Файл: Вальков К.И. Введение в теорию моделирования.pdf

§7. Т р а н з и т и в н о с т ь

1.Предположим, что какая-либо геометрическая структура пригодна для изготовления модели. При эксплуатации модели используется последовательность действий, существенно зави­ сящих от некоторых свойств и признаков данной геометриче­ ской структуры.

Тогда любая геометрическая структура, эквивалентная дан­ ной, также оказывается вполне пригодной для целей модели­ рования. Рассмотрим ряд примеров.

П р и м е р 1. Подвергается измерению напряженность не­ стационарного силового поля. В каждой точке пространства и в каждый момент времени может быть зафиксирована величина напряженности.

Для моделирования этой ситуации допустимо использовать элементы пятимерного геометрического множества R5. Каж­ дому определенному набору четырех переменных параметров, характеризующих положение физического пункта Л в простран­ стве и во времени, сопоставляется пятый ответный параметр — напряженность силового поля. В пространстве R5 возникает некоторая четырехмерная поверхность, моделирующая указан­ ную ситуацию.

Для осуществления процесса моделирования важно иметь

пространство соответствующей размерности. Поэтому размер­ ность пространства следует здесь рассматривать как инва­ риант, порождающий отношение эквивалентности (3.5.1). Все другие пространства, эквивалентные R5 по выбранному при­ знаку (3.5.2), в равной мере пригодны для осуществления гео­ метрического моделирования.

П р и м е р 2. Известны два пункта Л и В, через которые про­ легла прямолинейная траектория движущегося объекта 0^ Известны также два пункта С и D, через которые пролегла прямолинейная траектория движущегося объекта 02 . Тре­ буется установить, встречаются ли траектории объектов О!

и02 .

Вэтом случае подходящей геометрической моделью может

служить трехмерное пространство R3. Выделив в нем соответ­ ствующие точки А, В и С, D, устанавливаем затем, пересе­ каются или скрещиваются между собою прямые li=AB и /2==С£>.

Намеченная последовательность действий связана с прове­ дением в R3 прямых линий. Существенную роль играет, ко­ нечно, и размерность геометрической модели. Таким образом,

108

размерность и прямолинейность форм являются здесь инва­ риантом, порождающим отношение эквивалентности. Все про­

двух нагрузок, величина и направление которых известны. Тре­ буется определить величину и направление равнодействующей силы.

Хорошо известный процесс геометрического моделирования сводится в данном случае к использованию правила паралле­ лограмма на плоскости. Из точки U, моделирующей узел кон­ струкции, проводятся два вектора, моделирующие приложен­ ные нагрузки. На этих векторах строится параллелограмм, диа­ гональ которого моделирует — по величине и направлению — искомую равнодействующую силу.

Указанный процесс моделирования подразумевает сохране­ ние прямолинейности форм и метрики пространства R2. Отсюда и проистекает отношение эквивалентности. Все другие про­ странства, коллинеарные и метрически эквивалентные R2 (3.5.10), также пригодны для целей моделирования.

2. Приведенные примеры ясно показывают, что в каждом конкретном случае выбор признака эквивалентности и разде­ ление пространств по этому признаку производится на основе чисто практических соображений. Описывая напряженность силового поля (пример 1), не обязательно прибегать к модели, сконструированной в R5. Но практически удобно получить про­ стую картину, возникающую именно в пятимерном простран­ стве. Решая вопрос о встрече траекторий (пример 2), можно использовать и нелинейную модель, однако она едва ли ока­ жется практически эффективной, и т. д.

Следовательно, разделение геометрических моделей по при­ знаку эквивалентности, с теоретической точки зрения, всегда условно, но оно имеет обычно большое значение с точки зре­ ния практики.

109