Файл: Ащеулов С.В. Задачи по элементарной физике [учеб. пособие].pdf

N = A/t = mgH/t — mgv cos ß

при условии, что HIt~>v cos ß. Послед­ нее всегда имеет место, если эскалатор движется вниз, так как при ß = я /2 + а и О < а < я/2 cos ß < 0. Если эскалатор движется вверх, то при Hit sg v sin a человеку для подъема за время Т ^ t достаточно стоять на месте, причем N = 0.

Если в такой задаче даны численные значения m, Н, t, ѵ и а, найденную мощность следует сравнить с реальными возможностями человека. Для него должно быть N < 1 л. с., иначе полученный результат имеет чисто академический интерес.

3 А Д А Ч А 41

Две однотипные ракеты, имеющие скорости относительно Земли 10 и 15 км/с, одновременно включили двигатели на одно и то же время. В результате скорости обеих ракет возросли оди­ наково, на 1 км/с каждая. Рассмотрим увеличение кинетической энергии каждой ракеты (для удобства в необычных единицах: т км2/с2, где т — масса ракеты):

Л7\ = (Ц)2/2 - (10)2/2 = 21/2,

•АТ2 — (16)2/2 — (15)2/2 = 31/2.

Следовательно, у второй ракеты кинетическая энергия увели­ чилась на большее значение, чем у первой. Не противоречит ли это закону сохранения энергии? Ведь обе ракеты израсходовали на увеличение скорости одно и то же количество топлива с одина­ ковой теплотворной способностью.

Р Е Ш Е Н И Е

Нет, не противоречит. Топливо второй ракеты обладает боль­ шей кинетической энергией, чем топливо первой ракеты, и при сгорании уменьшает свою кинетическую энергию на большую

Земли; Ди — приращение скорости ракеты в результате сгорания этого количества топлива; ѵ — скорость выброса продуктов горе­ ния топлива относительно ракеты; Q — тепловая энергия, содер­ жащаяся в Ат топлива.

66

Будем считать для простоты, что вся тепловая энергия Q топлива переходит в кинетическую энергию продуктов горения и ракеты. Учтем, что скорость выброшенных продуктов горения относительно Земли равна и — ѵ. На основе закона сохранения энергии

Приращения АТ кинетических энергий ракет и продуктов

Таким образом, суммарный прирост кинетической энергии системы равен количеству теплоты в топливе. Используя закон сохранения импульса (т — Ат) Аи = Атѵ, нетрудно найти, что

Q = m (Аи1 л ) 2/ 2 — Ат [(АиЬ 2 ) 2 — н2]/2,

т. е. суммарный прирост кинетической энергии системы ракета — топливо не зависит от начальной скорости ракеты.

Дотошный читатель может спросить, логично ли это — опровергать нарушение закона сохранения, опи­ раясь на сам этот закон. Не напоминает ли это чехов­ ское „этого не может быть, потому что этого не может быть никогда“? Да, внешне напоминает, но все же наши рассуждения логичны. Первоначальный нелепый вывод

взадаче возник лишь потому, что закон сохранения был использован неправильно. Стоило же учесть все сла­ гаемые энергии системы — и недоразумение выясни­ лось.

Иеще одно замечание. Если события, изложенные

взадаче, рассматривались бы в разных системах отсче­ та, каждая из которых двигалась вместе с соответст­ вующей ракетой до включения двигателя, противоре­ чия вообще не возникло бы: в собственной системе каждая ракета увеличила бы скорость от 0 до 1 км/с за счет сгорания одного и того же количества топлива. Сравнивать же события между собой было бы нельзя: кинетическая энергия относительна (т. е. ее величина зависит от системы отсчета), поэтому при применении закона сохранения энергии все расчеты следует прово­ дить для одной и той же системы отсчета.

3 А Д А Ч А 42

Тонкая нерастяжимая цепочка с пренебрежимо малыми коль­ цами перекинута через неподвижный блок. Свешивающиеся с блока части цепочки лежат на столе и на полу, причем часть,

находящаяся на столе, достаточно длинная и уложена в малую бухту вокруг точки В (отрезок ВВ1 вертикален). Найти скорость установившегося движения висящей части цепочки, если стол находится на высоте h над полом (см. рисунок).

Р Е ШЕ Н И Е

Сначала, разумеется, нужно убедиться в том, что движение

иускорением а, которые для опре­ деленности будем считать направ­ ленными от А к С.

На основе второго и третьего законов Ньютона для отрезков АС

иAB цепочки можно записать

Ugh — Fa = nah, 1

________________________Из этих уравнений FB = \ih (g —

/// / / / / / / / / / / / / / — a) — \ial. Рассмотрим интервал

Кзадаче 42. времени от t до t + Дt, настолько

малый, что скорость движения можно было бы считать постоянной. За время At в движение вовлечен отрезок цепочки длиной AI = vAt, который в момент t лежал на столе. В момент t + At этот отрезок имеет количество движения, равное величине іщД/ = рі?2Дt. По второму закону Ньютона это количество движения равно импульсу действующей силы, т. е. FBAt = ргЯДt. Сравнивая последнее выражение с фор­

Допустим теперь, что ускорение цепочки с течением времени увеличивается. Очевидно, что при этом должна увеличиваться и скорость цепочки (напоминаем, что направления ускорения и ско­ рости приняты совпадающими). Однако это противоречит соотноше­ нию (2). Следовательно, ускорение цепочки может только уменьша­ ться. Поскольку скорость при этом продолжает возрастать, то движе­ ние устанавливается только по мере приближения величины уско­ рения к нулю, т. е., как следует из (2), при скорости ѵ0 такой, что

ѵІ = \ітѵ2 = gh. (3) Ö-+0

Подобным же образом можно исследовать другие варианты движения цепочки в начальный момент времени и убедиться, что наш результат (3) справедлив всегда.

68

Школьник предложил другой подход к этой задаче. Пусть движение цепочки уже установилось и происходит со скоростью ѵг. За время At часть цепочки длиной AI = vt At вовлечена в движение, т. е. приобрела кинетиче­ скую энергию А Т — ixvf At12, а, кроме того, точно такая же часть цепочки

„перешла“ со стола на пол, т. е. потенциальная энергия цепочки уменьшилась

закон сохранения механической энергии в том виде, как его использовал школьник, в данном случае неприменим. Поясним это утверждение.

Вблизи точки В происходит „рывок“, т. е. покоившийся элемент цепочки

должен практически мгновенно приобрести конечную скорость, что приводит к деформации этого элемента. Если деформация пластическая, то цепочка пагревается (что и имеет место в реальных условиях); если цепочка абсолютно упруга, то деформация приводит к возникновению в цепочке упругих про­ дольных колебаний (попеременное сжатие и растяжение цепочки). В обоих случаях деформация связана с расходом энергии.

3 А Д А Ч А 43

На краю прямоугольного обрыва высотой h лежит однородный шар радиусом R. В исходном положении шар находится в состоя­ нии неустойчивого равновесия, т. е. центр шара лежит над краем

обрыва (см. рис. а). Определить место падения шара на Землю, если его вывести из состояния равновесия. Трение между шаром и обрывом отсутствует.

Выражение „тело выведено из состояния равно­ весия“ обычно означает, что тело смещено из состояния равновесия на малую величину и начинает движение из этого положения с нулевой начальной скоростью.

Р Е ШЕ Н И Е

Рассмотрим движение шара в положении, указанном на рис. б. На шар действуют только две силы: сила тяжести G и реакция опоры Q, причем сила Q направлена к центру шара. Плечи этих

69