Файл: Ащеулов С.В. Задачи по элементарной физике [учеб. пособие].pdf

З А Д А Ч А ПО

Стеклянную палочку натирают шелком и проносят вблизи от мелких обрезков бумаги, фольги и т. д., которые притягиваются к палочке (известный демонстрационный опыт). Тем самым доказы­ вается, что подвергнутая трению о шелк стеклянная палочка приобрела новое качество: по принятой терминологии наэлектри­ зовалась.

Возникает вопрос, не противоречит ли этот опыт закону Ку­ лона? Ведь обрезки не заряжены — это следует из того, что друг с другом они не взаимодействуют. А если заряд тела равен нулю, то по закону Кулона сила взаимодействия этого тела с любым другим — в том числе и с заряженной стеклянной палочкой — равна нулю.

Р Е ШЕ Н И Е

Противоречия нет. Закон Кулона справедлив исключительно для точечных зарядов. Нейтральное же тело любых размеров, находясь в неоднородном электростатическом поле, принципиально не является точечным зарядом с величиной заряда, равной нулю. В силу явления электростатической индукции под действием внеш­ него поля от источника А , для определенности положительного, на нейтральном теле В произойдет перераспределение зарядов. Тело станет аналогом диполя. Положительный и отрицательный заряды на нем одинаковы, но последние ближе к телу А, сила их притя­ жения к А превосходит силу отталкивания положительных заря­ дов (поле зарядов тела А — неоднородно!). В целом тело В при­ тягивается к телу А.

Перераспределение зарядов, их пространственное разоб­ щение на теле В стали возможны исключительно потому, что тело В имеет конечные размеры. Следовательно, в данном случае размеры тела В существенно влияют на его взаимодей­ ствие с телом А. А коль скоро так (см. задачу 109), тело В не есть точечный заряд, и закон Кулона к нему непосредст­ венно не применим.

Данный случай является убедительным примером неудовлетворительности следующего широко распрост­ раненного определения: „Точечным зарядом назы­ вается заряженное тело, размеры которого пренебре­ жимо малы сравнительно с расстояниями до других заряженных тел“.

В рассмотренном случае размеры тела В могут быть

одной молекулы. И все-таки точечным зарядом оно не станет.

144

З А Д А Ч А 111

На расстоянии R от бесконечно протяженной металлической плоскости 5 находится точечный заряд q (для определенности q < 0) (см. рис. а). Найти силу, действующую на него со стороны плоскости.

Р Е Ш Е Н И Е

Проведем вспомогательное рассуждение. Пусть все простран­ ство справа от плоскости заполнено проводящим материалом. В электростатике принимают, что внутри проводника токи отсут­ ствуют (так как ток есть движение заряда, а статика — учение о неподвижном состоянии). Нет тока — нет и электростатического поля. Заряды могут быть сосредоточены только на поверхности проводника. Это значит, что из сплошного проводящего материала

К задаче 111.

правого полупространства можно изымать кусок за куском и оставить только ограничивающую полупространство плоскость S, не меняя поля ни в одной из точек пространства. Полученная в результате ситуация совпадает со сформулированной в нашей исходной задаче. Поэтому справа от плоскости S поля нет. При этом говорят, что проводящая плоскость является электростатиче­ ским экраном.

Очевидно, что в результате действия заряда q на плоскости появится индуцированный распределенный положительный заряд, причем его плотность тем больше, чем ближе соответствующий участок плоскости к заряду q. Отрицательные заряды плоскости ушли на бесконечность.

145

Поле в любой точке пространства есть сумма поля заряда q и поля распределенного на плоскости заряда. Справа от плоскости поле равно нулю (рис. б). А это значит, что суммарное поле всех наведенных на плоскости S зарядов можно заменить для правого полупространства полем одного точечного заряда —q, помещен­ ного в то же место, что и исходный заряд q.

Очевидно, что поле наведенных зарядов симметрично отно­ сительно плоскости. Следовательно, поле наведенных зарядов в левом полупространстве эквивалентно полю одного точечного заряда —q, расположенного справа от S и симметричного заряду q относительно S (рис. в).

Исходный заряд находится слева от S. По доказанному, дей­ ствие на него наведенных на плоскости зарядов равно действию эквивалентного точечного заряда. Следовательно, наш заряд при­ тягивается к плоскости с силой F = q2K2R)2 — q2/AR2.

Рассмотренный метод решения называют методом зеркального

на каком расстоянии шарики будут притягиваться друг к другу.

Р Е Ш Е Н И Е

Необходимо прежде всего разобраться, почему в принципе между одноименно заряженными телами возможно взаимное при­ тяжение (гравитационное взаимодействие в этой задаче мы не учитываем).

а) В задаче 110 уже объяснялась причина взаимного притяже­ ния заряженного тела А и незаряженного тела R. Пусть сила этого притяжения равна Fx. Всегда можно подобрать малый за­ ряд q, одноименный с зарядом тела А так, что сила F2 отталкива­ ния q от заряда А при расстоянии между ними, равном AB, удов­

ция очень похожа на рассмотренную в задаче 111. Взаимодейст­ вие заряда q (на шарике г) с шаром R вызовет появление на по­

146

можно приблизительно считать плоской и использовать резуль­ таты задачи 111. В силу тех же неравенств заряд Q можно счи­

тивном случае выполненная нами оценка несправедлива, что, однако, не исключает возможности взаимного притяжения шаров Л и г уже за счет причин, рассмотренных в пункте а).

З АДАЧ А ИЗ

Потенциал электростатического поля определяется, как из­ вестно, с точностью до некоторой произвольной постоянной. Чтобы убрать эту неопределенность, общепринято потенциал бес­ конечно удаленной точки считать равным нулю. Однако в ряде задач используется равенство нулю потенциала Земли.

Не слишком ли много условий накладывается на потенциал? Ведь в формулах для его определения произвольная постоянная только одна.

Р Е Ш Е Н И Е

Размер и, следовательно, емкость Земли столь велики сравни­ тельно с аналогичными лабораторными величинами, что передача Земле какого-то электрического заряда в результате любого опыта не меняет ее потенциала, который так и остается равным нулю.

Если электростатический опыт проводится в некоторой ленин­ градской лаборатории, то никакие события в этой лаборатории не могут привести к появлению заметной (в пределах достигнутой сегодня точности измерений) напряженности и потенциала поля зарядов этого опыта на большом удалении, например в БуэносАйресе. Следовательно, этот город, с точки зрения ленинградца,

147

находится на бесконечном (в электростатическом смысле) удале­ нии, а потенциал там по соглашению должен быть принят равным нулю. Земля — проводник, и если потенциал какой-то ее точки равен нулю, потенциал любой другой — также равен нулю. От­ сюда и следует, что потенциал Земли в Ленинграде равен нулю и одновременно равен нулю потенциал бесконечности.

Итак, сформулированные в задаче ограничения на потенциал равносильны друг другу.

Разумеется, при переходе от лабораторных опытов к исследо­ ваниям планетарных или космических масштабов эта равно­ сильность может нарушиться, и тогда придется пользоваться только одним из ограничений.

З А Д А Ч А 114

Доказать, что электрический заряд не может находиться в устойчивом равновесии под действием только электростатических сил.

Р Е ШЕ Н И Е

Пусть имеется некоторое поле Е (х, у, z), в одной из точек которого, например О, положительный заряд находится в состоя­ нии устойчивого равновесия. Это значит, что при малом отклоне­ нии заряда от точки О в любую сторону возникает сила, стремя­ щаяся вернуть его обратно. Отсюда следует, что в точке О сходятся все силовые линии, находящиеся в ближайшей к этой точке окре­ стности. Но такое возможно, лишь если в О расположен отрица­ тельный заряд (ср. задачу 51). Следовательно, положительный заряд там разместить невозможно, что опровергает исходное предположение и доказывает теорему, содержащуюся в тексте задачи (теорема Ирншоу).

Из доказанной теоремы следует вывод фундаментальной важ­ ности. Как известно, любой атом содержит положительно (про­ тоны) и отрицательно (электроны) заряженные частицы. С точки зрения электростатики такая система не может быть устойчива! А так как громадное большинство атомов устойчиво, приходится с неизбежностью считать атом системой динамической, т. е. при­ писать либо протонам, либо электронам непрерывное движение.

З А Д А Ч А 115

Между незаряженными пластинами 1 ж2 накоротко замкну­ того плоского конденсатора находится тонкая металлическая пластина 3 с зарядом q. Все пластины взаимно параллельны, одного размера и расположены друг против друга. Пластину 3 (см. рисунок) перемещают на расстояние а перпендикулярно пло­ скостям обкладок. Какой заряд проходит при этом по внешней цепи конденсатора, если расстояние между его обкладками равно <Р.

148