Файл: Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.07.2024
Просмотров: 100
Скачиваний: 0
Идентификацию неизвестных параметров Ь,- проведем путем статистической обработки массив Руш. Для этого рассмотрим слу чайный процесс
|
|
|
|
t |
(V.25) |
|
|
W(t) |
= |
\w(s)dst |
|
|
|
|
|
о |
|
имеющий независимые приращения. |
|
||||
Моменты распределения |
процесса |
W (/) равны MW (t) = 0; |
|||
при 1г |
t2 |
|
|
|
|
|
" Ks |
(h, tt) = MW ((,) W (/,) = MW- (tx) = |
|||
|
I, |
I, |
|
|
I, |
|
= \\MW(s)W |
(Sl) |
ds dSl = |
\Q (s) ds = |
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
о
Отсюда следует, что моменты распределения процесса W (s) имеют заданную аналитическую структуру. Для идентификации неизвестных параметров b{ (*'=1, 2) воспользуемся результатами, приведенными в п. 8. Для этого составим статистики (V. 10), за тем перейдем к статистикам (11.45)
Проверим гипотезу Нг: |
bL = bn, |
где Ьп^Тг |
Поскольку |
процесс W (t) по условию |
нормально |
распределен, |
то и процесс |
W (t), определяемый формулой (V.25), также нормально распре
делен; если к тому |
же приращения zt = W (t£) — W ( t ^ J |
(i = 1, т) нормально |
распределены, то статистики vL нормально |
распределены. Значения v-t {i = 0, 1, in) образуют выборку объема
т + 1 из генеральной совокупности, |
отвечающей |
некоторой нор |
||||
мально |
распределенной |
величиной |
и, |
моменты |
распределения |
|
которой |
равны |
Mv = |
0, |
|
|
|
|
|
(, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ol = |
Mz\ = M[W (*,) — W (О)]2 |
= |
j [bns + 5„s2 ]« ds + Q0tu |
|||
если только верна гипотеза Я . |
|
о |
|
|
||
|
|
|
|
|||
Отсюда следует, что |
для проверки |
гипотезы |
Я достаточно |
|||
воспользоваться результатами, приведенными в п. 8. Так как ги потеза Я относится только к проверке значения о2 ,, то достаточно построить область принятия гипотезы (11.49), но с заменой выбо рочного среднего значения известной величиной момента Mv = 0.
Таким образом, область принятия |
гипотезы |
равна |
т |
|
|
C i < - f T l > 2 |
< c 2 , |
- (V.27) |
151
где постоянные сх, с.г |
определяются согласно условию (11.50). |
|
Так как значение Mv |
= 0 истинно и гипотезой |
Я не проверя |
ется, то отсюда следует, что при заданном числе т + |
1, определяю |
|
щем количество выборочных значений статистики |
vlt число а, |
|
по которому определяется число с„ в формуле (II.46), следует выбрать таким, чтобы условие (11.48) не выполнялось.
Последовательная идентификация и адаптивный закон упра вления. Для получения минимального значения функционала (V.24) будем проводить последовательное уточнение неизвестной
функции |
интенсивности Q (t). Для этого зададим последователь |
|
ность чисел |
|
|
|
а 1 > а 2 > . . . , |
(V.28) |
где а,- — |
уровень значимости гипотезы Я на i-м |
шаге. Каждому |
числу ас |
при некотором числе наблюдений mi + |
1, соответствую |
щем числу выборочных значений vL статистик (11.45), определим
три |
числа с0 ., |
с и , |
|
с и , |
где |
cQC |
определяется |
формулой |
(11.46), |
|||||
с п , |
с[2— |
формулой |
(11.50). |
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть взято число ах. |
Если при данном значении /п, и числе |
сох |
||||||||||||
условие |
(11.48) |
не |
выполняется, то |
проверяется |
|
условие |
||||||||
(V.27). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если условие (V.27) выполнено, то гипотеза Я считается истин |
||||||||||||||
ной |
и значение |
функции интенсивности |
Q (t) |
имеет |
параметры |
|||||||||
Ъ\ = |
Ь1Ъ |
Ь2 |
= |
Ьгх. |
Пусть |
для |
определенности массив R^,, |
со |
||||||
держащий |
тх |
+ |
1 |
значений |
процесса W |
(t), |
получен |
на |
проме |
|||||
жутке времени |
[0, |
Тх]. |
Так |
как |
предполагается, что |
априорное |
||||||||
значение функции |
интенсивности |
известно и равно Q (t) = |
Q0 |
(t), |
||||||||||
то для построения закона управления системой (V.21) на проме
жутке времени, равном |
[0, Тх\, |
будем полагать значение функции |
||
интенсивности равным |
Q (t) = |
Q0 (t). |
Начиная с момента |
вре |
мени Тх будем считать, |
что в функции |
интенсивности Q (i) |
пара |
|
метры равны |
Ьх |
— b l l t |
Ь2 = |
Ь%х. |
|
Если условие |
(V.27) |
не выполняется, то. гипотеза Я |
неверна; |
||
переходим к |
проверке |
новой |
гипотезы Я: bt = bl2, |
Ь( -2 6Г,-- |
|
Переход к новой гипотезе проводится до тех пор, пока по данным массива Rw, полученным на отрезке времени [0, Тх], не будет принята некоторая гипотеза о значении параметров функции интенсивности.
Затем возьмем число а 2 и повторим процедуру идентификации
параметров |
bx, |
Ь% с большей точностью, при этом массив стати |
|||
стических данных рассматривается |
на отрезке времени [0, |
Г 2 ] , |
|||
где Тг |
5> Тх, |
т. е. массив R^, содержит все множество данных о про |
|||
цессе |
W (t), |
поступивших в ЦВМ2 |
к моменту выбора числа |
а 2 . |
|
Определение |
величины минимального объема массива |
Rw, |
|||
начиная с которого следует уточнять априорное значение функ ции интенсивности, проводится так, как это указано в п. 22.
1 5 2
Последовательная идентификация неизвестных параметров и построения адаптивного закона управления приведены на рис. 11.
24.ПРОГРАММНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМОЙ,
ОПТИМАЛЬНОЙ ПО ВЕРОЯТНОСТИ
Постановка задачи. Рассмотрим динамическую систему, пове дение которой описывается линейным дифференциальным урав нением порядка п
|
|
А (О LY |
(0 -(- Ь (t) и (t) = X (t), |
16 Т, |
|
(V.29) |
||||
|
|
Формирование |
|
|
Увеличение |
|
||||
|
|
|
массива |
Rw |
|
|
|
массива |
Rw |
|
|
|
Задание последова |
|
Условие (11.48) |
||||||
|
|
тельности |
(V.28) |
|
|
не |
выполнено |
|||
|
|
Получение |
чисел |
|
Проверка |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
условий (11.48) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие (11.481 |
||
|
|
Задание гипотез |
Hi |
|
выполнено |
|
||||
|
|
Проверка условий |
|
|
Выдача |
команды |
на |
|||
|
|
|
|
формирование закона |
||||||
|
|
|
(11.50) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
управления |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Условие |
(11.50) |
|
Условие (11.50) |
Гипотеза Н |
||||||
не |
выполнено |
|
|
выполнено |
|
верна |
|
|||
Рис. 11. Блок-схема проверки |
гипотез |
и построения закона |
управления |
|||||||
где A (f) |
— |
(n + |
1)-мерная |
матрица-строка |
|
|
|
|||
|
|
А ( 0 = |
(Лд (/), An_x(t), |
.... |
A0(t)), |
|
|
|||
в которой Аг (t) |
(1 = |
0, |
1, |
/г) — известные |
непрерывные |
на Т |
||||
функции; |
L F (t) |
— (п |
+ 1)-мерная |
матрица-столбец |
|
|
||||
LnY(t)
LY(t) =
L0Y(t)
LtY(t) = dt
153
b (t) — известная непрерывная на Т функция; и {t) — кусочнонепрерывное управляющее воздействие такое, что
X (I) — входное воздействие, представляющее собой измеряемый для t £ Т случайный процесс из заданного класса процессов, моменты распределения которого
|
|
Кх (1и /,) - |
|
MX(t) |
= |
mx(t), |
|
|
)\ |
(V |
sot |
|
|
|
М [X &) |
- тх |
&)|• [X (L) - тх |
(t2)\ | |
1 ' |
; |
|||||
содержат |
неизвестные |
параметры. |
|
|
|
|
|
|||||
Уравнение (V.29) имеет нулевые начальные данные, причем |
||||||||||||
при |
t |
= 0 |
известны |
априорные |
значения |
моментов |
|
|
||||
|
|
|
т.Л0) = тх0, |
Кхф,0) |
= |
КхО. |
|
|
|
|||
Требуется построить управление и (/) так, чтобы максимизи |
||||||||||||
ровать |
следующую |
вероятность: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
/ ( |
w |
f T ^ P I c ^ F f r x ^ ) , |
|
(V.31) |
|||||
где |
с ъ |
с2 |
— заданные |
числа. |
|
|
|
|
|
|
||
|
Управление системой при |
известных |
моментах |
распределения |
||||||||
входного воздействия. В случае, когда известны моменты распре деления тх (t), Кх (tlt t.2) процесса X (t), управление системой (V.29) проводится так, как это указано в [13]. А именно, обозна чим через В (t, s) решение уравнения ( I I I . 4 ) , зависящее от пара метра. Тогда решение уравнения (V.29) можно представить в виде
|
|
|
t |
|
|
|
|
Y |
(t) = |
f В (t, |
s) [ - |
b (s) a (s) + |
X (s)] ds. |
(V.32) |
|
Отсюда |
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MY |
(t) |
=\B(t,s)'[-b |
(s) и (s) + |
mx (s)] ds, |
(V.33) |
||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
i\ |
|
|
|
|
КУ{1Ъ^) |
= |
М\В(tlt |
S l ) [ X ( S l ) - m x ( s , ) } d s , X |
|
|||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
X j В (t2, s2) [X (s2) — mx (s2)] ds2 = |
|
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
= |
J J В (tlt |
Sl) В (t2, s2) Kx (S l , |
s2) dsx ds2. |
(V.34) |
||
|
|
о 0 |
|
|
|
|
|
Из формулы (V.34) следует, что корреляционная функция вы
ходного процесса не зависит от управления. |
|
||
Введем |
следующие обозначения: |
|
|
г т |
|
|
|
} |
J В (Т, Sl) |
В (Т, s2)Kx (su s2) dSl ds2 = |
A (T), |
о 0 т |
|
|
|
|
T |
s) [b (s) и (s) — mx (s)] ds = |
a (T). |
|
} В (T, |
||
о
154
Тогда, используя представления моментов (V.33), (V.34), за пишем вероятность (V.31) в виде
|
1 |
Со |
(V.35) |
I(u{T))=y=A~~*(T)le-A-1iT)iv |
+ a{T)feiy. |
||
Пусть •—с± = с 2 , |
тогда функционал (V.35) будет максимален, |
||
если минимальным |
будет интеграл |
|
|
т |
|
|
|
\ |
В(Т, s) [b(s)и(s)ds |
— tn,(s)] ds |
(V.36) |
Дадим следующие случаи определения минимального значения интеграла (V.36).
1. Если
т
\В(Т, s)mx{s)ds |
= |
myl(T)>0, |
о
т
\\B(T,s)b(s)\ds-myl(T)>0,
о
то
и (s) = sign В (Т, s) b (s).
2. Если myl (Т) < 0 ,
г
- J | B ( 7 , s ) 6 ( s ) | d s - m J , 1 ( 7 ' ) > 0 ,
о
то
|
u(s) = —sign В |
(T,s)b(s). |
3. Если |
(Т) > О, |
|
|
г |
|
J | 5 ( T , s ) 6 ( s ) | d s - m i , 1 ( 7 , ) < 0 ,
о
тогда оптимальных управлений существует, вообще говоря, бесконечное множество. В качестве одного из них возьмем сле дующее:
|
и (0 = sign В (Т, t)b |
(t), |
/ею, |
Л |
|
для / 6 |
I T * , ' Т ] |
движение является |
автономным, u.(f) = 0. |
||
Здесь |
Т* есть |
наименьшее значение t, |
при котором |
||
|
|
t |
|
|
|
|
|
\\B(T,s)b(s)\ds |
= |
myl(T). |
- |
|
|
о |
|
|
|
15 5
