Файл: Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ.pdf

где Ak (t)— матрица-строка порядка п + 1» элементы которой являются непрерывными функциями.

Заметим, что динамическая система (IV.26) имеет вид системы (Ш . 2) .

Элементы Akj (t) матрицы Ak (t) под влиянием случайных воз­ действий могут изменить свои значения. Предполагается, что

за все время работы системы управления. Такое устройство об­ ладает максимальной нечувствительностью к изменениям внеш­ ней среды, изменениям динамических систем, описывающих ис­ полнительный орган и работу самого корректирующего устройства.

Определение минимального объема данных по априорным зна­ чениям моментов. В начальный момент работы системы управле­

ности At перехода от непрерывного процесса X (t) к дискретному процессу. Предположим, что при проектировании системы управ­ ления определен тот минимальными объем статистических данных, соответствующих массиву Rx = (X . . ., X (tm)), который необходим для того, чтобы определить статистические характе­ ристики процесса X (0 с требуемой точностью, используя, на­ пример, методы, указанные в п. 6. Минимальный объем массива статистических данных R^ определяется с помощью ЦВМ сле­ дующим образом. Возьмем каноническое представление (1.37) процесса X (t), выберем число п1 таким, чтобы ошибка е л 1 , оп­ ределяемая формулой (1.40), не превосходила допустимой вели­ чины. Рассмотрим разложение (1.37) с конечным числом членов разложения, равным п х ;

Будем предполагать, что процесс X (t) имеет нормальный за­ кон распределения. Тогда случайные величины xv, yv нормально распределены и являются независимыми ортонормированными величинами. Используя датчики случайных чисел, для величин xv, yv определим выборочные значения. Построим одну реали­ зацию для процесса, имеющего разложение (IV.27). Используя методы, изложенные в п. 6, определим время Tlt при котором

132

массив статистических данных Rx дает оценку для моментов рас­ пределения процесса X (t) с точностью-не ниже, чем допустимая точность. Выбирая время Тг минимальным, получим минималь­ ный объем массива статистических данных R^.

Из процессов Yk (t) выберем тот процесс, который имеет мини­ мальную дисперсию за время работы системы управления, рав­ ное Тг, т. е. такой процесс Yk (t), для которого

Процесс Yk (t) определяет априорное значение корректирую­ щего устройства Wk, которое будем использовать для управле­ ния системой на отрезке времени [0, Тг].

Уточнение параметров корректирующих устройств на' началь­ ном промежутке времени. Чтобы уточнить неизвестные пара­

Для того чтобы по статистическим данным массива Ry произ­ вести уточнение априорных значений матрицы АА (t), "необхо­ димо, чтобы промежуток времени [О, Тх] был меньше, чем про­ межуток, равный [О, Т]. В противном случае априорные значе­ ния матрицы Ak (t), t£T не могут быть уточнены с требуемой точностью. Поэтому будем предполагать, что 7\ ==£ Т.

в виде сумм интегралов, значения которых известны для данной реализации процесса. Yk (t), с неизвестными параметрами akis и их произведениями.

133

X (t) имеет независимые приращения, причем известны априор­ ные значения его моментов распределения.

Определим тот минимальный объем массива статистических данных Rx, который необходим для того, чтобы определить ста­ тистические характеристики процесса X (t), t£_ [Т, 2Т] с тре­ буемой точностью. Так как желательно для целей управления получить достаточно большой массив статистических данных

ному условию: шаг должен быть минимальным, причем ошибки от достаточно мелкого шага дробления процесса X (t) не должны превосходить допустимой величины.

Предположим, что процесс X (f) и его приращения нормально распределены. Исходя из канонического разложения (1.22) про­ цесса с независимыми приращениями, определим величину e;l (t) ошибки от аппроксимации разложения (1.22) конечной суммой,

мированные случайные величины, имеющие нормальный закон

делим выборочные значения. Построим одну реализацию про­ цесса, имеющего разложение (IV.31). Принимая во внимание ре­

Указанную процедуру по определению минимального объема массива статистических данных лучше всего подготовить и про­ вести в период проектирования системы управления. Однако в некоторых случаях это можно сделать и в период работы си­ стемы управления на отрезке времени, равном [О, Т].

13.5

Если же использовать- в качестве критерия точности оцени­ вания не величину средней квадратической ошибки, а величину ошибок первого или второго рода при статистической проверке гипотез, то процедуру определения минимального объема мас­ сива статистических данных можно упростить. Для этого рас­ смотрим статистику

где величины z (^) определяются по формулам (11.37); tt — мо­ менты времени, удовлетворяющие условию

объему массива статистических данных, уменьшенному на одну

летворяет неравенству Тг < 2Т. Тогда выбор корректирующих устройств сводится к следующему. На отрезке времени, равном

исходя из формулы (IV.28) с интегрированием по отрезку вре­

Найдем минимальное значение функционала по всем неизвестным значениям параметров, входящих в матрицу Ak (г).

Условия выбора корректирующего устройства Wk аналогичны условию выбора корректирующего устройства, основанного на определении неизвестных параметров матрицы A k (t), дающей минимум функционала (IV.29).

136