Файл: Ащеулов С.В. Задачи по элементарной физике [учеб. пособие].pdf

Невесомость нити (а следовательно, и равенство нулю ее массы) позволяет ограничиться двумя динамическими уравнениями (в проекциях на вертикальную ось)

mxax = mxg — ТА, m2a2 = m2g — ТD,

где Та и То — натяжение нити в точки А и D.

Рассмотрим отрезок нити AB. Для него следует записать, что WABg — Тв + Та — тпавчі> где глав — масса отрезка. Так как

задачу много сложнее. От этой излишней сложности и избавляются, полагая нить невесомой. Результат с хорошей точностью совпа­ дает с истинным для легкой нити. Разумеется, могут встретиться

(так как ах = а2 = 0). Последнее соотношение сохранится и при неравномерном вращении блока, лишь бы направление вращения совпадало со стрелкой (блок и нить считаются невесомыми).Переход от неравенства к уравнению, связывающему Тс и Тв, очень сло­ жен, так как требует учета многих обстоятельств (плотности посад­ ки блока на ось, нагрузки на ось, соотношения радиусов оси и блока, коэффициента трения), к тому же полученное уравнение будет весьма приближенным.

Если блок весом, т. е. обладает массой, вращение блока с уско­ рением снова приведет к тому, что Тс Ф Тв - Пусть блок массивен, тогда, чтобы раскрутить его (т. е. придать ускорение в направле­ нии стрелки), должно быть, естественно, m2^>mx, откуда следует, что Тв (так как ах = —а2). Здесь переход от неравенства

46

к уравнению проще, чем в предыдущем случае, и может быть выпол­ нен точно и строго, если известны форма блока и плотность мате­ риала, из которого он выполнен.

На стадии ознакомления с принципами применения в конкрет­ ных ситуациях основных законов физики нет никакой необходи­ мости во всех указанных уточнениях, тем более, что за громозд­ кими расчетами легко потерять суть дела. И поскольку, как уже говорилось, идеализированные условия осуществляются часто, легко и с хорошей точностью, именно этим мы и ограничиваемся.

3 А Д А Ч А 27

Внутри колеса, всю массу которого можно считать сосредото­ ченной в ободе, бежит белка, причем отношение массы колеса к массе белки равно п. Колесо без трения вращается вокруг своей оси, которая расположена горизонтально. Коэффициент трения между ободом колеса и белкой равен/. Какое максимальное постоянное линейное ускорение а может белка сообщить колесу?

по колесу с достаточно большой скоростью так, что величина ѵ2 меняется прямо пропорционально величине (—cos а). Рассмотрим более подробно последний случай движения белки. При значениях а = 0 и а = л величина ѵ%принимает наименьшее и наибольшее значение соответственно. Следовательно (см. решение задачи 10), при этих значениях а касательное (линейное) ускорение белки рав­ но нулю. Поскольку в этих же точках ускорение может вызываться только силой трения между белкой и колесом (вес белки направлен

47

по радиусу окружности), сила трения в этих точках равна нулю. Следовательно, рассмотренный случай нам не подходит, и для достижения поставленной цели белка должна быть неподвижной

+f )*'*.

Всоответствии с третьим законом Ньютона такая же по вели­

Мп У Т + Р '

где М — масса колеса.

З АД АЧ А 28

Распространены следующие определения: „Материальной точ­ кой называется тело, размеры которого пренебрежимо малы срав­ нительно с его расстоянием до других тел“. Или даже: „Материаль­ ная точка — это тело, вся масса которого сосредоточена в одной точке“.

Развивая последнюю мысль, логично добавить: материальных точек в природе нет и быть не может, так как любое тело имеет конечные размеры. Получается, что физика тщательно и кропот­ ливо исследует то, что не существует. Разумеется, в физике идеа­ лизированные модели встречаются на каждом шагу. Именно по­ этому надо твердо представлять, по какому направлению идет идеализация в конкретных понятиях, каковы границы примени­ мости введенных моделей.

Попробуйте исправить приведенные выше определения мате­ риальной точки, обобщив особенности движения тел в следующих случаях:

а) скольжение бруска по наклонной плоскости; б) вращение Земли вокруг Солнца;

в) колебания маленького массивного шарика на длинной неве­ сомой нити (математический маятник).

Подскажем, что в указанных случаях брусок, Земля и шарик являются материальными точками.

Р Е Ш Е Н И Е

а) Движение бруска поступательное. Траектории всех его 'точек, их скорости и ускорения в любой момент времени одина­ ковы, следовательно, достаточно выяснить особенности движения любой точки бруска. Если брусок сделан из неоднородного по плотности материала, то это не скажется на его движении. Дове­ дем неоднородность до крайности. Пусть вся масса бруска сосредо­ точена в одной точке: все равно в движении ничего не изменится. Естественно, что эта точка должна быть выбрана так, чтобы брусок не опрокинулся.

48

Вывод: исследуя поведение тела, движущегося поступательно, можно считать, что вся его масса сосредоточена в одной точке, К этой точке можно прикладывать все силы, действующие на тело. Размеры и формы тела на его движение не влияют.

Заметим, что первое из процитированных определений мате­ риальной точки к бруску не применимо: его размеры просто не с чем сравнить.

б) Движение Земли вокруг Солнца не является поступатель­ ным, так как Земля вращается вокруг своей оси. Однако совер­ шенно очевидно, что на это вращение Солнце никак не влияет: поле тяжести Солнца сферически симметрично и достаточно одно­ родно в пределах пространства, занятого Землей, и сила притяже­ ния Солнцем Земли не создает вращающего момента относительно центра Земли. Движение центра масс Земли не зависит от ее вра­ щения. (Конечно, Земля неоднородна по плотности, и к тому же не является шаром. Поле тяготения Солнца незначительно меняется в пределах части пространства, занятого Землей. По этим при­ чинам, во-первых, отличен от нуля вращательный момент солнеч­ ного притяжения, и, во-вторых, возникают солнечные приливы — перемещающиеся с вращением Земли деформации ее верхних слоев. Оба фактора оказывают влияние на суточное вращение Земли, однако это влияние столь незначительно, что астрономи­ ческие наблюдения за периодом суточного вращения Земли до самого последнего времени являлись основой службы точного (эталонного) времени). Следовательно, если нам нужно рассчитать траекторию какой-то точки Земли в пространстве, мы можем вре­ менно забыть о вращении Земли, полагать всю массу сосредоточен­ ной в ее центре, рассчитать движение точки с такой массой, а за­ тем наложить на рассчитанное движение суточное вращение Земли.:

Итак, в данном случае ускорения всех точек Земли под дей­ ствием только притяжения Солнца и других планет (кроме самой Земли) одинаковы и совпадают с величиной ускорения, вычислен­ ной в предположении, что вся масса Земли сосредоточена в ее центре. Скорость вращения Земли, ее форма, распределение массы по объему на величину этого ускорения не влияют. Этот резуль­ тат — следствие малого размера Земли сравнительно с ее рассто­ янием до Солнца.

Высказанные соображения станут еще очевиднее, если приме­ нить их к Венере. Венера покрыта плотным слоем облаков, так что детали ее поверхности неразличимы. И никакие наблюдения за движением Венеры вокруг Солнца не могли ответить на воп­ рос: каково собственное вращение этой планеты?

в) Шарик, совершающий на длинной нити колебания, участвует как в поступательном, так и во вращательном движении (см. рисунок), поворачиваясь вокруг своего центра между крайними

и вызывается теми же силами, которые создают ускорение посту­

49