Файл: Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.07.2024
Просмотров: 96
Скачиваний: 0
и корреляционной функции |
|
|
|
|
|
М А (/,) L [У (*,) - |
т„ (*,)] • A (tj) L [У (tf) |
- ту |
(*,)] |
= |
|
|
= Kx(tt,t,), |
. |
|
|
(IV.7) |
где tit tj — любые точки |
из Т; tnx (tt), |
Кх (t[t |
tj) — |
соответственно |
|
математическое ожидание и корреляционная |
функция |
процесса |
х(о (*, j = T7p).
Составим функционал
Уг = JN~ 2 |
[A (tt) L m y (tt) - |
m , (ttf |
+ |
^ |
. | = ] {MA ft) L [Y (tt) - |
' |
- mB(tt)] [A (tj) |
L IK(*,) - |
m |
y |
(t,))-Kx{tt,t{)}\ |
Найдем минимум функционала Vx относительно параметра q. Получение наилучших оценок для параметра q аналогично усло виям, определяющим минимум функционала (IV.2).
Заметим, что в уравнениях (IV.6), (1V.7) следует дифференци-
,ровать функции, входящие в аналитическую структуру моментов распределения процесса У (t), при этом дифференцирование про
изводится аналитически, так как функции, входящие в моменты распределения, заданы аналитически. Отсюда следует, что поря док уравнения I I I . 2 не влияет на точность получения оценок пареметра q.
Все изложенные ранее методы аддитивны относительно мас сивов статистических данных и предъявляют к памяти ЦВМ минимальные требования.
О применении метода максимального |
правдоподобия. Рассмо |
||||||||||||
трим задачу оценивания |
неизвестного |
параметра |
q, входящего |
||||||||||
в матрицу |
A (t), используя |
метод максимального правдоподобия. |
|||||||||||
Рассмотрим |
последовательность (11.34). |
|
|
|
|
|
|||||||
Для |
стационарного |
процесса |
X (t) |
вычислим |
вероятность |
||||||||
|
|
|
( * i < X & ) |
% + йхг 1 |
|
|
|
||||||
|
|
Р |
|
\ |
( |
I |
|
|
V |
. |
8 |
) |
|
|
|
|
[xN |
<С X (tN) ^ |
x w |
-f- |
|
dxNj,. |
|
|
|
||
где Х[ = |
A |
(tt) LY (tt); |
в качестве |
значения Y |
(t£) |
берутся |
зна |
||||||
чения реализации процесса Y (t). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для процесса с независимыми приращениями X (t) вычислим |
|||||||||||||
вероятность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
( |
|
zl<X(t1)^z1 |
+ |
dz1 |
|
|
|
|
|||
|
|
z3 |
< |
X (t2) — X (tj) < |
z2 |
+ |
dz2 |
I |
r T V nx |
||||
|
|
UAT < |
X (tN) |
— X (t^) |
< z / |
V + |
dzN) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
= |
P [ z ^ |
X |
^ |
^ |
z . + dz^-UPlzjKX |
|
|
(*,)- |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
/ = 2 |
|
|
|
|
|
123
где z1 = A(tJ)LY(t1), |
г, = A |
(tj) LY |
(tj) - A (thl) |
LY |
(thl). |
Предположим, |
что процесс |
X (t) |
нормально |
распределен, |
тогда плотность вероятностей (IV.9) непосредственно вычисляется. Согласно методумаксимального правдоподобия для неизвестного параметра q берутся те значения, при которых указанные плот ности вероятностей принимают максимум.
Следует отметить, что метод максимального правдоподобия дает оценки, которые не всегда обладают желательными свойст вами, например, несмещенность оценки, минимальность диспер сии оценки. Вопрос о качестве оценок следует проводить дополни тельно. Кроме того, метод не аддитивен относительно обработки массивов статистических данных и предъявляет к памяти ЦВМ жесткие требования.
19. ОЦЕНИВАНИЕ В КЛАССЕ ЛИНЕЙНЫХ ОЦЕНОК
Определение линейных оценок. Рассмотрим задачу оценки не известного параметра q, входящего в матрицу A (t), поставленную в п. 18, причем наряду с оценками для неизвестного параметра q
наилучшими в среднем квадратическом, введем линейный |
класс |
|||||||||||||||
оценок. Для этого |
возьмем |
класс |
процессов |
U (t), t £ Т |
с |
неза |
||||||||||
висимыми |
приращениями. |
Образуем |
новый |
класс |
процессов |
|||||||||||
W (/,.) = |
|
V ( t t ) — |
V |
|
|
имеющих |
независимые |
значения, при |
||||||||
чем моменты времени |
|
|
взяты из |
последовательности |
(11.34). |
|||||||||||
Для неизвестного параметра ajk |
функции A-s |
(t) будем |
строить |
|||||||||||||
линейные |
статистические |
|
оценки |
вида |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a)k |
= |
Yi |
|
|
itjkr), |
|
|
|
|
|
|
где ajkr |
— некоторые |
|
|
r=l |
выбор которых |
дается |
далее; |
|||||||||
постоянные, |
||||||||||||||||
моменты |
времени |
tjkr |
выбираются |
из последовательности |
(11.34), |
|||||||||||
причем |
tjkr и t£ms |
дают |
различные |
моменты |
времени, |
если вы |
||||||||||
полнено хотя бы одно из условий |
/ ф i, k ф'm, г Ф s. |
|
|
|
||||||||||||
Требования, налагаемые на оценки ajk, сводятся к одновремен |
||||||||||||||||
ному |
выполнению |
условий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
Maik |
= aIk = |
S |
VjkrMW (tjkr), |
|
|
|
|
|
|
|
|
(IV.10) |
|||
т. e. a]k |
|
является |
несмещенной оценкой параметра а\ь.\ |
|
|
|||||||||||
2) |
М |
[ a , k - a , k |
] 3 = |
£ |
|
|
a%rMW2(tikr)- |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ft |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
ajkrMW(tikr) |
mi n |
M [ajk |
— |
djkf |
, |
|
(IV . 11) |
где минимум берется по всему классу процессов W (t) с незави симыми значениями.
124
Для того чтобы среди всего класса процессов с независимыми значениями выбрать наилучший процесс W (t), удовлетворяющий условиям (IV. 10), (IV. 11), перейдем к нормированному про цессу W (t):
W(t) |
= |
C(t)W(t) + G(t), |
где MW (t) = 0, MW2 (t) |
= |
1; функции С (t), G (t) определяются |
своей аналитической структурой, представимой, например, в виде
|
С (0 = |
2 |
с / , |
G(t) = |
%gil'. |
(IV . I2) |
|
|
1 = 0 |
|
/ = 0 |
|
|
Здесь с(, gt |
— неизвестные |
параметры; |
slt |
s2 — заданные |
||
числа. |
|
|
|
|
|
|
Дадим методы оценивания неизвестного параметра q, входя |
||||||
щего в матрицу |
A (t), |
для |
задачи, поставленной |
в п. 18,' исполь |
зуя линейные оценки в классе процессов, имеющих независимые значения.
Случай стационарного входного воздействия. Пусть X (t) — стационарное входное воздействие и матрица А, входящая в урав
нение |
( I I I . 2 ) , |
постоянна. Тогда для оценки параметра q функцио |
||||||||||||||||
нал (IV.2) |
заменим |
функционалом |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
sy(m)-sx(wk)\ |
|
|
+ I / 3 |
, |
(IV . 13) |
|||
|
|
|
' v |
A = i |
IL /=о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где для неизвестных параметров Aj |
берутся |
их оценки |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
а* = |
2 |
|
«itW(t„), |
|
q = |
(а1,...,ар); |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
слагаемое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
V . |
r |
j |
S |
B |
|
anMW2{tH)- |
|
|
2 |
|
^jMW(tti) |
|
(IV.14) |
|||
|
|
|
|
/ = 1 U = l |
|
|
|
L t ' = l |
|
|
|
|
|
|
||||
добавляется |
исходя |
из |
требования |
(IV. 11), |
причем в |
качестве |
||||||||||||
моментов |
MW |
(tu), M2W |
(t^) берется |
их |
аналитическая |
струк |
||||||||||||
тура, определяемая формулой (IV. 12). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Найдем минимальное |
значение |
функционала |
(IV. 13) |
|
относи |
|||||||||||||
тельно параметров ап, |
с,-, gr |
Пусть минимум есть |
Vm. |
|
|
|
||||||||||||
Если |
Vm |
< |
е, |
где |
Б > |
0 — |
заданное |
число, |
определяющее |
|||||||||
допустимую |
точность |
в |
оценке |
параметров, |
то |
оценки |
q* |
= |
||||||||||
= (а*, |
. . ., |
ар) |
для |
неизвестных |
параметров |
матрицы A |
(t) |
яв |
||||||||||
ляются |
наилучшими. среди |
всех |
линейных |
несмещенных |
|
оценок |
класса процессов с независимыми приращениями, так как имеют минимальную дисперсию в этом классе при аналитической струк туре моментов распределения заданной формулой (IV!. 12).
Если Vm > е, тогда либо допустимая точность в определении параметра q завышена, либо время наблюдения Т над измеряе-
1 2 5 .
мой |
координатой |
Y (t) мало, либо хотя бы одно из чисел slt |
s2, |
|
входящих в моменты распределения ( I V . 12), мало. Для |
дости |
|||
жения требуемой |
точности необходимо увеличить хотя бы |
одну |
||
из |
указанных |
величин. |
|
|
Пусть X (t) |
— |
стационарное входное воздействие и матрица |
A (t) не является постоянной. Тогда для оценки неизвестного
параметра q матрицы A (f) функционал |
. ( I V . 3 ) |
заменим функцио |
|||||||||||
налом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V=VX |
+ |
VS, |
|
|
|
|
|
|
|
где VJL определяется |
согласно |
формуле |
( I V . 3 ) ; |
функционал |
V3 |
||||||||
равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s, |
|
. 1 |
2 |
|
V3= |
Е |
М [ajk — |
aikY |
|
|
|
£ |
С |
j кг |
+ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I i = 0 |
|
|
||
|
|
+ |
|
|
• f t |
|
s . |
|
|
|
(IV.16) |
||
|
|
1 |
gt)to |
S |
al'kr |
Ti |
Bitfkr |
|
|||||
|
|
|
1=0 |
|
|
/-=1 |
|
i = 0 |
|
|
|
|
|
Здесь суммирование ведется по тем j , k, для которых значения |
|||||||||||||
параметров |
ajk |
|
неизвестны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для неизвестных |
параметров |
a/k |
матрицы |
A (t) |
возьмем |
их |
статистические оценки. Найдем минимальное значение функцио нала (IV. 15) относительно параметров ajkn ciy gt. Получение наи лучших несмещенных линейных оценок в классе процессов с не зависимыми приращениями аналогично условиям, определяющим минимум функционала (IV. 13).
Случай входного воздействия, имеющего неубывающую дис персию. Пусть X (t) является процессом с независимыми прира щениями или мартингалом с нормальным законом распределения, разности которого также нормально распределены.
Если |
производные |
Y<-k) (t) |
{k |
= |
I , n) |
вычисляются в |
ЦВМ |
||||||
с требуемой точностью, тогда для определения неизвестного пара |
|||||||||||||
метра q, входящего в матрицу |
A (t),аналогично |
функционалу |
|||||||||||
(IV. 5) составим |
функционал |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
V |
= |
V u + |
V12 |
+ |
V 3 ) |
|
|
|
(IV. 17) |
|
где Vи, |
V12 |
определяются так же, как и в формуле (IV.5), У 3 оп |
|||||||||||
ределяется согласно формуле (IV. 16); в качестве неизвестных |
|||||||||||||
параметров |
ajk |
функции |
As (t) |
берутся |
их |
линейные |
статистиче |
||||||
ские оценки |
Щк- |
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
|||
Найдем минимальное значение функционала (IV . 17) относи |
|||||||||||||
тельно параметров alkr, |
|
е., gt. |
Получение |
наилучших |
несмещен |
||||||||
ных линейных |
оценок |
аналогично |
условиям, определяющим |
ми |
нимум функционала (IV. 13).
Рассмотрим случай, когда на основании независимых стати стик, полученных с помощью вспомогательных уравнений (см.
126
п. 13), найдены значения моментов распределения выходной ко ординаты У (t). Для оценки неизвестного параметра^, входящего
в матрицу |
A (t), |
используем |
уравнение (IV.6). |
|
|
|
|||||||||
Для |
|
оценки |
неизвестного |
параметра q, входящего в ма |
|||||||||||
трицу |
A (t), |
аналогично функционалу |
(IV.7) |
рассмотрим |
функ |
||||||||||
ционал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V^V.+ |
|
Vs, |
|
|
|
|
|
(IV. 18) |
||
где |
V-L |
определяется |
формулой |
(IV.7); |
V3 |
задается |
формулой |
||||||||
(IV. 16). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В |
отличие от |
функционала |
(IV. 17) в функционал |
(IV. 18) под |
|||||||||||
ставляются |
не статистические |
оценки a)k параметра |
а,-ь функции |
||||||||||||
Aj (t), |
а значения его |
несмещенной |
оценки, |
определяемой фор |
|||||||||||
мулой (IV. 10). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдем |
минимум |
функционала |
(IV. 18) |
относительно |
пара |
||||||||||
метров ajkr, |
cit gr |
Получение |
наилучших несмещенных |
линейных |
|||||||||||
оценок аналогично условиям, определяющим минимум функцио |
|||||||||||||||
нала (IV. 13). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Случай произвольного входного воздействия. Рассмотрим задачу |
|||||||||||||||
оценки |
|
неизвестного |
параметра |
q, |
входящего в матрицу |
A (t), |
|||||||||
в случае, когда X (t) — произвольное входное воздействие, мо |
|||||||||||||||
менты распределения которого известны. Тогда У |
(t) |
— |
произ |
||||||||||||
вольный |
выход динамической |
системы ( I I I . 2 ) . Измерение |
выход |
||||||||||||
ной |
координаты |
У (t) |
|
не позволяет |
получить для |
параметра q |
|||||||||
статистические оценки. |
Если |
в |
системе, управления |
априорные |
|||||||||||
моменты |
распределения |
входного |
воздействия |
уточнены, то в не |
которых случаях возможно уточнить априорные моменты распре деления выходного воздействия и оценки для параметра q ма трицы A (t).
Предположим, что У (t) — процесс непрерывный в среднем, аналитическая структура моментов распределения которого за дается разложениями (1.13), (1.14). Для неизвестной функции Aj (I), входящей в матрицу A (t), задана ее аналитическая струк тура.
Используя результаты, приведенные в п. 14, для процесса |
У |
(t) |
|||||||||
построим эквивалентный |
процесс |
Wy (t). Предполагая, |
что |
ма |
|||||||
трица A (t) |
известна, придем к минимизации функционала |
(III . 27) . |
|||||||||
Однако матрица A (t) содержит |
неизвестные |
функции |
Aj |
(t). |
|||||||
Для неизвестного параметра ajk |
функции Aj |
(t) |
возьмем его пред |
||||||||
ставление |
через |
формулу |
(IV. 10). Составим |
функционал |
|
|
|
||||
|
|
У = У ц + |
У1 3 > |
|
|
|
(IV-19) |
||||
где V 1 ] L определяется |
формулой |
( I I I . 2 7 ) ; V13 |
определяется |
фор |
|||||||
мулой (IV. 16). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем |
минимум |
функционала |
(IV. 19) |
относительно |
пара |
||||||
метров ajkr, |
cit g£ |
и параметров glk, |
dj, входящих в функционал |
||||||||
( I I 1.27). Получение |
наилучших |
несмещенных |
линейных |
оценок |
127