Файл: Тарушкина Л.Т. Статистическая оценка параметров управляемых систем с помощью ЦВМ.pdf

Ки

(г) = М [Xi (t +

г) -

mt]

[X, (t) -

m,l

Измеряемый

процесс

X It]

*в

реальном

масштабе

времени

представляет собой одну реализацию процесса за время Т.

Таким образом,

известны:

1) реализация процесса X (f),

/ 6 Т;

2) аналитическая структура корреляционных функций Кц (т).

Требуется:

1) оценить параметры mA ., q,-; (i, j =

1, /), тем самым

опреде­

лить моменты распределения процесса

X (t);

2) дать оценку точности оценивания неизвестных параметров;

3) разработать

метод

оценивания

неизвестных

параметров

и на его основании построить алгоритм, обладающий

необходимой

числению в ЦВМ следующих

интегралов: .

т

m) =

±r\Х^)<и,

'

(ИЛ)

т

о

* 1 / ( т ) = - И [XtV

+

4)-nt]

[XjM-m^dt,

(II.2)

о

для

вычисления интегралов

(II.2) предъявит к объему памяти

ЦВМ

неоправданно высокие

требования. Сократить

требования

к памяти ЦВМ можно либо получением рекуррентных

алгоритмов

Суть

метода

последовательной

обработки

данных

состоит

в том, что в ЦВМ

вместо

интегралов

( I I . 1),

(II.2)

вычисляются

интегралы

тх

Г Я - 1

*^ =

•

\

I х <

« +

- m i ]

i x i w - « , ]

dt.

Г Я - 1

где Тк =

[Tk_lt Т})

— промежуток

времени

поступления

в ЦВМ

массива

RK; Tt,

Tf

(i

j)

— непересекающиеся

промежутки

времени,

причем

Т =

Е

Т\.

Введем

следующие

обозначения:

_ ,

]

V.

,

Ш;ч

=

- = — V

(7\ — 7 \ _ i )

'Па,

ной функции

Ки

(т) известна, то известна

и аналитическая струк­

тура функций sn (со), sti (со).

Введем в

рассмотрение

спектральные

функции

со

5 , / N

=

J s ^ K l d c o j .

(П.4)

—со

Известно

[11, 24], что для любых двух точек соъ

со2 , в которых

функция

Su

(со)

непрерывна,

имеет место

соотношение

со.

г

-

2

со,

0

Покажем, что

имеет место более общее равенство

СО. г

г

l i m - g j L - Re J j е - 7 0 '*, . (/) dt J е - 1 ' 5 а Х / (s) ds dto =

7

' > r o

co,0

0

= S I / K ) - S i / ( < o 1 ) ,

(II.5)

где Re означает действительную часть.

Для этого рассмотрим

функцию

со

т

г

SijT

(со) =

- J L - Re J J е - ' " % (Q Л

{ <Г1шХ,

(s) ds dco.

—со

0

0

Пусть

т — фиксированное

число, причем

|т| <

Т.

Тогда

со

Т—Т

j e ' W T d S , y r ( © ) = - ! -

J ХДг +

т ) * ^ ) * .

—со

О

При Т —> оо

в силу

эргодичности

процесса

X

(/)

получаем

Г - т

Г - т

l i m 4 г [ Х( . (/ + т) X; (0 Л = l i m -=-!— f Xt

(t + т) X,- (0 Л =

CO

=

/Ct ; (x) = J e " e T d S f /

( a ) ) .

Отсюда следует, что коэффициенты Фурье

функции

SiiT

(со) при

Т —> оо сходятся

к

коэффициентам Фурье

функции Su- (со), т. е.

во всех точках непрерывности функции Sn- (со) имеет место схо­

димость функции

SijT

(со) к функции

(со).

'

43

Для конечного

времени

наблюдения

оценка

(о,

т

~р-

Re J erttaXt(f)

dt j

ell»Xf

(s) ds dco

=

ш,

о

= s ; /

K ) - s * / ( C O 1 )

(И.6)

является

асимптотически

несмещенной

и

состоятельной [6, 21 ]

для спектральных

функций

Sn- (со2 ) —

Su

(coj).

Обозначим

.

«•*

тх

Ч

F*

(А, со2> ©j) = Re

J

J e~'/ B X( . (t) dt J e ' s % ( s ) ds,

л

_

S ^* (X,

co2, со,) =

(v,

coa.cox), 1 =

v < A . .

?.=i

массивов

R v (v =

1,

Л):

F* (v,

со2,- со,) =

Z7* (v —

1, co2,

со,) +

F* (v, co2)

coj.),

(II.7)

при этом

оценка

(11.6)

S],

(co2) -

S*,- (со,) =

Г (Л, co2) со,).

(II.8)

Алгоритм вычисления спектральной плотности сводится к сле­

дующему.

1. Зададим полосу частот

[ Я х ,

Я 2

] , в которой

рассматривается

спектральная плотность st / (со) (/,

i

=

l,

I).

2. Разобьем промежуток

[Я,,

Я 2 ]

точками

дробления

Я 1 ^ с о ч 1 < с о 2 < - - - < с о Л / ^ й 2 .

Если априорные сведения о спектральной плотности

s(/- (со)

ограничиваются 'знанием ее аналитической структуры,

тогда

точки со,- берутся равномерно по

всему промежутку

[ Я 2 ,

Q , ] .

Общее число точек

ak

(k — 1, N)

должно

быть

не меньше, чем

плотность

S/j (со),

максимальное их число-определяется допусти­

мым временем решения задачи на ЦВМ.

3.

На

каждом

массиве Rv (v =

1, Л) для

каждой

пары ча­

стот сой,

в

ЦВМ вычисляются функции

F*

(v,

соА, С0А_Х ),

F* (v,

соА,

C O ^ j ) .

4.

Обработав

последовательно

все массивы

статистических

данных Rv (v =

1, Л), составим функционал

N

' ША

Л=1