — / = 3; конец отрезка — / = 2). Поэтому, обращаясь к намеченной здесь ин­ терпретации, скажем, что в пространстве RG установлена опе­ рация проектирования на R1 с помощью звезды Ri56. Первый индекс в обозначении звезды рассчитай по приведенной фор­ муле.

В случае евклидовой плоскости операция проектирования в пространстве R4 выполняется с помощью звезды R23i.

,Необходимо иметь в виду, что возможна, хотя бы в прин­

равных отрезков. Но при этом приходится отказываться от тре­ бований непрерывности [49].

107