Файл: Вальков К.И. Введение в теорию моделирования.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.06.2024

Просмотров: 156

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В левой части этой цепочки записаны пространства, имею­ щие своим элементом линейные образы, начиная от точки до Rn-2 или R^-V'-2 (в зависимости от четности п); в правой ча­ сти — пространства, имеющие своим элементом линейные об­ разы, начиная от гиперплоскости /?<л - 5 ) до R"-2 или RC-1)'-2. Значит, элементы R1 и Rm эквивалентных пространств сопо­ ставляются по правилу

l + m = n— 1.

(3.7)

Оценивая эти закономерности, полезно отметить, во-первых, что размерность эквивалентных пространств, подсчитанная по формуле (3.4), всегда, разумеется, одинакова. Интересно также подчеркнуть, во-вторых, что столбцы цепочки естествен­ но замыкаются сверху двумя предельными пространствами, причем элементом первого (слева) должна служить пустота 0SSR'1, а элементом второго (справа)—универсум U==Rn. Размерность множества пустых элементов, как и размерность «универсума в универсуме», равна нулю.

Рассмотренный вариант эквивалентности имеет специаль­

ное название в литературе по геометрии — принцип

двойствен­

ности. По принципу двойственности на плоскости

сопостав­

ляются множество точек и множество прямых линий. По прин­ ципу двойственности в R3 сопоставляются:

множество точек и множество плоскостей; множество прямых и множество прямых.

Поэтому иногда говорят, что образ «прямая линия» сам себе

двойствен в трехмерном

пространстве.

 

 

В У?4

эквивалентны по принципу двойственности

 

множество R0

и множество R*;

 

 

множество R1

и множество R2.

 

 

Вообще, в четномерном пространстве все линейные образы

выстраиваются

 

в пары, в

нечетномерном — находится

одна

пара самодвойственных

образов.

 

 

Разумеется, принцип двойственности справедлив, т. е. про­

странства Rk'1

и

Rk'm

эквивалентны только в том случае, ко­

гда двойственность распространяется на все Rn

в целом. Так,

сопоставляя в /?4 множество

Ri° и множество Ri5,

нельзя

гово­

рить об эквивалентности двух позиционных фактов:

 

Три

точки

общего

поло-

Три Rz общего положения

жения

определяют

един-

определяют

единственную

ственную плоскость.

 

плоскость,

 

 

93

но можно говорить об эквивалентности двух позиционных фактов:

Три

точки

общего

поло-

 

 

Три ^ 3

общего положения

жения

определяют

 

един-

 

 

определяют

единственную

ственную

плоскость.

 

 

 

 

 

 

 

 

прямую.

 

 

 

 

 

В первом

случае

двойственность

распространена

только

на множества Ri° и Rf,

 

во втором — и на множества Rf,

Ri\

участвующие в данной

конструкции.

 

 

 

 

 

 

5. Согласно правилам двойственности, точечному простран­

ству Rkc:Rn

 

 

соответствует

некоторая звезда

/^(n-*-i). с - 0.«.

Действительно, элементу Rk,

как целому, сопоставляется

эле­

мент Rn~h-1;

 

а точкам Ri°, инцидентным Rh,

должны

отвечать

гиперплоскости

Rn~\

инцидентные Rn-k~K

Поэтому

все пози­

ционные свойства Rh автоматически

переносятся

на

звезду

ftyi-k-i), (п -

1), л П р Н условии

(как было только что упомянуто)

тотального

применения

 

принципа

двойственности

в Rn. То­

чечное

пространство

Rk

 

и звезда

R^"-*-1)-^-1)-"

эквивалентны

в смысле

3.5.4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассуждая

аналогично,

 

убеждаемся,

что пространству

прямых, заполняющих

Rk,

т. е. пространству

AJt*-1)'2/', дол­

жна быть

 

сопоставлена

 

звезда

 

 

(" - 2 ь п .

Пространство

прямых У^*-1 )-2 '1 и

звезда

 

£ i

n

- * - i ) .

( л - 2 ) , л

эквивалентны.

И вообще, пространству образов R1, заполняющих Rh, т. е.

пространству R(*-W+Wt

 

эквивалентна звезда

 

 

 

'-У. л .

Следовательно, цепочку эквивалентных пространств, при­

веденную

выше

(3.5.4), можно

продолжить в несколько

ином

виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£

1

_

 

£(я-2), (л-1} , л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£

2

.

^

£(л-3), (л-1). л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£

3

^

 

£(я-4),

(л-1), л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ 2 / 1

 

£

£

2

^

 

ДОл-З).

( я - 2 ) . п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/^4/1

 

с ; ^ 3 ^

 

£(я-4), (я-2). л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ 6 / 1

 

С ft* ^. R(n-5), (л-2). л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ 3 / 2

 

с

;

^

3

 

£(л-4), (л-3), л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ 6 / 2

 

С

£ 4

£(л-5),

(л-3), л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ 9 / 2 С

 

 

~ / ? ( « - 6 ) . ( ч - З ) . л

 

 

 

 

 

94

Эквивалентность пространств по принципу двойственности имеет важное практическое значение; ее нередко приходится принимать во внимание при конструировании различных гео­ метрических моделей.

6. До сих пор множество точек (и других образов), запол­ няющих пространство Rn, мыслилось как безымянное множе­ ство. Элементы его, хотя и различимы друг от друга, но в то же время тождественны все друг другу: каждый элемент спо­ собен заменить любой другой. Довольно схематическим, зато конкретным и наглядным примером такой ситуации может служить ящик биллиардных шаров: шары нетрудно разде­ лять, пересчитывать и вместе с тем невозможно узнавать. Нельзя сказать, что, собственно, изменилось в ящике, после того как его изрядно встряхнули.

Встанем теперь на другую позицию. Будем считать, что точки пространства Rn не только различимы, но, кроме того, еще индивидуализированы, поименованы. Тогда каждая точка единственная, и единственна структура пространства Rn, со­ ставленного из этих точек. Возвращаясь к нашему схемати­ ческому примеру, представим ящик биллиардных шаров, снаб­ женных порядковыми номерами. Встряхивая такой ящик, каж­ дый раз замечаем происходящие в нем перемены: шар 1 попал

на место шара 12; шар 2 занял

бывшую ячейку шара

5 и т. п.

Новая позиция отражает более глубокий подход к явлениям

и дальнейшее проникновение в область инвариантной

неопре­

деленности: объекты

(точки), которые можно было лишь пере­

считать, оказывается,

обладают

еще

и другими

признаками,

становятся доступными для сравнения. Пространство Rn,

со­

стоящее из поименованных точек, условимся называть

органи­

зованным.

 

 

 

 

 

 

 

 

R2n,

7. Назовем эквивалентными

два

пространства

 

и

неразличимые по своей организации.

 

 

 

 

 

 

Иными словами, если в пространстве Rin

от точки А\

до

точки В\ можно проследовать через точки С ь

Du

Еи

Ft ...

то

в пространстве R2n

обязательно

существует путь С2,

D2, Е2,

F2

. . . ведущий от А2

к В2. Опираясь на интуитивное

представле­

ние о непрерывности

пространства,

можно

утверждать,

что

определенным инвариантом здесь является именно непрерыв­ ность.

Пространства, эквивалентные по указанному признаку, принято в математике называть топологически эквивалент­ ными.

На первый взгляд может показаться, что здесь рассматри-

95

вается какая-то совершенно новая ситуация: прежде чем оце­ нивать пространства по признаку эквивалентности, нужно осу­

ществить

операцию кодирования,

нужно каждой

точке про­

странства

Rin поставить в пару определенную точку

простран­

ства R2n,

дать этим точкам одинаковые наименования.

В действительности новым здесь является только уровень

рассуждения. Во всех предыдущих

случаях также

подразуме­

валась предварительно выполненная операция кодирования. Так, в разделе 3.5.2 имеется в виду множество пространств: М{. Каждый элемент этого множества поименован, или, лучше ска­ зать, занумерован. Номером элемента (т. е. пространства Fn) служит число, выражающее его размерность. Имеется также второе множество пространств: М2. Элементы его занумерованы теми же числами, т. е. выполнена операция кодирования. После этого выбираем один элемент из М{ и один элемент из М2 и сравниваем их по признаку эквивалентности — по номеру раз­ мерности.

Можно, правда, отрицать наличие множества М2 и говорить о сравнении двух элементов, извлеченных из одного и того же множества М\. Но с таким же успехом можно было бы гово­ рить выше о наличии одного только пространства R\n и о срав­ нении двух возможных его топологических организаций.

8. Назовем эквивалентными два пространства R\n и R2n, неразличимых по своей организации и по форме одномерных образов.

Первое из этих требований означает, как уже известно, со­ хранение непрерывности. Согласно второму требованию, пря­

мой линии

проходящей через точки А], Ви

С, . . . в Rin, отве­

чает всегда прямая

линия 12, проходящая

через точки А2,

В2,

С2 .. . в

R2n.

 

 

 

 

 

 

 

Итак, по сравнению с предыдущим случаем, определенный

инвариант

расширен:

обязательному

сохранению

подлежат

непрерывность и прямолинейность

форм.

 

 

 

Два

пространства,

эквивалентные

в указанном

смысле,

принято

 

называть

коллинеарными.

С

коллинеарными

про­

странствами приходится особенно часто встречаться в процес­ сах геометрического моделирования.

9. Рассмотрим два коллинеарных пространства

R\n и R2n.

Одно из них, например R2n,

заменим эквивалентным ему по

принципу дзойственности пространством R2l{n~l).

Условимся

пространства R"

и # 2 ' ( " - 1 )

тоже

считать эквивалентными

между собой. Теперь точкам Ait

Ви

С{ . .. лежащим

на одной

прямой 1\ в R\n,

сопоставляются

гиперплоскости

Ri~l,

90

Й"

проходящие через

Один образ R? 2

в / ? 2 , ( "

1 ) .

Пространства Rin и Д 2 / < я - 1 )

,

эквивалентные по

указанному

признаку, называют обычно

 

коррелятивными.

 

 

 

В состав определенного

инварианта здесь снова

входит

не­

прерывность и прямолинейность форм, но в отличие от преды­ дущего не требуется сохранения вида линейных образов. Вме­ сто точки может возникать гиперплоскость, вместо прямой линии — пространство Rn~2 и т.д. Отсюда сразу становится по­ нятно, какую важную роль в случае двух коллинеарных про­

странств играл

неопределенный

инвариант: сохранение вида

линейных образов.

 

Всю эту ситуацию полезно сравнить с каким-нибудь обыч­

ным жизненным

эпизодом, например с сортировкой плодов.

В один вагон грузят картофель, в другой — яблоки, т.е. разде­ ление идет по признаку: овощи — фрукты. Так продолжается до тех пор, пока не попадутся ящики с морковью и грушами. Тогда становится ясно, что кроме первого критерия «овощи — фрукты» при погрузке фактически подразумевался и другой, более тонкий критерий — «картофель — яблоки». Сначала он находился в области неопределенного инварианта, а затем (по-1 еле обнаружения ящиков с морковью и грушами) выносится на поверхность.

Полезно также обратить внимание на логическую схему рассуждения, приводящего к понятию о коррелятивной экви­ валентности: А ~В; В ~С, значит, А ~ С. В первой паре (А, В) эквивалентность установлена по одному признаку; во второй (В, С) — по другому; в третьей паре (А, С) приходится гово­ рить об эквивалентности по сумме признаков.

10. Продолжим развитие наших интуитивных воззрений на пространство Rn, следуя тому пути, который уже намечен в раз­ деле 3.5.6. Будем считать, что точки пространства Rn не только организованы, т.е. поименованы, но и занимают определенное положение, или, иначе выражаясь, находятся на определенном расстоянии друг от друга. Пространство, в котором удается из­

мерять расстояния,

назовем

закрепленным.

Можно также предположить, что выражение «определенное

положение точек в Rn»

означает их взаимную ориентацию, т. е.

возможность отсчета

углов. Пространство, в котором удается

отсчитывать углы,

назовем

ориентированным.

Заметим, что в закрепленном пространстве каждым двум точкам сопоставляется единственное число — расстояние. В ориентированном пространстве каждым трем точкам, взятым

7 зак. 886

97

Смотрите также файлы