Файл: Ащеулов С.В. Задачи по элементарной физике [учеб. пособие].pdf

Указание. Считать, что электростатическое поле пластины мало отличается от поля бесконечно протяженной равномерно заряженной плоскости, напряженность которого определяется выражением Е — 2ясг, где а — поверхностная плотность заряда.

Р Е Ш Е Н И Е

Так как конденсатор замкнут накоротко, то при любом поло­ жении пластины 3 пластины 1 я 2 имеют одинаковый потенциал. Потенциал каждой из пластин является суммой трех составляю­ щих: потенциала за счет собственного заряда и потенциалов, создаваемых в данном месте действием зарядов двух остальных пластин. Следовательно, поскольку при перемещении пластины 3 создаваемый ею потенциал на пластинах 1 и 2 меняется, должны меняться заряды на этих пластинах.

Так как по условию задачи поля пластин считаются однородными, то потенциал поля любой пластины изменяется линейно вместе с расстоянием до этой пластины. Поэтому в нашем случае не имеет смысла, как это обычно принято (см. задачу 113), полагать равным нулю потенциал бесконечно удален­ ной точки: при этом потенциалы точек, рас­ положенных на конечных расстояниях от пластин, окажутся по абсолютной величине бесконечными (см. задачу 106), и никаких расчетов нам произвести не удастся.

Условимся считать, что нулю равен по­ тенциал пластины 1. Выпишем выражения для потенциалов пластины 2 в двух положе­

ниях пластины 3 (на рисунке одно из этих положений изображено

пластин 1 и 2 равен нулю), из выражений для потенциалов нахо­ дим, что Да = а'і — o'I = oa/d, где До — изменение плотности заряда на первой пластине при перемещении пластины 3 из пер­ вого положения во второе.

Так как размеры пластин одинаковы, то находящиеся на них заряды пропорциональны величинам плотности зарядов. Следо­ вательно, искомая величина заряда, который прошел по внешней цепи, определяется выражением Дq = qa/d.

149

Интересно отметить, что поле вне крайних пластин такое же, как если бы их вообще не было. А если бы крайние пластины были заземлены, то поле вне пластин отсутствовало бы.

З А Д А Ч А 116

Две тонкие проводящие концентрические сферы, радиусы кото­ рых равны Ri и R 2 (-йі -С ^г)» имеют потенциалы и <р2 соответ­ ственно. Каковы будут потенциалы сфер, если соединить их про­ волокой?

Р Е ШЕ Н И Е

Определим сначала заряды qx и q2, которые находились на сфе­ рах до того, как их соединили. Для этого учтем следующее:

а) потенциал любой точки пространства есть алгебраи­ ческая сумма потенциалов, создаваемых в этой точке всеми за­ рядами;

б) потенциал вне заряженной сферы совпадает с потенциалом точечного заряда, равного по величине заряду сферы и располо­ женного в ее центре (см. задачу 106);

в) потенциал самой сферы совпадает с потенциалом любой точки внутри нее и равен величине q/R (если внутри сферы нет зарядов).

где q[ и q2 — заряды на сферах после их соединения. Равенства (1)

Два металлических шара с радиусами R t и R2 находятся на очень большом расстоянии друг от друга. Определить а) их взаим­ ную емкость Сг; б) емкость С2 системы, состоящей из этих шаров, соединенных тонкой проволочкой.

150

Р Е Ш Е Н И Е

Для решения этой задачи необходимо четко представлять себе, что такое емкость.

а) По определению, если речь идет о взаимной емкости двух . проводников, надо на один проводник поместить заряд q, на другой — заряд —q и вычислить разность потенциалов Дер меяеду проводниками, после чего найти емкость по стандартной

+ Rz)-

б) Емкость изолированного проводника, состоящего из двух шаров (емкостью тонкой проволочки можно пренебречь), будем вычислять, учитывая, что каждый из шаров заряжен до одного и того же потенциала.

Следовательно, фі = ф2 = ф, Фі = qJR\, ф2 = qJRz, Qi = фRy, q2 = фДа.

Итак, чтобы зарядить наш сложный проводник до потенциала ф, потребовался заряд q = qt + g2. Следовательно, С2 = qlф =

=+ R 2.

З АДАЧ А 118

Незаряженный полый проводящий шар внесли в электриче­ ское поле с известным потенциалом ф (х, г/, z). Определить потен­ циал шара.

Р Е ШЕ Н И Е

Поверхность шара в любом электростатическом поле является эквипотенциальной поверхностью. Кроме того, внутри полого проводника напряженность поля всегда равна нулю (разумеется, если внутри полости нет зарядов) и потенциал, следовательно, совпадает с потенциалом поверхности. Поэтому для решения задачи достаточно определить потенциал в любой точке на сфере или внутри нее.

Интуиция подсказывает, что самой удобной точкой для этого является центр сферы. Потенциал здесь есть сумма потенциала ф, создаваемого внешним полем, и потенциалов зарядов, индуциро­ ванных этим полем на сфере. Сумма индуцированных зарядов равна нулю, так как шар был незаряжен; все они одинаково уда­ лены от центра сферы. Их суммарный потенциал

Фі= № + kqjR + ... = (1/Д) 2Дq%— О,

где суммирование проводится по всей сфере, а R — ее радиус. Итак, потенциал сферы равен первоначальному потенциалу

той точки поля, где оказался центр сферы.

151

З А Д А Ч А 119

Доказать, что в поле двух разноименных точечных зарядов эквипотенциальная поверхность с нулевым потенциалом представ­ ляет собой сферу.

Р Е Ш Е Н И Е

Поместим начало координат в точку, где расположен один из зарядов, и направим ось Ох в сторону другого заряда (см. рису­ нок). Потенциал фл в точке А таков, что

Пусть фл — 0 (если точка А не лежит в бесконечности, то это

Полученное выражение представляет собой уравнение окруж­ ности (см. задачу 16), центр которой расположен в точке с коор­ динатами X = dra2/(ra2 — 1), у = 0.

При п = —1, т. е. = —дг, преобразование соотношения (2) дает уравнение х — dl2, т. е. эквипотенциальная окружность вырождается в прямую, параллельную оси ординат.

Так как поле симметрично относительно оси абсцисс, в про­ странстве поверхность нулевого потенциала оказывается сферой (или плоскостью, если п — —1).

З АДАЧ А 120

Электрон, обладающий на бесконечности скоростью ѵ, дви­ жется точно в сторону другого неподвижного и свободного элект­ рона. Как будут вести себя электроны? На какое наименьшее расстояние они сблизятся? Излучением электромагнитной энергии пренебречь.

Р Е Ш Е Н И Е

Электростатическое взаимодействие двух электронов тормозит один из них и ускоряет другой. Так как этот процесс происходит при любом расстоянии между электронами, их поведение напоми-

152

нает растянутый во времени абсолютно упругий удар: первона­ чально двигавшийся электрон в пределе остановится, а прежде неподвижный будет удаляться от него со скоростью ѵ.

В исходном состоянии потенциальная энергия взаимодействия электронов равна нулю. В конечном, т. е. установившемся, со­ стоянии это также должно иметь место, иначе между электронами еще действуют силы взаимного отталкивания и оба они продол­ жают менять скорость. Следовательно, когда скорости электронов установятся, из закона сохранения энергии следует, что шк2/2 =

— тѵ]/2 + тѵ\!2, где ѵг и ѵ2 — скорости электронов; т — масса

Применяя к этому моменту закон сохранения энергии, полу­ чаем, что тѵ2/2 = 2т(ѵІ2)2/2 + e2IR, где е — заряд электрона;

R— расстояние наибольшего сближения. Отсюда R — іе2/тѵг.

ЗАДАЧА 121

Вобеих пластинах бесконечно протяженного плоского заря­ женного конденсатора имеются два малых отверстия, расположен­ ных друг против друга. Свободный электрон пролетает сквозь

эти отверстия, причем изменяется скорость, следовательно, и

кинетическая энергия электрона (рис. а). С конденсатором же никаких изменений в конечном итоге не происходит. Как согласо­ вать это с законом сохранения энергии? Потерями энергии на излучение (неизбежное следствие ускоренного движения элект­ рона и перераспределения заряда на пластинах), равно как и потерями на джоулево тепло, пренебречь.

153