Файл: Ащеулов С.В. Задачи по элементарной физике [учеб. пособие].pdf

как значения сил трения покоя удовлетворяют очевидным нера­ венствам

и ß2S=0> получим условия, при которых выполняется случай 2:

3.Сила трения между доской и наклонной плоскостью является

силой трения скольжения, /Д = Д (т1 + т2) g cos а, что позво­ ляет определить из уравнений (1), (2) искомую проекцию уско­

екции ускорений могут быть найдены из системы (1), (2) и опре­ деляются выражениями

аі = £ sin a + ^ (Д — Д) g cos a,

a2 = g (sin a — Д cos a).

5. Обе силы трения также являются силами трения скольже­ ния, но проекция силы трения между бруском и доской отрица­ тельна (т. е. ее направление противоположно указанному на рис. а), F2 = — Дтге2£ cos а . При этом из неравенства я2 > 0 следует, что Д < 0, что физически бессмысленно. Следовательно, такого движения в действительности быть не может.

56

Окончательный ответ выглядит следующим образом: если выполняются неравенства (7), то оба тела неподвижны; если спра­ ведливы неравенства (9), то аг — 0, я2 определяется равенством

(8); если справедливы неравенства (И), то ускорения тел одина­ ковы и определяются равенством (10); если справедливы условия (13), то ускорения тел определяются равенствами (12).

Полезно представить результаты исследования в графической форме. Изобразим области, соответствующие неравенствам (7),

(9), (11) и (13), в прямоугольной системе координат Д, /2 (рис. б). (Неравенству (7) соответствует область / и т. д.) Как видно из

рисунка, все возможные значения пар положительных чисел Д и /2 обязательно попадут в одну и только в одну из построенных областей, что доказывает полноту и однозначность полученного решения. (На линиях, разграничивающих области, поведение брусков неоднозначно — см. задачу 20.)

Укажем на одно очень распространенное заблуж­ дение. Школьники часто считают, что если в ответе на задачу не учтен какой-то из возможных случаев, то такой ответ является „неполным“ (т. е. верным, но не безупречным). Подчеркиваем, что любой „неполный“ ответ является неверным.

Представьте себе, что ваш приятель обратился к вам с просьбой дать ответ на задачу, которую он сам решить не может. Например он спрашивает у вас, когда приходит поезд из Минска, и узнает, что поезд приходит в 10 ч. Действительно, такой поезд есть. Но есть еще поезд, прибывающий в 9 ч; именно на нем и приехали зна­ комые вашего приятеля, которых он хотел встретить. Таким образом, предложив приятелю „неполный“ ответ, вы ввели его в заблуждение *.

3 А Д А Ч А 32

Сфера, масса которой равна пулю, лежит на горизонтальной подставке, причем трение между подставкой и сферой отсутствует. К поверхности сферы прикреплена материальная точка М. В ис­ ходном положении сфера находится в состоянии неустойчивого равновесия, т. е. материальная точка занимает самое высокое положение. Как будут двигаться сфера и точка, если их вывести из состояния равновесия?

* Современные научные и технические проблемы, как правило, настолько сложны, что далеко не всегда удается получить решение во всей области изменения исходных параметров. При этом типичный результат выглядит, например, так: х (искомая величина) определяется таким-то уравнением, если а 1 (а — параметр). Такой ответ, разумеется, не является неверным: указанное ограничение (а 1) обычно формулируют с самого начала ивводят в условия задачи.

57

Р Е Ш Е Н И Е

Рассмотрим систему в положении, изображенном на рисунке, и определим силы, действующие на материальную точку М. Помимо силы притяжения к Земле на точку может действовать сила со стороны сферы. Представим последнюю силу в виде суммы двух составляющих Q и F, одна из которых направлена вдоль ОМ, а другая — перпендикулярно к этому отрезку. По третьему закону Ньютона на сферу со стороны М действуют силы, равные (—Q) и (—F). Поскольку масса сферы равна нулю, то, как сле­ дует из второго закона Ньютона, сумма сил и сумма моментов сил, действующих на сферу, равны нулю. Из второго условия

разумеется, вертикально вниз, причем сфера из-под нее вы­

Часто спрашивают (и такой вопрос совершенно законен), не бессмысленна ли эта задача: ведь тел с нулевой массой в природе не существует. Нет, выражение „сфера нулевой массы“ имеет определенный физический смысл, а именно: этр „сфера, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой материальной точки”. При этом можно показать, что сила взаимодействия такой сферы и материальной точки также пренебрежимо мала по срав­ нению с весом материальной точки, если на сферу другие силы не действуют.

3 А Д А Ч А 33

В покоящийся на гладкой подставке клин массой М попадает горизонтально летящая пуля массой т и после абсолютно упругого столкновения с наклонной поверхностью клина отска­ кивает вертикально вверх. Каковы скорости пули до и после столкновения, если скорость клина в первый момент после удара равна V ь(см. рисунок)?

58

где р — импульс, полученный подставкой. Проекция выражения

Пр и м е ч а н и е . При соударениях тел с массами

ти М такими, что т М, массивное тело изменяет свой импульс, но не меняет свою кинетическую энер­ гию, в частности, при абсолютно упругом ударе кине­ тическая энергия тела т остается без изменений. Мы не будем доказывать этого на первый взгляд парадок­ сального утверждения. Укажем только, что если до столкновения тело М было неподвижно, а после столк­ новения приобрело скорость ѵ, то его импульс пропор­ ционален V, кинетическая энергия пропорциональна V2. Так как т М, ѵ мало, ѵ2 тем более мало, что и

иллюстрирует высказанное выше.

3 А Д А Ч А 34

Абсолютно гибкая однородная цепочка массой т и длиной I висит вертикально над поверхностью стола, подвешенная за верхний конец. Нижний конец цепочки касается стола.

Верхний конец отпускают. Доказать, что в любой момепт времени до тех пор, пока вся цепочка не упадет на стол, ее давле­ ние на поверхность стола равно утроенному весу лежащей на столе части цепочки.

59