Файл: Вальков К.И. Введение в теорию моделирования.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.06.2024

Просмотров: 143

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

вольно. Через

фиксированные

 

прямые a,

b

проводятся плос­

кости у = а-А

и 6 = 6-6. Линия

/==-уХб

пересекает

фиксиро­

ванную плоскость а и дает на

ней ответный

элемент

F = / X a .

Хотя позиция наблюдателя, принятая во втором случае (ср. рис. 3.24), здесь сохраняется, тем не менее в проекции возни­ кает распавшаяся машина. Итак, размерность пространства (информированность наблюдателя), позиция наблюдателя и структура машины Mi — к а ж д ы й из этих факторов может ока­ зывать решающее влияние на характер машины М2 , возникаю­ щей на картине.

Повышение размерности исходного и картинного про­ странств, усложнение машины Mi и действующего проекцион­ ного аппарата приводит к трансформации и усложнению кон­ кретно возникающих связей, но не нарушает установленных выше общих закономерностей.

2=3

Рис.

3.27

Рис. 3.28

 

6. Смысл замены совершенной машины M [ C i i ? n

совершен­

ной машиной

M 2 c r / ? m

практически заключается

в том, что

использование второй машины приводит в определенных усло­ виях к тому же результату, что и при использовании первой. Нам предстоит сейчас выяснить, при каких условиях дости­ гается такой эффект.

Обратимся еще раз к рис. 3.23. Введем в ^ 3 систему отне­ сения, благодаря которой удается по шести исходным пара­ метрам зафиксировать элементы входа машины—точки А и В. На рис. 3.28 показана одна из таких систем — проективная

121

система координат (ср. 2.2.7 и 2.2.8). Вершину звезды S ' ' , посредством которой осуществляется операция проектирова­

ния, поместим в точку Z — одну

из вершин

координатного

тетраэдра. Тогда, как легко понять, звезда 5 ° ' 1 ,

3

входит в со­

став геометрических образов, координирующих

пространство

R3. Предположим, что картинное

пространство

/?2

= а и плос­

кость а охватываются частью той же самой координатной си­ стемы, что и R3. Иными словами, треугольник OXY принадле­ жит плоскости а и принят в ней за систему отнесения, а тре­

угольник

OYZ принадлежит

а

и

координирует

ее.

Единичная

точка

Ея

является

проекцией

единичной точки

Е 1

из центра

Zs=S

на а

и т. д.

 

 

 

 

 

 

 

 

При указанных условиях машина Mi на каждом

конкрет­

ном этапе своей работы выполняет следующую

операцию:

 

 

 

(хи

ух

z\\

х2,

г/г,

г 2 ) - » - ( « / з ,

 

 

 

А ее проекция — машина

М 2 — выполняет в это же время со­

ответствующую «подоперацию»:

 

 

 

 

Оценивая рассмотренную ситуацию, можно сказать, что

машина

М2 игнорирует параметр z как на входе, так и на вы­

ходе.

И

это

возможно

постольку, поскольку

удовлетворены

три требования:

R3

и R2s=a

 

 

 

 

а)

пространства

включены в единую систему

отнесения;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

звезда

S 0 ' 1 , 3

также

полностью включена в

 

принятую

систему

отнесения;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

значение параметра

г/3 не зависит от значения

парамет­

ров Z\,

Z2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Упомянутые три требования выявлены на

основе изуче­

ния простой трехмерной конструкции. Однако все проведенные рассуждения допускают непосредственное обобщение на слу­ чай я-мерного пространства. В этом случае машина М2 может игнорировать не один, а два, три . . . вообще р параметров, су­ щественных для машины Мь Зато над всеми остальными па­ раметрами она выполняет те оке операции, что и машина М,.

По поводу требования «а» полезно заметить, что выполне­ ние его становится не обязательным, если допускается исполь-

1 Точка, имеющая в данной проективной системе все координаты, рав­ ные единице, называется единичной.

122

зование дополнительной машины М2 ', выполняющей для эле­

ментов картинного пространства Rm

пересчет

координат из

одной системы отнесения в другую.

 

 

 

 

 

 

Требование «б» означает, в частности, что выбор

разно­

видности

пространства

Fm'1, определяющего

операцию

проек­

тирования

Rn

на Rm,

должен

быть подчинен

характеру

уста­

новленной

системы

отнесения. Так, например, выбирать

в ка­

честве проекционного

аппарата пространство

F2'1

(линейную

конгруэнцию;

ср. рис.

3.25)

можно лишь

в том

случае, если

на нем основана и система отнесения в R's.

Вариант подобной

системы

возникает

при использовании

трех звезд

R]'2'3

(t =

= 1;

2;

3),

центры

которых — прямые

su

s2,

s3

— скрещива­

ются.

Через

каждую

не особую точку A <zz R3

 

проходят три

плоскости, принадлежащие звездам Rl'2'3.

Номера этих

плос­

костей и определяют координаты точки AczR3.

Для

декартовой

системы должно быть использовано линейное проектирующее пространство вида R ' L n и т. д.

Требование «в» устанавливает связь между системой от­ несения и структурой машины. Если какой-либо результатив­

ный параметр хп+\

не зависит от параметров Xh+i •..

хп,

дейст­

вующих на входе, то, следовательно, машина Mi всем

точкам

некоторого пространства FJ сопоставляет на выходе параметр

xn+i

= const. При фиксированной

системе отнесения

это

условие

накладывает

очевидное

ограничение

на структуру машины

Mj;

при

фиксированной

структуре машины

Mi ограничение

накла­

дывается на

систему

отнесения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы яснее увидеть эти соотношения, обратимся к пре­

дельному пространству

Rn+m

(см. 3.7.4—3.7.7). Здесь

машина

Mi

представлена

поверхностью

Fn.

 

 

 

 

 

 

 

 

Выберем

параметры

входа

(х{ . . . Хи) и отметим

соответ­

ствующий им на

выходе

параметр xn+i.

Набор

координат

(хи

. ..,

Xk, хп+\)

в принятой линейной системе отнесения опре­

деляет некоторое пространство Rn-h-1

(в нелинейной системе—

pn-k-iy

Оно содержит бесконечно удаленные точки координат­

ных осей Xh+i , . . . ,

хп, хп+2,

. . . ,

хп+т

и должно целиком при­

надлежать поверхности

Fn.

Значит, на

форму поверхности

Fn

(на вид

машины М,) накладывается это ограничение.

 

 

 

П р и м е р .

Положим

п = 2,

т=\,

k=\.

Тогда

имеем пре­

дельное пространство

R3

и вложенную

в него поверхность

F1.

Пусть на входе действуют параметры

Х\> х2, на

выходе — х3 ,

причем

значение

хъ не зависит

от х2.

Выберем

х{

и

отметим

соответствующее ему х3.

Указанными параметрами

определена

123

(в декартовой системе координат) прямая линия, содержащая

бесконечно удаленную точку оси х2 . Прямая эта должна

при­

надлежать поверхности F2. Зна­

чит, поверхность

F2 — цилиндр

с вершиной в

точке

X[3czxz

(рис. 3.29).

 

 

8. Замена совершенной ма­ шины М] несовершенной маши­ ной М2 имеет практический смысл в том случае, когда не удается по тем или иным при­ чинам обеспечить выполнение требований, перечисленных в 3.8.6. Наличие несовершенной машины позволяет получить хо­ тя и неполную, но все же более или менее ценную информацию о состоянии параметров на вы­

Рис. 3.29 ходе. Если представить себе, что совокупность параметров

""""" (%п+ •, хп+т), действующих на выходе, определяет самостоя­ тельное пространство Rvm, то становится видно, как работа не­ совершенной машины М2 обеспечивает работу совершенной ма­ шины М2 *(р->-<7), действующей внутри Rvm. При этом p + q =

— т и число р равно размерности несовершенной машины М2 (см. 3.8.4).

Конструированием распавшихся машин на практике никто, конечно, не занимается. Однако они существуют de facto. В про­ цессе научных исследований приходится постоянно наталки­ ваться на эту трудность — на обилие распавшихся машин или, выражаясь языком экспериментатора, на обилие незакономер­ ных явлений. К этому важному вопросу мы еще вернемся в последующем изложении (§ 4.2).

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ

НАУЧНЫЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

§1. Эксперимент и теория

1.Основой научного исследования и источником всякой научной теории является эксперимент. Эксперимент всегда

имеет целью выявление некоторой

закономерности,

т.

е. —

в принятой нами терминологии — выявление машины

или ча­

сти ее.

 

 

 

 

Предположим, что в распоряжении исследователя имеется

набор фактов или условий Л, В,...,

N, которые

удается

вос­

производить по мере надобности. Замечено также, что эти

фак­

торы оказывают влияние на событие (явление)

V. Тогда

от­

крывается возможность для постановки эксперимента

1: необ­

ходимо проверить, какой набор фактов из числа А, В,...,

.V

вызывает появление события V.

 

 

 

 

В результате проверки'может быть, например, установлено, что событие V возникает только при совместном действии факторов Л, В, С. Тогда говорят, что событие V закономерно, набор фактов (Л, В, С) — причина его.

 

Может

быть установлено

также, что событие V возникает,

скажем, при совместном действии факторов Л, В, С, или В,

D,

G,

или Л,

Е,

F. Тогда есть

основания говорить о

закономер­

ности события

V

и о косвенных

его причинах

(Л, В,

С).

(В,

D,

G),

(Л, Е,

F).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наконец, эксперимент может подтвердить отсутствие зако­

номерной связи

между факторами Л, В, .. ., Лг и событием

V.

 

2. Во всех

этих

случаях

 

математическое,

и в

частности

геометрическое,

представление

сущности эксперимента

может

послужить полезным

инструментом познания.

 

 

 

 

 

В первом случае факторы Л, В, . . ., N и событие V есте­

ственно представить точками, расположенными на

прямой

Р],

на плоскости R2,

в пространстве

R3, R* или

Rn

(на

кривой

F],

па

поверхности

F2, F3,

Fn).

Выбор операционного про­

странства

подразумевает, что

явления Л, . . . ,

/V сами

могут

зависеть от одного, двух, . . ., k условий, которые

в

данном

эксперименте

не

подвергаются

изменению,

остаются инвари­

антными. Результаты эксперимента определяют один этап ра­ боты геометрической машины М(3-^-1):

(Л, В, С)-> V.

125

Никаких сведений о машине в целом эксперимент, конечно, не дает, однако геометрическое представление иногда способно подсказать первую рабочую гипотезу (рис. 4.1).

Во втором случае имеем ана­ логичную геометрическую кар­ тину. Но результаты экспери­ мента описывают уже несколь­ ко (в пашем примере — три) этапов работы геометрической машины М (3-»-1):

(А,

В,

C)-+V;

(В,

D,

G) +

V;

(А,

Е,

F) - v

V.

Рис. 4.1

В соответствии с этим рас­

 

ширяются возможности правдо-

подобных предположений о машине в целом и обрисовывается некоторая основа для планирования дальнейших эксперимен­ тов.

В последнем случае эксперимент указывает на распадение машины. Геометрическое представление напоминает, что кро­ ме покорного принятия этого факта имеет смысл попытка до­

биться

изменения позиции

наблюдателя или

размерности ис­

ходного

и операционного

пространств.

 

3. Предположим, что

в

распоряжении

исследователя

имеется набор условий Х\, х2,

. .., хп, которые удается не толь­

ко воспроизводить, но и варьировать в определенных пределах.

Например, условие хх осуществляется

в различных

вариантах

Хц, х12,...,

X\v;

условие х2

варьируется

как х2\,

х22, . . . ,

x2q

и т. д. Установлено также, что условия х{

хЛ

оказывают

влияние

на событие V: оно реализуется

в

вариантах

хп+\,\,

•Кл-и.г,

х„+\,т-

Тогда открывается возможность для поста­

новки эксперимента

2: необходимо

сопоставить попарно

раз­

личные

комбинации

условий

хх, ...,

хп

с

соответствующими

реализациями события V.

 

 

 

 

 

 

 

В результате

проверки появляется

табл. 4.1. Количество

строк в этой таблице зависит от усердия

и терпения экспери­

ментатора.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, эксперимент 2 дает

описание

нескольких

циклов

работающей

машины

М ( п - > 1 ) .

Разумеется, при

вы­

полнении его могут встретиться все те ситуации, которые были уже отмечены выше при оценке эксперимента 1.

126

Смотрите также файлы