Файл: Вальков К.И. Введение в теорию моделирования.pdf

в какой-то последовательности, сопоставляется единственное число — величина угла ABC.

Если пространство Rn рассматривается одновременно и как закрепленное, и как ориентированное, то принято говорить, что оно обладает установленной метрикой, является метризован­ ным пространством.

По всем перечисленным критериям возможна оценка на эк­ вивалентность. Нетрудно представить два организованных и одинаково закрепленных пространства R\n~R2n. Простейшей иллюстрацией служат два R3, связанные — в обычном физиче­ ском смысле — перемещением. В результате перемещения точ­

по своей метрике, т.е. и по закреплению и по ориентации одно­ временно.

В первом случае определенным инвариантом являются организация точек и расстояния между ними; во втором слу­ чае — организация точек и углы; в третьем случае указанные инварианты объединяются вместе.

11. Понятие об эквивалентных структурах не играло боль­ шой роли в истории развития геометрической мысли. Эквива­ лентность тех или иных структур выявлялась эпизодически; причем иногда эти моменты проходили почти незамеченными, иногда они выдвигались на первый план и расценивались как открытие. Очень широкий резонанс, например, вызвало в свое время утверждение принципа двойственности [43]. Особенное значение представлений об эквивалентности было подчеркнуто, хотя и не вполне раскрыто, в знаменитой работе Феликса Клейна «Эрлангенская программа» [44].

В практике геометрического моделирования совершенно необходимо опираться на понятие об эквивалентности. Различ­ ные научные и технические задачи приводят к различным по

можный уровень эквивалентности. Сознательное и правильное обращение с этими фактами позволяет избежать слишком

98

ное пространство. Конечно, это закрепление осуществлено чисто теоретически, что не имеет для нас существенного значе­ ния. Ведь и сама прямая / — только теоретическое представ­ ление.

Посредством лучей звезды S 0 , 1 , 2 спроектируем точки пря­ мой / на прямую т (см. рис. 2 . 4 ) . Точки О, Е переходят в точки О', Е' с числовыми пометками 0 и 1, а на луче SCJ*,, параллель­ ном /, приходится отметить точку V с числовой пометкой о о .

Опираясь на обычные геометрические аксиомы, а также на экспериментальные факты, заимствованные хотя бы из чертеж­

кретного проекционного аппарата, указанного на рис. 2.4. Если точки О', Е', V посажены на свое место с помощью одной или нескольких последовательных линейных операций проектиро­ вания, то и точки 2', 3'. .. обязательно займут свои соответ­ ствующие места [4, 36, 37]. Поэтому принято говорить, что эле­

ный отрезок О'Е' и несобственная точка V определяют мет­ рику прямой т, составляя метрический репер.

3. Отметим на прямой т четыре точки О', Е', V, А'. Если условиться, что эти точки выбираются именно в указанном по­

Следовательно, нами установлен некоторый процесс кодиро­ вания, позволяющий каждой упорядоченной четверке точек на прямой линии сопоставлять одно число. Число это принято на­ зывать сложным отношением четырех точек на прямой [36, 37].

Обратимся к рис. 3.9. Если на прямой / изменить порядок числовых отметок, сохраняя лишь принцип однозначного со­ поставления точек и чисел, то любой четверке точек O'E'U'A' на прямой m будет отвечать уже не число х, характеризующее сложное отношение этой группы точек, а какое-то другое чи­ сло х*. Однако по-прежнему каждой упорядоченной четверке точек отвечает вполне определенное число, именуемое в этом случае ее проективной характеристикой [5]. Сложное отношение является частным значением проективной характеристики.

100

При установленной процедуре кодирования все четверки то­ чек на прямой линии, обладающие одной и той же проективной характеристикой, представляют собой эквивалентные струк­ туры.

4. Рассмотрим плоскость а и введем на ней прямоугольную декартову систему координат (рис. 3.10). На осях этой системы, пользуясь движением измерительного инструмента, разобьем равномерные шкалы. Теперь каждой точке Л с а можно при­ писать определенные координаты. Имея координаты точки А, легко вычисляем ее расстояние от начала отсчета:

OA = V'x2+y2,

Вообще, прибегая к формулам аналитической геометрии [22, 23], для каждой пары точек АВ находим соответствующее число d — длину отрезка АВ. Для каждой упорядоченной трой­ ки точек А, В, С находим число ф — величину угла ABC. Про­ странство i ? 2 s a становится закрепленным и ориентирован­ ным, оно обладает метрикой. Заметим и подчеркнем, что основу установленной процедуры кодирования составляют физические движения инструментов. Здесь проходит граница, отделяющая нас от инвариантной неопределенности.

Спроектируем при посредстве одной или нескольких звезд 5 ° ' 1 , 3 элементы плоскости а на плоскость р\ Между плоскими полями а и р возникает коллинеация (3.5.8). Как бы ни осу-

101

чек на плоскости. Различные пятерки точек могут характеризо­ ваться различными или одинаковыми сложными отношениями. При более общей постановке вопроса (изменение шкал на ко­ ординатных осях плоскости а) следует говорить о проективной характеристике группы из пяти точек на плоскости. Группы то­ чек, имеющих одну и ту же проективную характеристику, пред­ ставляют собой эквивалентные структуры.

6. Величина отрезков и углов на плоскости а (рис. 3.10) не изменится, если вместо указанной координатной системы вы­

102