Файл: Вальков К.И. Введение в теорию моделирования.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.06.2024

Просмотров: 146

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В таких случаях машину, действующую в пространстве

Rn,

можно заменить машиной, действующей в пространстве

Rm,

опираясь

на

проекционную

связь

указанных

пространств,

но

отказываясь

от изоморфизма

(1.4.12). Обратимся к изучению

некоторых особенностей этого приема.

 

 

 

2. В пространстве R3 наметим

следующий

алгоритм: через

две произвольно выбранные

точки А а В проводим

прямую

/ = Л - В

и пересекаем ее с фиксированной плоскостью

а. В ре­

зультате каждой паре исходных элементов Аи Bi сопостав­ ляется ответный элемент — точка Ft = lXa. Имеем, очевидно, машину Mi (6-^2).

Заменим машину М Ь работающую в пространстве R3, ма­ шиной М 2 , работающей в пространстве R2, используя для это­ го перехода операцию проектирования. В зависимости от вы­ бора проекционного аппарата будем, конечно, получать раз­

личные варианты машины М 2

. Остановимся

на трех

конкрет­

ных конструкциях.

 

пространства R3

а)

Операцию проектирования элементов

на плоскость /?2 г=о (рис. 3.23)

осуществим с помощью

звезды

Sa'1,3.

причем центр звезды — точку 5 — поместим

в

плос­

кость

а.

 

 

 

 

 

Рис. 3.23

Рис. 3.24

Как нетрудно видеть, в этом случае на плоскости а полу­

чаем машину М 2 ( 4 - у 1 ) . Работа ее

описывается следующим

алгоритмом.

а. Проводим прямую

Произвольно выбираем точки Л„,

Аа'Ва=1„.

Пересечение/о с фиксированной прямой а а дает

ответный элемент: Т7, = ЬХа„.

117

 

б) Операцию проектирования элементов пространства

Rs

на

плоскость а осуществим с помощью звезды S0 , ' ' 3 , но'центр

ее

выведем из а (рис. 3.24).

 

 

 

 

 

При этом в плоскости о машина уже не получается. В са­

мом деле, выбрав точки Л„, Вх,

проводим прямую

1а=А„-Во.

На

этом алгоритм обрывается. Где располагается

ответный

элемент F„, неизвестно, так как в процессе перемещения

в

R3

точек А и В по лучам 5Л а , SBa

проекция точки F=lXa

про­

бегает всю прямую U.

 

 

 

Fa,

 

И все же некоторая информация о положении

точки

 

очевидно, имеется. Эта точка

должна быть инцидентна

пря­

мой U. Результат действия такой машины можно

обозначить

символом М 2 ( 4 - > о о 1 ) . По четырем исходным параметрам опре­ деляем ответный элемент с точностью до принадлежности его некоторому одномерному множеству.

в) Операцию проектирования элементов пространства R% на плоскость а осуществим с помощью нелинейного простран­

ства F2'1

(см. 3.3.4). Элементами его служат лучи, пересекаю­

щие две фиксированные прямые линии р и q '.

А,,

Ва

В этом случае, выбрав исходные элементы — точки

на плоскости а, можем получить в качестве ответа

любую

точку

Fiv

Действительно,

проведем через

произвольно

вы­

бранные точки Лег, В„, Fa

лучи пространства

Fm (рис. 3.25).

Луч / ZD Fa

высекает в плоскости а точку F. Через F

можно

провести прямую, пересекающую лучи а^эА„

и b ZD Ва

в точ­

ках А, В. Таким образом в А?3 находятся элементы А, В, кото­ рым машина Mi сопоставляет элемент F сг а. А в проекции на

плоскости

0 машина М2 элементам Л,, Ва должна сопостав­

лять произвольно

намеченный

нами элемент Fa.

Развивая при­

нятую

символику,

здесь

следует

ввести

обозначение

М2 (4-> со2 ).

 

 

 

 

 

 

3. Сравнивая

между собой

рис. 3.23,

3.24, 3.25 и расширяя

понятие о машине,

введенное

в

1.4.3, условимся

говорить, что

в первом

случае

(см. рис. 3.23)

на плоскости а получена со­

вершенная,

во втором случае

(см. рис. 3.24) —несовершенная,

в третьем

случае (см. рис. 3.25) — распавшаяся

геометриче­

ская

машина.

 

 

 

 

 

 

Совершенная

машина характеризуется сформулированным

ранее

(стр. 32) определением.

 

 

 

 

1 В литературе это пространство обычно называют (довольно неудач­ но) линейной конгруэнцией [4, 41]. Прямые р, ц — направляющие линии конгруэнции.

118

Несовершенная машина позволяет по заданным парамет­

рам

( х \ , х 2

, . .., х п ) получить некоторое количество соотноше­

ний

между

результативными параметрами (х„+ 1 , х п + 2 , • • •,

ХЦАГП)

•

 

 

 

Рис. 3.25

 

 

 

 

Рис. 3.26

 

Распавшаяся

машина

не доставляет никакой

информации

о результативных параметрах.

 

 

 

Рис. 3.26 поясняет характеристику несовершенной машины.

Если в плоскости о введена

система

отнесения (на рисунке —

декартова координатная система), то, выбрав четыре парамет­

ра

Х \ \ ,

Х \ 2 ;

х 2 \ , х 2 2 , фиксируем

исходные

элементы — точки

Aa, j$a*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В результате работы машины ответные параметры — коор­

динаты х 3

, Xi точки Fa— не

устанавливаются, но устанавли­

вается их соотношение, которое геометрически выражается

прямой линией 1а~АзВз,

а в аналитической интерпретации —

формулой

 

 

px3

+

qxi=l.

 

 

 

 

 

 

 

 

4. В пространстве R2 можно получить несовершенную ма­

шину, накладывающую лишь одно условие

на соотношения от­

ветных параметров. При наличии двух условий ответные па­

раметры определяются

и

машина

становится

совершенной.

В пространстве ^ 3 можно иметь несовершенную машину с од­

ним

или двумя

условиями;

в

^ 4 - с

одним, двумя или тремя

условиями; в Rn

количество условий варьируется

от одного до

(я—1). Таким

образом,

несовершенные

машины естественно

119

Делятся на

классы: одномерные, двумерные, трехмерные...

(п—1)-мерные

машины. Чем выше класс несовершенства, тем

меньше информации доставляет работа такой машины. Когда класс несовершенства достигает размерности картинного про­ странства, машина превращается в распавшуюся.

Этими соображениями подчеркивается,

между прочим, тот

очевидный факт, что степень совершенства

(несовершенства)

машины

зависит

от информированности

наблюдателя.

Если

наблюдатель

располагается

в

операционном

пространстве

Rn~l,

то несовершенная машина

класса (я—1) расценивается

им как распавшаяся. Если наблюдатель

находится

в про­

странстве Rn,

то

та же машина

представляется

ему хотя

и

весьма

несовершенной, но все же действующей. При дальней­

шем

возрастании

размерности

операционного

пространства

наблюдатель

оценивает эту машину все более и

более опти­

мистически (ср. 1.3.6). Вообще

величина отношения fM=

—~

,

где п — размерность операционного пространства, k — размер­ ность (класс) несовершенной машины, может служить некото­ рым мерилом практической эффективности для данной ма­ шины.

5. Возвратимся к рис. 3.23—3.25. Нетрудно заметить, что характер машины М2 , полученной на плоскости ст, зависит не только от размерности операционного (картинного) простран­ ства Р2==ст, но и от позиции наблюдателя в исходном про­ странстве .ft3.

Выражением «позиция наблюдателя» несколько образно обозначается здесь проекционный аппарат, выбранный для пе­ рехода от R3 к R2

Во всех трех рассмотренных выше примерах размерность исходного и картинного пространств, а также исходная ма­ шина М, оставались неизменными. Изменялась лишь, в ука­ занном смысле, позиция наблюдателя. Эти изменения и при­ водили к тому, что в проекции совершенная машина обраща­ лась в несовершенную и распавшуюся.

Тот же результат мог быть получен, конечно, и при сохра­ нении как размерностей, так и позиции наблюдателя. Тогда должна подвергнуться изменению структура машины Mi . На­ пример, на рис. 3.27 изображена машина M i ( 6 - > 2 ) , действую­ щая в R3 следующим образом. Точки А, В выбираются произ-

1 В дальнейшем убедимся, что это образное выражение имеет доста точно глубокий смысл (4.2.3).

120

Смотрите также файлы