Файл: Ащеулов С.В. Задачи по элементарной физике [учеб. пособие].pdf

Пусть за малый промежуток времени от t до t -j-Д^ на стол падает часть цепочки длиной Ах. Масса отрезка Ах равна вели­ чине Ат — гпАх/1, а скорость падения ѵ = gt = (2gx)i/2, так как элемент Ах находился в свободном падении время t и прошел

где F — сила, действующая со стороны стола на элемент Да; и приводящая к остановке последнего. Подставляя в выражение

(2) значения ѵ, Ат и At, находим, что

На основании третьего закона Ньютона можно утверждать, что и элемент цепочки с силой F действует па стол. Полную силу давления на стол получим, суммируя величины (1) и (3);

F G (х) —3mgx/l — 3G (х).

3 А Д А Ч А 35

Центры трех шаров расположены на одной прямой. Первому из них сообщают некоторую скорость ѵ0, после чего он абсолютно упруго сталкивается со вторым шаром. Затем второй абсолютно упруго ударяется о третий шар. Оба столкновения центральные.

Какова должна быть масса второго шара т2 (массы тх и т3 заданы),' чтобы скорость третьего шара была максимальна при данной скорости у0? ■

Р Е ШЕ Н И Е

Исследуем столкновение первого шара со вторым. Из законов сохранения импульса и энергии следует, что

ЩѴ0= mjVx + m2v2, m1v’/2 = тгѵІ/2 + т2ѵЦ2,

где и1 и ѵ2 — скорости первого и второго шаров после столкнове­ ния. Преобразуем систему уравнений к виду

т1(ѵп — ѵ1) — т2ѵ2, (Ро-Рі) (Щ+ ѵ1) = т2ѵ\.

60

Отсюда найдем решения

Два решения получены, потому что использованные в задаче законы сохранения „не знают“, было ли вообще столкновение. Первый ответ описывает события до столкновения и должен быть отброшен, как не решающий поставленную задачу.

г Заметим, что это обычный результат при расчетах, опирающихся только на законы сохранения: направ­ ление, ход процесса эти законы не указывают. Надо пользоваться дополнительными соображениями. На­ пример, разве закон сохранения энергии запрещает весомому телу неподвижно висеть над земной по­ верхностью без всяких опор и подвесок? Не запрещает. Энергия такого тела сохраняется.

Остается второе решение.

Аналогичный расчет для второго соударения приводит к сле­ дующему выражению для скорости третьего шара:

В последнем выражении числитель постоянен, следовательно, максимум дроби соответствует минимуму знаменателя. В свою очередь первые два слагаемых в знаменателе постоянны, и поиск максимального значения ѵ3 сводится к отыскиванию минималь­ ного значения выражения т 2 + тхтаІт2ѵ Последнее перепишем

к направлению скорости пули (см. рисунок). Определить макси­ мальный угол отклонения шеста от вертикали. Размером ящика пренебречь.

61

Р Е Ш Е Н И Е

На основе закона сохранения импульса тѵ == (т + М) V, где V — начальная скорость движения ящика с застрявшей пулей. В крайнем положении ящика его скорость обратится в нуль,

и, следовательно, j c o s a l > l .

В математической задаче достаточно требовать вы­ полнения неравенства

т2ѵ2!2 (т + М)2 gl ^ 2,

определяя тем самым область допустимых значений параметров т, ѵ, М и I.

В физической же задаче необходимо разобраться, почему возникла нелепость и какие реальные события стоят за этим, как понимать отсутствие решения. Анализ должен проводиться лишь в рамках тех соот­ ношений, которые были использованы в решении, никаких посторонних, не рассматривавшихся явлений (типа „шест разрывается“, „ящик ударяется о потолок“ и т. д.) привлекать к объяснению нельзя.

условиях а станет больше я, и ящик начнет двигаться без оста­ новки по окружности в вертикальной плоскости. Искомого угла а в таком случае просто не существует. Мы искали то, чего нет. Отсюда и особенность в решении. Окончательный ответ:

в круговое движение.

Следует заметить, что если в формулировке задачи вместо шеста будет дан канат, наше решение станет несправедливым уже при т2і^1(т + М)2 gl > 2, т. е. когда вычисляемый по формуле угол а превышает я /2 (почему?).

62

3 А Д А Ч А 37

При включенном двигателе ракета весом G неподвижно висит над поверхностью Земли. Определить мощность N двигателя в это время, если газы выбрасываются из сопла в вертикальном направлении со скоростью ѵ.

Р Е ШЕ Н И Е

Ракета неподвижна, ее кинетическая и потенциальная энер­ гии не меняются, следовательно, вся работа двигателя затрачи­ вается на сообщение кинетической энергии выбрасываемым газам.

Пусть за время At двигателем совершена работа АА и выбро­ шена масса газа Ат, которую будем считать малой по сравнению с массой ракеты. До определению N = AAIAt, а кинетическая энергия газов АЛ = Атѵ2 /2. Так как ракета висит неподвижно, то сила, действующая со стороны газов на ракету, равна ее весу. На основе второго и третьего законов Ньютона для выбрасывае­ мых газов GAt — Атѵ. Из этих уравнений находим, что N = = Gv/2.

3 А Д А Ч А 38

На концах и в середине невесомого вертикального стержня длиной I укреплены одинаковые шарики массой т Каждый. Какую скорость будут иметь шарики в момент падения на гори­ зонтальный стол, если: а) нижний шарик закреплен шарнирно; б) нижний шарик не закреплен, трение между столом и нижним шариком отсутствует.

Р Е ШЕ Н И Е

а) Вся потенциальная энергия шариков превратится к моменту

шариков в момент удара о стол (рис. а). Так как при закреплен­ ном нижнем шарике ѵъ = ѵ3 /2 , окончательно получаем, что

б) Незакрепленный нижний шарик не влияет на конечный результат, хотя процесс падения выглядит существенно иначе

(рис. б).

В отсутствие сил трения на систему из стержня и трех шариков не действуют никакие внешние горизонтальные силы. Следова­ тельно, во-первых, центр масс системы, совпадающий со средним шариком, движется только по вертикали (см. задачи 23, 32, 50), и, во-вторых, система не может приобрести импульс в горизон­ тальном направлении, т. е. конечная горизонтальная составляю-

63

щпя скорости системы должна быть равна нулю. Так как первый шарик не имеет вертикальной составляющей скорости, его полная скорость в момент падения равна нулю.

Соотношения между кинетической и потенциальной энергиями и между скоростями второго и третьего шариков в момент падения не отличаются от соответствующих соотношений для случая а), следовательно, окончательные результаты в обоих случаях одинаковы.

3 А Д А Ч А 39

Через два неподвижных блока, находящихся на расстоянии 21 друг от друга, перекинута достаточно длинная невесомая нить,

Кзадаче 39.

кконцам которой подвешены грузы с массами т. К середине нити между блоками подвешен груз массой 2 т (см. рис. а).

Найти скорости грузов по истечении достаточно большого промежутка времени.

64

Р Е Ш Е Н И Е

Формулировка задачи предполагает, что по истечении доста­ точно большого промежутка времени скорости всех грузов станут постоянными (установившиеся скорости). Убедимся в этом, иначе попытки решать задачу могут оказаться бесплодными.

Когда средний груз опустится далеко вниз (нить допускает это, она „достаточно длинная“), нити, ведущие к нему, сольются в одну (угол между нитями станет весьма мал) и будут практически вертикальны. Очевидно, что в таком положении вес среднего груза уравновесится весами крайних грузов, и, следовательно, все грузы будут двигаться без ускорений. Их движение будет происходить по инерции с установившейся скоростью ѵ, одина­ ковой у всех трех грузов.

Столь же ясно, что в начальном состоянии вес среднего груза ничем не уравновешен, и, следовательно, система придет в дви­ жение. Пусть к какому-то моменту крайние грузы поднялись на высоту h каждый. Тогда длина любой из наклонных нитей от блока до среднего груза станет равной I + h (рис. б). Размерами блоков мы пренебрегаем.

Из чертежа видно, что средний груз опустится при этом на расстояние Я, причем Я = DB = AB cos а = (I + h) cos а.

На основании закона сохранения прирост кинетической энер­ гии системы равен убыли ее потенциальной энергии. Уменьшение потенциальной энергии определяется выражением

Кинетическая энергия грузов при установившемся движении такова, что

Из соотношений (1), (2) находим установившуюся скорость

V = (^)1/2.

3 А Д А Ч А 40

Какую мощность должен развить человек массой т, чтобы за время t подняться на высоту Я по эскалатору, который движется со скоростью и под углом а к горизонту?